MLTA_dlya_vsekh (1) / Электронные лекции 2013 / лекция 2
.pdf
31
Пример 2.4. Рассмотрим на множестве M={a,b,c,d}
0-местный предикат
x(P(x) Q(x)) x(P(x)Q(x)) .
1.Пусть множества истинности TP={a,b} и
TQ={a,b,c}. Тогда левая часть эквивалентности, т.е.
универсальное высказывание x(P(x) Q(x)) истинно,
поскольку TP Q TP TQ c,d {a,b,c} M, т.е.
импликация P(x) Q(x) верна для любого x M.
32
В правой части экзистенциональное высказывание
x(P(x)Q(x)) так же истинно, поскольку пересечение
TPQ TP TQ {a,b} не пусто и, значит, высказывание
x(P(x)Q(x)) ложно.
Таким образом, эквивалентность приводится к виду
И Л, т.е. ложна.
2.Пусть множества истинности TP={a,b} и TQ={b,c}.
Вэтом случае формулы x(P(x) Q(x)) и x(P(x)Q(x))
ложны и, следовательно, эквивалентность приводится
к виду Л Л, т.е. истинна (доказать самостоятельно).
33
Определение 2.10. Формула исчисления предикатов называется общезначимой, если она является
тождественно истинной при любой интерпретации.
Общезначимая формула исчисления предикатов получается из тавтологии исчисления высказываний при замене входящих в нее пропозициональных букв предикатными буквами с произвольным числом предметных переменных.
34
Общезначимые формулы
1. Законы де-Моргана для кванторов: |
|
xP(x) = x P(x), |
(2.1) |
xP(x) = x P(x). |
(2.2) |
2.Законы пронесения кванторов через конъюнкцию и дизъюнкцию:
x[P(x) & Q(x)] = [ xP(x) & xQ(x)], |
(2.3) |
x[P(x) & S] = [ xP(x) & S], |
(2.4) |
x[P(x) Q(x)] = [ xP(x) xQ(x)], |
(2.5) |
x[P(x) S] = [ xP(x) S]. |
(2.6) |
35
3. Законы пронесения кванторов через импликацию:
x[P(x) Q(x)] = [ x P(x) xQ(x)], |
(2.7) |
x[P(x) Q(x)] = [ xP(x) xQ(x)], |
(2.8) |
x[P(x) S] = [ xP(x) S], |
(2.9) |
x[P(x) S] = [ xP(x) S]. |
(2.10) |
4.Законы удаления квантора общности и введения квантора существования:
xP(x) P(x), |
(2.11) |
P(x) xP(x). |
(2.12) |
36
5. Законы преобразования категорических высказываний:
x[P(x) Q(x)] = x[P(x) & Q(x)], |
(2.13) |
x[P(x) Q(x)] = x[P(x) & Q(x)]. |
(2.14) |
Эти законы являются следствием раскрытия
импликации в правой части и применения законов де-
Моргана для кванторов (проверить самостоятельно).
37
Все формулы исчисления предикатов можно разделить на три типа:
истинные при любой интерпретации, т.е.
общезначимые;
ложные при любой интерпретации, т.е.
противоречивые;
формулы, истинность которых зависит от интерпретации.
38
Для определения типа предикатной формулы
сначала устанавливается ее общезначимость или
противоречивость.
Для одноместных предикатов установление
общезначимости или противоречивости
предикатной формулы является
алгоритмически разрешимой задачей.
Если это не удается сделать, то переходят к
установлению значения истинности формулы для
заданной интерпретации.
39
Пример 2.5. Установить тип формулы
x( P(x) Q(x)) x( P(x) Q(x)) .
Проверим общезначимость или противоречивость данной формулы. Левую часть эквивалентности заменим равносильной формулой
x( P(x) Q(x))= x( P(x) Q(x))= x(P(x) Q(x)),
а правую часть - формулой
x( P(x) Q(x))= x ( P(x) Q(x)).
40
После применения закона де-Моргана для преобразованной правой части
x ( P(x) Q(x))= x( P(x) Q(x))= x(P(x) Q(x))
исходная эквивалентность принимает вид
x(P(x) Q(x)) x(P(x) Q(x)),
где левая часть совпадает с правой, т.е. формула является общезначимой.