MLTA_dlya_vsekh (1) / Электронные лекции 2013 / лекция 4

1

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

Бригаднов Игорь Альбертович

доктор физико-математических наук, профессор

2

Лекция 4

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ

3.1. Понятие алгоритма

Определение 4.0. Алгоритм – это точное предписание, определяющее процесс переработки исходных данных в требуемый результат.

3

При этом:

исходные данные заданы в конкретном алфавите и принимают значения из некоторого множества, т.е. носят массовый характер;

процесс переработки данных является детерминированным, т.е. состоит из отдельных

дискретных шагов;

четко указаны условия остановки и даны критерии для результата процесса.

4

Прикладная теория алгоритмов занимается разработкой эффективных алгоритмов, их описанием, преобразованием и реализацией на современных ЭВМ.

Для наглядного представления структуры алгоритмов применяются графические средства: графы, блок-схемы, сети.

Формальное и полное описание алгоритмов осуществляется на языках программирования высокого уровня (C++, PASCAL, FORTRAN и др.).

5

Примеры алгоритмически неразрешимых задач.

1. Проблема останова универсальной вычислительной машины, реализующей произвольный алгоритм. Как следствие -

невозможно создать универсальную отладочную

программу для обнаружения возможности

зацикливания отлаживаемой программы.

6

2.Проблема выводимости в исчислении предикатов: существует ли для любых формул P и Q дедуктивная цепочка, ведущая от P к Q? (Для исчисления высказываний и одноместных предикатов эта проблема разрешима.)

7

4.2. Машина Тьюринга

Модель алгоритма, называемая машиной Тьюринга, состоит из бесконечной ленты (БЛ), разделенной на ячейки, и управляющей головки (УГ), которая перемещается по ленте и способна считывать символ в ячейке, против которой она находится, а также замещать обозреваемый символ новым (Рис.4.1).

8

УГ

БЛ

Рис.4.1. Машина Тьюринга

9

В каждой ячейке может быть записан один символ из ленточного алфавита A. Головка может находиться в одном из внутренних состояний, принадлежащих конечному множеству (алфавиту состояний) Q. Работа машины происходит в дискретном времени в соответствии с программой, задаваемой набором команд вида

qa a+Dq+.

10

В зависимости от состояния головки q Q и символа a A, против которого она стоит, головка записывает на ленте новый символ a+ (или оставляет старый), переходит в новое состояние q+ (или остается в старом) и передвигается: вправо (П), влево (Л) или остается в прежнем положении (Н).