MLTA_dlya_vsekh (1) / Электронные лекции 2013 / лекция 3
.pdf1
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
Бригаднов Игорь Альбертович
доктор физико-математических наук, профессор
2
Лекция 3
ВАРИАНТЫ ЛОГИКИ
3.1. Модальная логика
Модальная логика изучает структуру и законы построения рассуждений, содержащих связки естественного языка “необходимо” и “возможно”.
3
Наряду с пропозициональными связками
классического исчисления высказываний {не, и, или} в
модальной логике используются модальные
операторы:
оператор необходимости (читается: “необходимо, что …”);
оператор возможности (читается: “возможно, что …”).
4
Логическое значение сложного высказывания,
образованного с помощью модального оператора,
чувствительно к смыслу и, поэтому, не определяется однозначно логическим значением того высказывания,
к которому применяется модальный оператор.
5
Пример 3.1.
Пусть высказывание “В данном стручке 10 горошин”
истинно, тогда высказывание “Необходимо, что в данном стручке 10 горошин” ложно. Вместе с тем,
высказывание “Возможно, что в данном стручке 10
горошин” истинно.
6
Основные законы модальной логики:
|
Формульная |
Трактовка закона на |
||
запись закона |
естественном языке |
|||
|
A |
|
Если необходимо, что A, то A |
|
|
A |
|
|
|
A |
|
|
Если A, то возможно, что A |
|
|
A |
|
|
|
|
A |
Необходимо, что A, тогда и |
||
|
A |
|
только тогда, когда невозможно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что не-A |
|
A |
Возможно, что A, тогда и только |
||
|
A |
|
тогда, когда не необходимо, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не-A |
7
Варианты модальной логики:
Логика алетических модальностей имеет два
варианта:
1.“Необходимо” означает объективную значимость
высказывания. “Возможно” указывает на
объективную возможность того, о чем говорится в высказывании.
2.“Необходимо” понимается как “доказуемо”, а “возможно” как “неопровержимо” в некоторой научной теории.
8
Деонтическая логика.
“Необходимо” означает “должно”, “обязательно”, а “возможно” означает “допустимо” (в нормативном смысле). В этом случае “необходимо”
(соответственно, “возможно”) указывает на некоторое моральное или юридическое долженствование (соответственно, некоторую моральную или юридическую допустимость).
9
Логика временных модальностей.
“Необходимо” употребляется в смысле “всегда”, а “возможно” означает “иногда”. Часто в этом случае содержание высказывания относится к будущему.
10
3.2. Нечеткие множества и нечеткая логика