MLTA_dlya_vsekh (1) / Электронные лекции 2013 / лекция 3
.pdf11
Математическая теория нечетких множеств (fuzzy sets) и нечеткая логика (fuzzy logic) являются обобщениями классической теории множеств и классической логики. Данные понятия были предложены американским ученым Лотфи Заде (Lotfi Zadeh) в 1965 г.
Основной причиной появления новой теории стало наличие нечетких и приближенных рассуждений при описании сложных процессов, систем и объектов.
12
На пути развития нечетких рассуждений принято выделять три периода.
Первый период (конец 60-х–начало 70 гг.)
характеризуется развитием теоретического аппарата нечетких множеств (Л. Заде, Э. Мамдани, Р. Беллман).
Во втором периоде (70–80-е годы) появляются первые практические результаты в области нечеткого управления сложными техническими системами
(парогенератор с нечетким управлением).
13
Нечеткие экспертные системы для поддержки принятия решений находят широкое применение в медицине и экономике.
В третьем периоде (с конца 80-х годов по настоящее время) появляются пакеты программ для построения нечетких экспертных систем. Они применяется в автомобильной и аэрокосмической промышленности, на транспорте, в сфере финансов,
при анализе и принятии управленческих решений.
14
Триумфальное шествие нечеткой логики по миру началось после доказательства в конце 80-х годов Бартоломеем Коско знаменитой теоремы FAT (Fuzzy Approximation Theorem). В бизнесе и финансах нечеткая логика получила признание после того, как в
1988 году экспертная система на основе нечетких правил для прогнозирования финансовых индикаторов
единственная предсказала биржевой крах. И
количество успешных применений нечеткой логики в настоящее время исчисляется тысячами.
15
Пусть M – некоторое универсальное множество и
A его произвольное подмножество. Для любого x M
верно x A или x A. На множестве M вводится
характеристическая функция подмножества A:
1, |
если x A; |
A x |
x M . |
0, |
если x A, |
16
Тогда, если M={a, b, c, d, e, f, g, h} и A={a, b, c, d}
верно
x |
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(x) |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для универсального множества M (x) 1 ,
для пустого множества (x) 0 .
17
Множества, для которых характеристическая
функция принимает только значения 0 или 1,
называются чёткими.
Классическая логика оперирует
с чёткими множествами.
При описании сложных систем часто используются
нечеткие понятия и рассуждения. Для формализации таких задач разработан математический аппарат,
опирающийся на понятия нечетких множеств и нечеткой логики.
18
Для нечетких множеств характеристическая
функция может принимать любые значения из промежутка [0,1]. Например,
x |
a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(x) |
1,0 |
0,9 |
0,8 |
0,7 |
0,5 |
0,2 |
0,1 |
0,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для записи нечетких множеств (fuzzy sets)
используется обозначение:
A={(x, A(x)) x M} ,
где A :M [0,1] – функция принадлежности.
19
Используется также запись
x A x A,
где A(x) характеризует степень принадлежности
элемента x множеству A. Например, a 1,0 A, b 0,9 A.
Для нечетких множеств определены отношения
включения ( ) и равенства (=):
A B тогда и только тогда, когда x M: A(x)< B(x);
A = B тогда и только тогда, когда x M: A(x)= B(x).
20
Пример 3.2. Пусть
A {(a,0),(b,0.1),(c,0.5),(d,0.9),(e,1)}.
Элемент a не принадлежит множеству A, элемент b
принадлежит ему в малой степени, элемент c более
или менее принадлежит, элемент d принадлежит в
значительной степени, e является элементом A.