MLTA_dlya_vsekh (1) / Электронные лекции 2013 / лекция 2

21

Кn-местному предикату можно применить n

кванторов. Каждый квантор связывает

соответствующую предметную переменную. Таким образом, применение одного квантора к n-местному предикату дает (n-1)-местный предикат.

n-местный предикат, к которому применены n

кванторов всеобщности или существования,

становится 0-местным предикатом или высказыванием.

22

Пример 2.2. Рассмотрим двуместный предикат

A(x,y) на множестве M=M1 M2. Применим к нему квантор всеобщности, например, по предметной переменной x. В результате получим одноместный

предикат B(y)= xA(x,y), множество истинности

тождественно истинным для любого y0 TB.

23

Применим к предикату A(x,y) квантор существования, например, по переменной y. В

результате получим одноместный предикат

C(x)= yA(x,y), множество истинности которого TC M1

состоит из элементов, на которых одноместный

предикат F(y) A x0, y является выполнимым для любого x0 TC .

24

Пример 2.3. Рассмотрим предложение “Если y

является планетой и x вращается вокруг y, то x

спутник y”.

Введём следующие предикаты:

одноместный предикат B(y)=”y является планетой”,

двуместный предикат C(x,y)=”x вращается вокруг y”,

двуместный предикат D(x,y)=”x спутник y”.

Тогда исходное предложение можно описать

истинным универсальным высказыванием x yA(x,y),

где двуместный предикат A(x,y)=B(y)C(x,y) D(x,y) .

25

2.2. Исчисление предикатов

Формальной теорией для логики предикатов является исчисление предикатов, которое строится на основе исчисления высказываний. Вводятся символы двух видов: предметные переменные (x,y,z,x1,x2...) и

предикатные буквы (P,Q,R,P1,P2,...). Из предикатных букв, предметных переменных, логических символов и скобок можно сформировать различные выражения,

некоторые из которых называются формулами.

26

некоторые формулы, x – некоторая индивидная

переменная.

27

Определение 2.9. Предметная переменная называется свободной, если она не следует непосредственно за квантором и не входит в область действия квантора по этой переменной, все другие переменные, входящие в формулу, называются

связанными.

Предикатная формула является высказыванием, тогда и только тогда, когда она не содержит ни одной свободной предметной переменной.

28

Аксиомы и правила вывода исчисления

предикатов можно получить расширением состава

аксиом и правил вывода исчисления высказываний.

1.Аксиомы исчисления высказываний дополняются двумя аксиомами исчисления предикатов:

xФ(x) Ф(x) и Ф(x) xФ(x).

29

2.Правила вывода исчисления высказываний дополняются двумя правилами вывода исчисления предикатов:

где B не содержит x.

30

Интерпретацией формулы исчисления предикатов называется конкретизация множеств, на которых принимают значения предметные переменные и конкретизация множеств истинности для каждой предикатной буквы.

Истинность предикатных формул может

зависеть от интерпретации.