MLTA_dlya_vsekh (1) / Электронные лекции 2013 / лекция 2

11

Определение 2.5б. Эквивалентностью предикатов

A(x1,x2,...,xn) и B(x1,x2,...,xn) называется новый n-местный предикат

F(x1,x2,...,xn)=A(x1,x2,...,xn) B(x1,x2,...,xn),

множество истинности которого преобразуется по

правилу TF TA B TA TB TA TB .

12

Пример 2.1. Найти множества истинности

предикатов P1(x) A(x) B(x), P2(x) A(x) B(x),

P3(x) A(x) B(x), P4(x) A(x)B(x), где предикаты A(x)

Нам потребуются множества истинности отрицаний

13

По определению множество истинности предиката

P1(x) A(x) B(x) есть

TP1 TA TB {a,b,g,i, j,k} {a,e, f ,g,k} {a,b,e, f ,g,i, j,k}.

По определению множество истинности предиката

P2(x) A(x) B(x) есть

TP2 TA TB {c,d,e, f ,h} {b,c,d,h,i, j} {b,c,d,e, f ,h,i, j}.

14

По определению множество истинности предиката

P3(x) A(x) B(x) есть

TP3 TA TB TA TB {e, f} {b,i, j} {b,e, f ,i, j}.

По определению множество истинности предиката

P4(x) A(x)B(x) есть

TP4 TA TB {a,b, j,i,g,k} {a,e, f ,g,k} {a,g,k}.

15

Пусть A(x) – одноместный предикат, определенный

на множестве M.

Определение 2.6. Универсальным высказыванием,

соответствующим предикату A(x) на множестве M,

называется высказывание "каждый элемент множества M удовлетворяет предикату A(x)",

которое обозначается xA(x). Оно считается истинным, если предикат A(x) тождественно истинный,

и ложным - в противном случае.

16

Символ называется квантором всеобщности, а

выражение x читается: "для всех x", или "для каждого x", или "для любого x". Выражение xA(x) читается: "для всех x верно A (x)" или "для каждого x верно A(x)".

Например, x(x=x) – истинное универсальное высказывание, а x(x>2) – ложное универсальное высказывание на множестве вещественных чисел.

17

Если A(x) – одноместный предикат на множестве

M={a1,a2,...,am}, то xA(x)=A(a1)A(a2)...A(am). Таким образом, квантор всеобщности можно понимать как оператор конъюнкции по квантифицируемой

переменной.

18

Определение 2.7. Экзистенциональным

высказыванием, соответствующим предикату A(x) на множестве M, называется высказывание "существует элемент множества M, удовлетворяющий предикату

A(x)", которое обозначается xA(x). Оно считается истинным, если предикат A(x) выполнимый, и ложным

- в противном случае.

19

Символ называется квантором существования,

а выражение x читается: "существует x такой, что

..." или "для некоторого x, ...". Выражение xA(x)

читается: "существует x такой, что верно A(x) " или

"для некоторого x верно A(x)".

Например, x(x>2) – истинное экзистенциональное высказывание на множестве вещественных чисел, а

x(x+1=x) – ложное экзистенциональное

высказывание.

20

Если A(x) - одноместный предикат на множестве

M={a1,a2,...,am}, то xA(x)=A(a1) A(a2) ... A(am). Таким образом, квантор существования можно понимать как оператор дизъюнкции по квантифицируемой

переменной.