MLTA_dlya_vsekh (1) / Электронные лекции 2013 / лекция 2

41

Пример 2.6. Установить тип формулы

x A(x) B(x) x A(x)B(x) ,

Проверим общезначимость или противоречивость этой формулы. Левую часть эквивалентности заменим по закону де-Моргана для кванторов, предварительно раскрыв импликацию

Л.ч.= x A(x) B(x) = x A(x) B(x) = x A(x)B(x) .

Видно, что левая часть является отрицанием

правой части, т.е. формула является противоречивой.

42

Пример 2.7. Установить тип формулы

x A(x) B(x) x A(x)B(x) ,

Проверим общезначимость или противоречивость этой формулы. Левую часть эквивалентности заменим по закону де-Моргана для кванторов, предварительно раскрыв импликацию

Л.ч.= x A(x) B(x) = x A(x) B(x) = x A(x)B(x) .

Левая часть не является отрицанием правой части,

т.е. истинность формулы зависит от интерпретации.

43

1. Интерпретация 1

Пусть предикаты A(x) и B(x) определены на множестве M 1,2,3,4,5,6,7,8 и имеют множества

истинности TA 1,2,4,6 и TB 1,3,4,5,8 .

Нам потребуются также множества истинности их

отрицаний TA 3,5,7,8 и TB 2,6,7 .

44

Множество истинности предиката A(x) B(x) есть

TA B TA TB {3,5,7,8} {1,3,4,5,8}{1,3,4,5,7,8} M

Значит, левая часть эквивалентности - ложь.

Множество истинности предиката A(x)B(x) есть

TAB TA TB {3,5,7,8} {2,6,7} {7} .

Значит, правая часть эквивалентности - истина.

Таким образом, имеем эквивалентность Л И, т.е.

на интерпретации 1 формула ложна.

45

2. Интерпретация 2

Пусть предикаты A(x) и B(x) определены на множестве M 1,2,3,4,5,6,7,8 и имеют множества

истинности TA 1,4,6 и TB 1,3,4,5,6,8 .

Нам потребуются также множества истинности их

отрицаний TA 2,3,5,7,8 и TB 2,7 .

46

Множество истинности предиката A(x) B(x) есть

TA B TA TB {2,3,5,7,8} {1,3,4,5,6,8}

{1,2,3,4,5,6,7,8} M

Значит, левая часть эквивалентности - истина.

Множество истинности предиката A(x)B(x) есть

TAB TA TB {2,3,5,7,8} {2,6,7} {2,7} .

Значит, правая часть эквивалентности - истина.

Таким образом, имеем эквивалентность И И, т.е.

на интерпретации 2 формула истинна.