Матрица планирования пфэ 22

№ опыта	X0	X1	X2	X1 X2	Значение выходной величины
1	+1	-1	-1	+1	y1
2	+1	+1	-1	-1	y2
3	+1	-1	+1	-1	y3
4	+1	+1	+1	+1	y4

Для того чтобы избежать влияния систематических погрешностей эксперимента, предусматривают его рандомизацию, которая состоит в том, что вносится случайность в последовательность проведения опытов. Для этого используется таблица случайных чисел.

Число опытов в ПФЭ значительно превосходит число определяемых коэффициентов модели, что приводит к большой избыточ­ности опытов. Кроме того, с помощью ПФЭ можно получить толь­ко либо линейную, либо неполноквадратическую математическую модель, так как из полного факторного эксперимента нельзя из­влечь информацию о квадратичных членах полинома. В первом случае избыточность опытов используют для формирования планов дробного факторного эксперимента (ДФЭ), а во втором – при необходимости переходят к планам более высоко­го порядка, например композиционным планам второго порядка, в которых используются принципы ортогональности и ротатабельности планирования.

Рототабельность – свойство одинаково точного предсказания значений целевой функции на равных расстояниях от центра эксперимента вне зависимости от направления прово­димых опытов.

Ортогональность – свойство ПФЭ, заключающееся в том, что сумма построчных произведений элементов любых двух столбцов равна нулю: , где r – номер фактора; j – номер опыта; r ≠ t.

Дробный факторный эксперимент. В инженерной исследовательской практике всегда стараются получить максимальную информацию о поведении обследуемого объекта за минимальное число опытов. Сделать это с помощью ПФЭ, к сожалению, нельзя, поскольку он при своей полноте об­ладает и большой избыточностью (число опытов, необходимых для определения коэффициентов уравнения регрессии, намного больше, чем этих коэффициентов; в этом смысле говорят о нена­сыщенном плане эксперимента). На помощь исследователю при­ходит так называемый дробный факторный эксперимент (ДФЭ), представляющий собой регулярную часть ПФЭ, при которой мат­рица планирования (план) не теряет своих оптимальных свойств. Дробный факторный эксперимент – это такой эксперимент, в котором число опытов меньше, чем в полном факторном эксперименте. Эту часть плана ПФЭ называют также дробной репликой. Ясно, что ДФЭ предусматривает проведение меньшего числа опытов по сравнению с ПФЭ, что является экономически более целесообразным. Опытов, естественно, тем меньше, чем более вы­сокой дробности выбирается реплика (т.е. чем меньшую часть ПФЭ включают в ДФЭ).

Рассмотрим процедуру построения дробного факторного экс­перимента для n = 3. Исходя из плана 2² (см. табл.8) вместо парного взаимодействия x₁ x₂ вводим фактор x₃ = x₁ x₂ (полуреплика I). Полученный дробный план 2^3-1 является полурепликой ПФЭ 2³. Если х₃ приравнять к (– x₁ x₂), то получим полуреплику II плана 2^3-1. Для произведения трех столбцов полуреп­лики I выполняется соотношение: +1 = x₁ x₂ x₃, а для полуреплики II – (– l = x₁ x₂ x₃).

Символическое обозначение произведения столбцов, равного +1 или –1, называется определяющим контрастом, ко­торый позволяет определять смешанные эффекты. Для того чтобы определить, какой эффект смешан с данным эффектом, нужно ум­ножить обе части определяющего контраста на столбец, соответст­вующий данному эффекту. Так, если 1 = x₁ x₂ x₃ ,то будем иметь:

x₁ = x₁ ² x₂ x₃ = x₂ x₃, так как x_i ² = 1; x₂ = x₂ ² x₁ x₃ = x₁ x₃;

x₃ = x₃ ² x₁ x₂ = x₁ x₂.

Это значит, что коэффициенты линейного уравнения будут оценками: b₁ → β₁+ β₂₃ ; b₂ → β₂+ β₁₃ ; b₃ → β₃+ β₁₂.

Соотношение, показывающее, с каким эффектом смешан данный эффект, называется генерирующим. Генерирующее соотношение определяет знаки столбца зависимого фактора (в нашем примере x₃). Для правильного планирования ДФЭ необходимо на основе априорных данных выделить те переменные и произведения пере­менных, влияние которых на объект минимально. При этом сме­шивание надо производить так, чтобы основные коэффициенты (β₀, β₁, ..., β_n) были смешаны с коэффициентами при взаимодей­ствиях самого высокого порядка (так как они обычно отсутству­ют), или при тех взаимодействиях, о которых известно, что они не оказывают влияние на объект исследования. При большом числе входных переменных можно использовать реплики более высокой степени дробности, но не рекомендуется использовать дробные реплики для п >15 [6].

Если линейные модели, построенные с помощью ПФЭ и ДФЭ, неадекватны, то переходят к построению квадратичных моделей. Оптимальный план для квадратичной модели целесообразно строить таким образом, чтобы он включал точки плана для ли­нейной модели. Это позволяет сократить число опытов. Такие планы называются композицион­ными планами второго порядка [6] и помимо ядра плана, в ка­честве которого могут использоваться планы ПФЭ или ДФЭ, со­держат блоки, включающие «звездные точки» α и нулевые (центральные) точки 0.

Так же, как ПФЭ, дробный факторный эксперимент имеет со­ответствующую геометрическую интерпретацию, например точки эксперимента дробной реплики 1= x₁ x₂ x₃ соответствуют зачернен­ным вершинам куба, изображенного на рис.3.

Рис.3. Геометрическая интерпретация плана ДФЭ 2^3-1

Точки ДФЭ дают возможность при ограниченном числе опытов получить необходимую информацию о факторном пространстве.

Полученную искомую математическую модель в виде уравнения регрессии необходимо проверить на адекватность. Адекватной называют такую математическую мо­дель, если предсказанные с ее помощью значения функции откли­ка не отличаются от фактических значений больше, чем на некоторую зара­нее заданную величину. Оценивая адекватность уравнения регрес­сии, проверяют, все ли существенные связи между факторами оно учитывает.

Для провер­ки гипотезы адекватности найденной модели используют крите­рий Фишера. Расчетное значение критерия определяется по фор­муле F_р = D*_а / D*_в, где – оценка дисперсии адекватности;В – количество слагаемых (коэффициентов регрессии, включая свободный член) в математической модели, адекватность которой проверяется; H_j – значение функции отклика, рассчитанное с помощью данной математической модели по значениям факторов j-го опыта; m*(H_j) – статистическое значение математического ожидания функции отклика, полученное с по-мощью формулы (3) по результатам повторения j-го опыта; – оценка дисперсии воспроизводимости, рассчитанная как усреднение дисперсий (4).

С дисперсиями адекватности и воспроизводимости связаны чис­ла степеней свободы f₁ = N – В и f₂ = N(k – 1), где k – количест­во параллельных реализаций каждого из N опытов. По значениям f₁ и f₂ и по принятой доверительной вероятности р, с которой при­нимается гипотеза об адекватности модели опытным данным, на­ходятся табличные значения F_T критерия Фишера.

Математическая модель считается адекватной опытным дан­ным, полученным в эксперименте, если выполняется неравенство F_p ≤ F_T. В противном случае модель неадекватна и необходимо запланировать новый эксперимент, чтобы в новой модели было учте­но большее количество слагаемых теоретического уравнения рег­рессии.

Оказывается, что около любой точки факторного пространства всегда можно выделить некоторую окрестность, в которой линей­ная модель будет адекватной. Это очень важное свойство, которое обусловило широкое распространение линейных моделей в практи­ке планирования эксперимента. Их обычно применяют при поста­новке самых первых опытов при движении к оптимуму. Такое ис­пользование линейных моделей особенно оправдано, если заранее известно, что оптимум целевой функции расположен достаточно далеко от исходной (начальной) точки эксперимента.

Этот материал необходимо изучить перед выполнением лабораторных работ №№ 2 и 3.

Контрольные вопросы к введению и разделу 3.2.1

1. Дайте формулировки следующим понятиям: изделие, деталь сборочная единица, комплект, комплекс.

2. Чем отличается разработка от проектирования, проектирование от конструирования?

3. Какие категории ЭС Вы знаете? Дайте им сравнительную характеристику.

4. Какие группы наземной, аэрокосмической и морской аппаратуры Вы знаете? Дайте им характеристики.

5. Поясните содержание основных конструктивно-техно-логических и эксплуатационных требований к конструкции изделия.

6. Какие факторы окружающей среды могут оказывать воздействия на ЭС? Дайте каждому из них числовые значения.

7. Какие еще дестабилизирующие воздействия на ЭС Вы зна-ете, к чему они могут привести?

8. Дайте определение эргономике и технической эстетике.

9. В чем заключается физическая и математическая суть системного подхода? Дайте определения системе и подсистеме.

10. Определите основные принципы системного подхода.

11. Дайте понятие уровневой системы. Какие структурные уровни Вы знаете? Что является основанием для их различия?

12. Дайте краткую характеристику методам компоновки, выделите основной метод и этапы компоновки.

13. Сформулируйте основные положения функционального метода конструирования. Какие его разновидности Вы знаете и в

чем их суть?

14. Какие математические модели используются при проектировании ЭС? Какие требования предъявляются к математическим моделям ЭС?

15. Для чего используются формальные и физические математические модели?

16. В чем идея «критериев согласия» и как она реализуется на практике? Какие при этом разновидности задач возникают?

17. Для чего проводится проверка статистических гипотез?

18. Какие критерии согласия Вы знаете? С какой целью они используются?

19. Как и для чего проводится проверка исходных данных на однородность?

20. Как и для чего проводится проверка закона распределения наработки?

21. Как и для чего проводится определение диапазона изменения параметра, в котором этот параметр находится с доверительной вероятностью?

22. Что означает «планирование эксперимента», как этот метод реализуется при решении конструкторских задач?

23. Как используется критерий Фишера для определения величины коэффициента корреляции?

24. Дайте определения основным понятиям планирования эксперимента. Что такое реплика? Генерирующее соотношение? Определяющий контраст? Матрица планирования? и т.д.

25. Что такое рандомизация опыта?