3. Порядок выполнения работы

3.1. Определение погрешностей выходных параметров экстремальным методом

3.1.1. Рассчитать экстремальные (максимальное и минималь

ное) значения суммарных сопротивлений резисторов (R2+RР1) и (R5+RР2) при допуске на разброс их относительных отклонений, равном ± 10 %. Результаты расчетов свести в таблицу по форме 1.

3.1.2. В соответствии с функциональной схемой произвести необходимые электрические соединения. Включить источник питания, установить напряжение 10 В. Включить осцилло­граф тумблером “СЕТЬ” на передней панели прибора.

Форма 1

Условия экстремального эксперимента

№ п/п	Параметры состояния	Единицы измерения	Номинальный режим	Экстремальный режим
				Максимальное отклонение	Минимальное отклонение
1	2	3	4	5	6
1 2 3 4 5 6 7 8	(R2+RР1) (R5+RР2) U2 ΔU2 Τ Δτ (ΔU2/U2) (Δτ/τ)	кОм кОм В В мс мс - -	0 0 0 0

3.1.3. Установить номинальные значения сопротивлений R2+RР1 и R5+RР2 и измерить амплитуду импульса U_{вых ном} и длительность импульса τ_ном с помощью осциллографа. Результаты измерений занести в таблицу по форме 1.

3.1.4. Установить максимальные значения сопротивлений R2+RР1 и R5+RР2 и измерить U_{вых тах} и τ_тах. Результаты измерений

занести в таблицу по форме 1.

3.1.5. Установить минимальные значения сопротивлений R2+RР1 и R5+RР2 и измерить U_{вых min} и τ_min. Результаты измерений занести в таблицу по форме 1.

Форма 2

Количественные характеристики закона распределения погрешностей выходного параметра и поля допуска на них

Исследования предельными методами

E(ΔU/U)	δ((ΔU/U)	E(Δτ/τ)	δ(Δτ/τ)

Исследования вероятностными методами

E(ΔU/U)	M(ΔU/U)	δ(ΔU/U)	D(ΔU/U)	E(Δτ/τ)	M(Δτ/τ)	δ(Δτ/τ)	D(Δτ/τ)

3.1.6. Рассчитать абсолютные и относительные погрешности выходных параметров и количественные характеристики поля допуска на относительные погрешности выходных параметров в соответствии с вышеизложенной методикой, формулы (10) – (13). Результаты расчетов свести в таблицы по форме 1 и по форме 2.

3.2. Определение погрешностей выходных параметров

статистическим методом

3.2.1. Выбрать 20 значений стандартных случайных чисел с помощью таблиц стандартных случайных чисел. Результаты занести в таблицу по форме 3.

3.2.2. Согласно изложенной выше методике получить 20 значений случайных чисел, распределенных по нормальному закону. Полученные числа занести в таблицу по форме 3.

3.2.3 Используя выражения (17) и (18) и первые десять случайных чисел z_i, рассчитать десять значений суммарной погрешности резисторов R2+RР1. Используя выражения (17) и (18) и следующие десять случайных чисел z_i, рассчи­тать десять значений суммарной погрешности резисторов R5+RР2. При расчете учесть, что допуск на разброс относительных погрешностей резисторов R2+RР1 и R5+RР2 равен ± 10 %. Результаты расчетов свести в таблицу по форме 3.

Форма 3

Результаты расчета первичных погрешностей

№ п/п	Значения случайных чисел			Первичные погрешности
	γi	zi	Δ(R2+RР1)= =σΔ(R2+RР1) х zi, кОм		Δ(R5+RР2)= =σΔ(R5+RР2) х zi, кОм
1	2	3	4		5
1 2 3 . . . 20

3.2.4. Измерить значения выходных параметров τ и U_вых для десяти пар погрешностей R2+RР1 и R5+RР2. Пары погрешностей выбирать следующим образом, например: первая – одиннадцатая, вторая – двенадцатая и т.д. (задается преподавателем). Результаты измерений занести в таблицу по форме 4.

3.2.5. По вышеизложенной методике рассчитать значения Δτ и ΔU_вых и занести их в таблицу по форме 4.

Форма 4

Результаты статистических испытаний

№ п/п	Сочетание погрешностей в паре	U2, В	ΔU2, В	ΔU2/U2	τ, мс	Δτ, мс	Δτ/τ
1	2	3	4	5	6	7	8
1 2 3 . . . 10

3.2.6. Рассчитать количественные характеристики погреш­ностей выходных параметров по формулам (12), (13) и (14). Результаты расчетов свести в таблицу по форме 4.

3.2.7. Рассчитать значения допусков и относительные погрешности выходных параметров по формулам (15) и (16). Результаты расчетов свести в таблицу по форме 2.

3.2.6. Рассчитать количественные характеристики погреш­ностей выходных параметров по формулам (12), (13) и (14). Результаты расчетов свести в таблицу по форме 4.

3.2.7. Рассчитать значения допусков и относительные погрешности выходных параметров по формулам (15) и (16). Результаты расчетов свести в таблицу по форме 2.

4. Содержание отчета

4.1. Цель лабораторной работы. Электрическая схема объекта исследования.

4.2. Результаты экспериментальных исследований и расчетов в виде таблиц по формам 2 – 4.

4.3. Выводы о возможностях, достоинствах и недостатках экстремального и статистического методов испытаний.

Литература: [6, с. 7 – 15; 13, с. 161 – 167]

Работа 2. Исследование методов статистического

планирования эксперимента

1. Цель работы – изучение основных положений методов

статистического планирования эксперимента, построение и исследо-

вание планов проведения эксперимента.

2. Основные теоретические положения

2.1. Постановка задачи. Перед лабораторными работами 2 и 3 следует изучить материал, представленный в УМК на с. 22 – 37. Выходной параметр устройства представляет собой функцию многих переменных: параметров деталей и элементов конструкции, напряжения источников питания и т.д., т.е.

у =f(х₁, ..., х_i, ..., х_n), (19)

где у – выходной параметр; х_i – значение параметра i-го элемента.

Как правило, конкретный вид этой функции не известен, и поэтому решение некоторых задач анализа и синтеза при конструировании ЭС затруднено. Метод статистического планирования эксперимента (СПЭ) в сочетании с регрессионным анализом результатов эксперимента позволяет получить математическую модель выходного параметра ЭС в виде степенного ряда Тейлора, ограниченного членами первого, второго и реже третьего порядков:

, (20)

где Y – оценка генерального значения выходного параметра; В_i, В_ii, В_iu – эмпирические коэффициенты, являющиеся оценками соответствующих генеральных коэффициентов. Уравнение (20) называется уравнением регрессии, а коэффициенты В_i, В_ii и В_iu, входящие в его члены, называются коэффициентами регрессии.

2.2. Основные определения. Уравнение регрессии (20) может быть использовано для аппроксимации функции отклика в ограниченной области. В устройствах ИС, выходной параметр которых описывается зависимостью (19), практически важно знать, как ведет себя схема в окрестностях номинальных расчетных значений параметров радиоэлементов х_i0. Поэтому наиболее эффективным способом расположения экспериментальных точек является их равномерное рассредоточение около номинальных. Последнее особенно очевидно, когда у исследователя отсутствуют априорные сведения о поведении функции в обозреваемой факторной области.

Выбор интервалов варьирования Δх_i зависит от условий ра-

боты устройства. Можно, например, использовать сетку допусков на параметры элементов. При проведении экспериментов фактор может принимать следующие значения: х_i = х_i0 + Δх_i или х_i = х_i0 – Δх_i. В дальнейшем удобнее использовать значения факторов не в натуральном масштабе, а их нормированные значения

, (21)

где x_i – текущее значение i-го фактора (значение i-го фактора на верхнем или нижнем уровне); х_i0 – номинальное значение i-го фактора; Δx_i – интервал варьирования i-го фактора.

Учитывая условие нормирования факторов, уравнение регрессии (20) можно переписать в следующем виде:

,

где у – оценка генерального значения выходного параметра; х_i – нормированное значение i-го фактора; b₀, b_i, b_ii, b_iu – коэффициенты регрессии, используемые в уравнении регрес­сии с нормированными факторами: b_i = B_i / ׀x_i – x_i0׀ = B_i / ׀Δx_i׀, где B_i – i-й коэффициент регрессии, который используется в уравнении регрессии с факторами в натуральных единицах; Δх – интервал варьирования i-го фактора. Условия, порядок проведения и результаты эксперимента записываются в таблицу, которая называется матрицей пла­нирования эксперимента, или просто планом.

2.3. Полный факторный эксперимент. Предположим, функция отклика у зависит от двух фак­торов х₁ и х₂, каждый из которых может принимать норми­рованные значения, равные +1 (верхнее значение) и –1 (нижнее значение). Матрица планирования полного фактор­ного эксперимента ПФЭ для двух факторов представлена на с. 32. Знаки в матрице планирования «+» или «–» подразу­мевают значения нормированного фактора, равные +1 или –1 соответственно.

Собственно план проведения эксперимента включает два столбца значений х₁ и х₂. Можно видеть, что четыре опыта (четыре строки матрицы планирования) исчерпывают все возможные сочетания уровней двух факторов, т.е. количество опытов в ПФЭ N=2^k,

где k – число факторов. Для краткости планы ПФЭ, заданные таблицей, обозначают 2^k .

В матрицу планирования введена фиктивная переменная (х₀), которая необходима для вычисления коэффициента регрессии b₀. При аппроксимации функции отклика неполным полиномом второго порядка необходимо рассчитать коэффициент регрессии b₁₂. Для расчета этого коэффициента регрессии в матрицу планирования вво-дится столбец взаимодействия х₁х₂. Причем знаки для взаимодейст-вия получаются простым перемножением х₁ и х₂ в соответствующей строке. В графу «результаты наблюдений» заносят значения выходного параметра, которые получаются при сочетании значений факторов i-й строки в процессе проведения эксперимента. Результаты наблюдений используются для расчета коэффициентов регрессии.

Для построения плана типа 2³ (полный факторный эксперимент при трех факторах) необходимо дважды повторить планирование типа 2² таким образом, чтобы для первой половины опытов переменная х₃ была на нижнем уровне, а для второй – на верхнем. Этим будут исчерпаны все возможные комбинации значений факторов. Матрица планирования ПФЭ 2³ представлена табл.8.

Таблица 8

Матрица планирования ПФЭ 2³

№	х0	х1	х2	х3	х1х2	х1х3	х2х3	у
1	+	+	+	+	+	+	+	у1
2	+	–	+	+	–	–	+	у2
3	+	+	–	+	–	+	–	у3
4	+	–	–	+	+	–	–	у4
5	+	+	+	–	+	–	–	у5
6	+	–	+	–	–	+	–	у6
7	+	+	–	–	–	–	+	у7
8	+	–	–	–	+	+	+	у8

В принципе, при априорном планировании эксперимента несложно построить планы ПФЭ для любого количества факторов. Так, для четырех факторов план ПФЭ может быть построен путем повторения плана 2³ при значениях x₄, равных +1 и – 1. Число опытов для ПФЭ 2⁴ уже равно 16. Однако для большого количества факторов в случае ПФЭ появляется избыток степеней свободы f_R =N – r, где f_R – число степеней свободы; N – количество опытов при прове­дении ПФЭ; r – число искомых коэффициентов регрессии.

В ЭС, как показывает опыт, взаимодействия тройного и более высокого порядков можно не учитывать. Это связано с самокомпенсацией на выходе устройства эффектов от того или иного соотношения между тремя и более первичными факторами в силу комбинаторного характера их взаимосвязей. Более того, в ряде случаев можно полагать незначимыми и ряд парных взаимодействий (по физическим соображениям или когда отклонения параметров схемных элементов от номинала малы). В то же время уже план 2⁴ позволяет выделить шесть двойных, четыре тройных и одно неполного четвертого порядка взаимодействий.

Если исследователь уверен в линейной модели схемы, то при k = 5 ему необходимо определить r = k + 1 коэффициентов регрессии. Тогда число степеней свободы составит f_R = N – r = 32 – 6 = 26. Учитывая неравенство N > r, ту же линейную модель можно найти при 7...8 опытах вместо 32.

2.4. Дробный факторный эксперимент (ДФЭ). Рассмотрим прин-цип построения матрицы планирования ДФЭ. В табл. 9 представлена

матрица планирования ПФЭ 2².

Таблица 9

Матрица планирования ДФЭ 2^3-1

№	x0	x1	x2	x3=x1x2	x2x3	x1x3	y
1	+	+	+	+	+	+	y1
2	+	–	+	–	–	+	y2
3	+	+	–	–	+	–	y3
4	+	–	–	+	–	–	y4

Используя эту таблицу, можно построить матрицу планирования ДФЭ для трех факторов. Для этого будем считать взаимодействие x₁x₂ третьим фактором, и матрица плани­рования, соответствующая этому случаю, представлена в табл. 10.

Нетрудно заметить, что приведенный в табл. 10 нормированный фактор x₃ принимает такие же значения, как и взаимодействие x₁x₂, фактор x₁ – как взаимодействие x₂x₃, фактор x₂ – как взаимодействие x₁x₃.

Таким образом, как видно из табл.10, полученные в результате ДФЭ коэффициенты регрессии для линейных эффектов оказались смешанными с коэффициентами регрессии эффектов парных взаимодействий (в матрице знаки фактора x₁ совпадают со знаками взаимодействия х₂x₃, фактора x₂ – с x₁x₃, а фактора х₃ – с х₁х₂), что символически записывается следующим образом: b₁ → β₁ + β₂₃; b₂ →

→β₂ + β₁₃; b₃ → β₃ + β₁₂, где β_i, β_iu – действительные оценки коэффициентов регрессии; b_i – приближенные значения коэффициентов регрессии, полученные в результате проведения эксперимента и называемые оценками.

Таблица 10

Матрица планирования полуреплик 2^3-1

х3 = х1х2						х3 = – х1х2
№	х1	х2	х3	х1х2х3	№		х1	х2	х3	х1х2х3
1	+	+	+	+	1		+	+	–	–
2	–	+	–	+	2		–	+	+	–
3	+	–	–	+	3		+	–	+	–
4	–	–	+	+	4		–	–	–	–

Очень часто влияние взаимодействий на функцию отклика гораздо меньше линейных эффектов. В этом случае можно считать, что β ₂₃ = β₁₃ = β₁₂ = 0. Тогда b₁ → β₁; b₂ → β₂; b₃ → β₃.

Поставив четыре опыта для оценки влияния трех факторов, мы воспользовались половиной ПФЭ 2³, который имел бы число опытов N = 8. Такой уменьшенный в два раза эксперимент называется полурепликой. Если бы мы приравняли х₃ к х₁х₂, то получили бы вторую половину матрицы планирования 2³. В этом случае оценки коэффициентов регрессии при линейных членах и парных взаимодействиях также были бы смешаны: b₁ → β₁ – β₂₃; b₂ → β₂ – β₁₃; b₃ → → β₃ – β₁₂. Объединение этих двух полуреплик и есть полный факторный эксперимент 2³, который дает раздельные оценки для линейных эффектов и эффектов взаимодействий.

Правило получения матриц планирования дробных реплик

на основе матрицы планирования ПФЭ для k – 1 факторов можно сформулировать следующим образом: новому фактору присваивается столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Для обозначения дробных реплик, в которых е линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, поль-зуются записью 2^k-e. Так, рассмотренная нами полуреплика ПФЭ 2³

запишется как 2^3-1, а четвертьреплика от 2⁵ – в виде 2^5-2 и т.д.

2.5. Определяющий контраст. Генерирующее соотношение. При построении полуреплики 2^3-1 существуют всего две возможности приравнять х₃ к х₁х₂ или к – х₁х₂ (см. табл.10). Как видно из табл.10, для построчного произведения трех столбцов матрицы 1 выполняется соотношение х₁х₂х₃ = 1, а для матрицы 2 – х₁х₂х₃ = – 1.

Символическое обозначение произведений столбцов, равное +1 или –1, называется определяющим контрастом (ОК). Контраст помогает определять смешанные эффекты, или систему смешивания. Для того чтобы определить, какие эффекты смешаны с данным, нужно умножить обе части ОК на данный эффект. Так, если ОК 1= = x₁x₂x₃, то для х₁ имеем х₁ = x₁²x₂x₃, а так как х_i² = 1, то x₁ = x₂x₃. Аналогично х₂ = х₁x₃; х₃ = х₁x₂ . Это значит, что коэффициенты линейного уравнения будут оценками: b₁ → β₁ + β₂₃; b₂ → β₂ + β₁₃; а b₃ → β₃ + β₁₂. Соотношение, показывающее, с каким из эффектов смешан данный эффект, называется генерирующим соотношением (ГС). Например, для полуреплики 1 (табл.10) ГС имеет вид x₃ = x₁x₂, для полуреплики 2 (табл.10) ГС будет – х₃ = х₁x₂.

2.6. Разрешающая способность дробных реплик. Реплики высокой дробности. При выборе полуреплики 2^4-1 возможны уже восемь вариантов:

1. х4 =х1x2;	3. х4 = х2x3;	5. x4 = х1x3;	7. x4 = х1x2x3;
2. х3 = – х1x2;	4. х4 = – х2x3;	6. x4 = – х1x3;	8. х3 = – х1x2x3.

Разрешающая способность полуреплик, построенных в соответствии с приведенными ГС, различна. Разрешающая способность будет максимальной, если линейные эффекты смешаны с эффектами взаимодействия наиболее высокого порядка, поскольку, чем выше порядок взаимодействия, тем меньше его значимость и ошибка при определении соответствующих коэффициентов регрессии.

Для определения разрешающей способности ДФЭ необходимо написать систему смешивания, воспользовавшись ОК или ГС. Определим разрешающую способность первого и седьмого вариантов дробных полуреплик 2^4-1, для чего сначала по ГС найдем ОК:

1. x₄² = x₁ x₂ x₄ ; 1= x₁ x₂ x₄;

7. x₄² = x₁ x₂ x₃x₄; 1= x₁ x₂ x₃x₄.

Затем, умножая левую и правую части ОК на соответствующий эффект, получим систему смешивания:

Как видим, при выборе ГС седьмого варианта все линейные эффекты оказались смешанными с тройными взаимо­действиями, а в первом случае – в основном с двойными. Таким образом, при построении главных полуреплик в ОК следует включать наибольшее возможное число факторов, т.е. произведение должно состоять из всех независимых фак­торов.

Полуреплика, имеющая максимальную разрешающую способность, называется главной полурепликой. Среди полуреплик 2^5-1 главными будут полуреплики, имеющие ОК:

1= x₁х₂x₃х₄х₅ и – 1= х₁х₂х₃х₄х₅ .

Помимо полуреплик, на практике широко применяются ДФЭ более высокой дробности – 1/4 реплики, 1/8 реплики и т. д.

Рассмотрим 1/4 реплики 2^5-2. Здесь возможно очень большое число вариантов, в частности, если приравнивать x₄ к парному, а х₅ к тройному взаимодействию, возможны 12 различных вариантов:

1.	x4 = x1x2 ;	x5 = x1x2x3 ;
2.	x4 = x1x2 ;	x5 = – x1x2x3 ;
3.	x4 = – x1x2 ;	x5 = x1x2x3 ;
4.	x4= – x1x2 ;	x5= – x1x2x3 ;
5.	x4= x1x3 ;	x5= x1x2x3 ;
6.	x4= x1x3 ;	x5= – x1x2x3 ;
...	..............	................ .

Допустим, выбран пятый вариант: x₄ = x₁x₃; x₅ = x₁x₂x₃. Тогда определяющим контрастом являются 1 = x₁x₃х₄ и 1 = x₁x₂x₃х₅. Если перемножить эти определяющие контрасты, то полу­чится третье соотношение 1= x₂x₄x₅.

Чтобы полностью охарактеризовать разрешающую способность реплики, необходимо записать так называемый обобщающий определяющий контраст ООК: 1= х₁х₃х₄ = х₂х₄х₅ = х₁х₂х₃х₅.

В этом случае система смешивания определяется умножением ООК последовательно на х₁, x₂, x₃ и т.д. Аналогич­ным образом находятся ООК и система смешивания для реп­лик более высокой дробности. В заключение покажем, как строится матрица планиро­вания ДФЭ на примере главной полуреплики 2^4-1.

1. Запишем ГС для одного из факторов: х₄ = х₁х₂х₃.

2. Строим матрицу планирования ПФЭ типа 2³ для трех факторов x₁, x₂, x₃, исключая фактор х₄, который варьиру­ется в соответствии с ГС.

3. Добавляем к построенной матрице ПФЭ 2³ столбец (табл. 11) х₄, значения которого варьируются в соответ­ствии с ГС.

Эффективность применения дробных реплик возрастает с ростом количества факторов. Так, при наличии 15 факторов для постановки ПФЭ 2¹⁵ потребовалось бы проделать 32 768 опытов, применение же дробной реплики 2^15-11 позво­ляет снизить число опытов в 2048 раз, доведя его до 16.

Таблица 11

Матрица планирования ДФЭ 2^4-1

№	x1	x2	x3	x4
1	+	+	+	+
2	–	+	+	–
3	+	–	+	–
4	–	–	+	+
5	+	+	–	–
6	–	+	–	+
7	+	–	–	+
8	–	–	–	–

Таким образом, использование ДФЭ вместо ПФЭ позво­ляет существенно сократить число опытов, причем выигрыш в числе опытов тем больше, чем выше дробность реплики. Однако не следует забывать, что при линейных эффектах коэффициенты регрессии при ДФЭ оказываются смешанными с коэффициентами регрессии при взаимодействиях. Причем система смешивания усложняется, точность определения коэффициентов регрессии падает при повышении дробности реплики. Следовательно, ДФЭ позволяет существенно сократить число опытов, но при этом снижается точность определения коэффициентов регрессии, а значит, и искомой функции отклика.

2.7. Рандомизация порядка проведения опытов. Чтобы уменьшить влияние ошибок, вызванных внешними условиями (изменением температуры, изменением питающих напряжений и т.д.), рекомендуется случайная последова­тельность проведения опытов, запланированных матрицей. Опыты необходимо рандомизировать во времени. Термин рандомизация опытов означает придание порядку проведения опытов случайного характера. При рандомизации опытов их следует выполнять не в последовательности номеров строк матрицы планирования, а в случайной последователь­ности, получаемой с использованием любых датчиков или таблиц случайных чисел (табл.13, с. 96).

С помощью таблицы случайных чисел рандомизация производится следующим образом: рассмотрим матрицу пла­нирования 2³ (табл.12).

Таблица 12

Рандомизированная матрица ПФЭ 2³

Номер опыта по таблице случайных чисел		Номер по порядку	x1	x2	x3	Функция отклика
4	8	1	+	+	+	y11	y12
7	4	2	–	+	+	y21	y22
6	7	3	+	–	+	y31	y32
2	2	4	–	–	+	y41	y42
3	6	5	+	+	–	y51	y52
8	5	6	–	+	–	y61	y62
1	1	7	+	–	–	y71	y72
5	3	8	–	–	–	y81	y82

Для повышения точности экспери­ментальных исследований опыты проводятся несколько раз (проводится два параллельных опыта для каждой строки ма­трицы планирования). Суммарное число опытов равно 16. При рандомизации в этом случае из таблицы случайных чи­сел следует выбрать числа от 1 до 8 и записать их в сводную матрицу планирования (например, для 1-го и 2-го столбцов табл.7 и первых 8-и чисел в них). Выбор чисел осуществляется перебором элементов вектора-столбца или вектора-строки таблицы случайных чисел.