3 Динамика

РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ ДИНАМИКА

Динамикой называется раздел теоретической механики, в котором изучается движение тел с учетом действия сил, вызывающих это движение.

Дополнительно к известным из статики и кинематики определениям в динамике необходимо добавить понятие массы тела.

Массой тела называется присущее от природы свойство тела сохранять свое состояние покоя или движения.

А. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

При решении ряда задач динамики размерами тела можно пренебречь и считать его материальной точкой, в которой сосредоточена масса всего тела. Такое допущение существенно упрощает понимание основных закономерностей движения реальных тел.

ГЛАВА 10. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ

10.1 Законы динамики

Характер взаимодействия тел вполне определяется тремя законами, которые были сформулированы в 1687 г. Исааком Ньютоном в фундаментальном труде “Математические начала натуральной философии“. Эти законы следует рассматривать как результат многовекового изучения движения окружающих человека тел на Земле и наблюдения за движением планет, комет, Луны.

Первый закон (закон инерции): если равнодействующая сил, приложенных к материальной точке равна нулю, то эта

82

материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения

Второй закон (основной закон): если равнодействующая сил, приложенных к телу не равна нулю, то это тело (материальная точка) приобретает ускорение, пропорциональное равнодействующей и направленное по ней

Уравнение (3.2) называется основным уравнением динамики (ОУД).

Третий закон (действие равно противодействию): действию всякого тела на другое тело соответствует равное про-

(рис. 3.1).

Предполагается, что первый и второй законы выполняются абсо-

лютно точно только в инерциальной системе отсчета, которая либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Повидимому, строго инерциальные системы отсчета в окружающей нас Вселенной не могут иметь место. Однако, при решении практически всех задач, связанных с конструированием и анализом работы машин, с достаточной точностью в качестве инерциальной системы отсчета можно принимать систему отсчета, связанную с Землей. В этом случае движением по инерции, т.е. движением в соответствии с первым законом, будет, например, прямолинейное движение автомобиля с полностью включенным двигателем. С другой стороны движение автомобиля с выключенным двигателем будет происходить в соответствии со вторым законом.

83

На основе второго закона для тела, падающего в безвоздушном пространстве под действием силы тяжести P, можно записать

Из уравнения (3.3) следует, что в земных условиях масса тела характеризует количество вещества в нем содержащегося.

10.2 Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Проектируя основное уравнение динамики (3.2) на оси координат получим:

Уравнения (3.4) называются дифференциальными уравнениями движения материальной точки (ДУД).

10.3 Основные задачи динамики

Все многообразие задач, решаем на основе законов динамики, можно разбить на три типа, различающихся исходными данными и параметрами, подлежащими определению.

Первая (прямая) задача. В этом случае известны характеристики движения точки и по ним на основе уравнений (3.4) требуется найти действующую на точку силу, которая может являет-

y 2 cos(4t), м. Определить модуль равнодействующей R сил,

под действием которых происходит движение точки.

Решение. Так как z = 0, то движение точки происходит в плоскости 0xy. В этом случае

R x m d2x 64 sin(4t), м c2 , dt2

84

дальность полета L тяжелого тела, брошенного с начальной ско-

Постоянные интегрирования C1 и C2 найдем по начальным условиям:

Искомая дальность полета L = x при y = 0. Решая совместно уравнения (ж) при y = 0 находим

L V02 sin(2 ) 35,3м. g

Из уравнения для определения L следует, что максимальная дальность достигается для заданной начальной скорости при

45o . В рассмотренном примере она составляет 40,8 м. Третья (общая) задача. Все инженерные задачи относятся

к третьему типу, в которых среди неизвестных есть некоторые

86

силы (например, реакции связей), с другой стороны, известны некоторые характеристики движения (например, траектория точки). Для большинства реальных инженерных задач дифференциальные уравнения (3.4) оказываются нелинейными, и их решение выполняется численными методами на ЭВМ.

10.5. Интегрирование дифференциальных уравнений при действии переменных сил

Рассмотрим прямолинейное движение точки под действием переменной силы.

1. Сила зависит от времени F F(t).

В этом случае ОУД, спроецированное на направление движения, имеет вид:

Интегрируя (3.17) при заданных начальных условиях получим скорость точки как некоторой функции времени:

Уравнение (3.18) можно представить в виде дифференциального:

Интегрируя (3.19) при заданных начальных условиях получим закон движения точки вдоль прямой как некоторой функции времени:

Для определения скорости в функции перемещения необходимо решить совместно уравнения (3.18) и (3.20), в результате чего будем иметь:

VV (x).

2.Сила зависит от перемещения. В этом случае ОУД, спроектированное на направление движения, имеет вид:

87

Для разделения переменных в уравнении (3.21) и его интегрирования воспользуемся следующей подстановкой:

Дважды интегрируя (3.23) с учетом заданных начальных условий можно получить скорость как функцию перемещения и закон движения:

При необходимости в результате совместного решения (3.24) можно получить скорость в виде функции времени

VV (t).

3.Сила зависит от скорости. В этом случае модель силы имеет вид:

Чаще всего в инженерной практике приходится имеет дело с подобными задачами, когда необходимо учесть сопротивление среды. Обычно используют следующие модели:

R μ V (вязкое сопротивление, движение в жидкости),

R η V 2 (сопротивление газовой среды, движение в воздухе).

Методика интегрирования ДУД в данном случае аналогична случаю, когда сила зависит от времени.

Пример 3.4.Тяжелое тело падает вертикально без начальной скорости, при этом на него действует сила тяжести P и сила со-

противления воздуха R V 2 .Найти максимальную скорость

88

Колебательным процессом называется такой процесс, отдельные стадии которого повторяются в строгой последовательности (например, движение поршня двигателя).

Колебательные процессы чрезвычайно широко распространены в природе (осень, зима и т.д).

11.1. Свободные колебания

Частным случаем колебательных процессов являются механические колебания, которые удобно рассмотреть на примере колебаний материальной точки под действием упругой силы пружины, модель которой обычно записывается в виде

где c – коэффициент жесткости пружины (H/M).

Упругая сила пружины называется восстанавливающей, так как она стремится вернуть точку в то положение, где она равна нулю.

Будем рассматривать прямолинейные колебания тела, принимаемого за материальную точку, вдоль оси 0x, начало которой совпадает с концом недеформированной пружины (рис. 3.6). Запишем ОУД:

89

Тогда уравнение (3.28) можно записать так:

90

Анализируя уравнения (3.36) можно сделать вывод о том, что амплитуда колебаний зависит от начальных условий, в то время как из (3.34) следует, что период колебаний не зависит от начальных условий.

График колебаний при начальной фазе, равной нулю, показан на рис. 3.7.

11.2.Затухающие колебания

Вреальных условиях из-за наличия сопротивления среды и потерь энергии на деформацию пружины колебания затухают.

Рассмотрим затухающие колебания при наличии сопротивления, пропорционального первой степени скорости точки. Как и

впредыдущем случае будем рассматривать прямолинейные ко-

лебания (рис. 3.6).

Пусть модель сопротивления имеет вид: R V . Спроектируем ОУД на ось 0x: m x -c x - x .

Обозначим 2b . m

91