Б. Динамика механической системы

Глава 14. Введение в динамику системы

14.1 Основные определения

1. Механической системой называется такая совокупность материальных точек, при которой движение одной ее какой-нибудь точки обусловлено движением остальных точек (тел) (солнечная система, кривошипно-ползунный механизм).

Механической системой является любое твердое тело, в общем случае механической системой с бесконечным числом степеней свободы может быть любое тело (дерево, куртка и т.д.).

2. Внешние силы системы – это такие силы, с которыми тела, не включенные в данную систему, действуют на тела системы. Внешние силы будем обозначать .

3. Внутренние силы системы – это силы, с которыми тела данной системы действуют друг на друга; будем обозначать их символом .

Свойства внутренних сил системы.

В соответствии с 3-м законом динамики геометрическая сумма всех внутренних сил системы всегда равна нулю. Геометрическая сумма моментов всех внутренних сил системы относительно любой точки также равна нулю:

, .

(3.82)

4. Центр масс системы – это такая точка, которая определяется уравнением

.

(3.83)

При решении задач удобно пользоваться аналитическими выражениями для нахождения центра масс

, ,.

(3.84)

5. Масса системы определяется как арифметическая сумма масс всех ее точек

.

(3.85)

6. Момент инерции механической системы

При изучении произвольного движения механической системы кроме массы системы и ее центра необходимо знать характер распределения масс, для оценки которого вводится понятие момента инерции системы.

Моментом инерции системы относительно некоторого центра называется сумма произведений масс точек на квадрат их расстояния до данного центра

.

(3.86)

Моментом инерции системы относительно оси называется арифметическая сумма произведений масс точек на квадраты их расстояний до данной оси.

.

(3.87)

Так для системы, состоящей их трех материальных точек (рис. 3.24), момент ее инерции относительно оси ABнайдется из выражения

.

Моменты инерции тела относительно координатных осей можно вычислить по следующим формулам:

, , .

(3.88)

Центральным моментом инерции механической системы называется момент инерции ее относительно любой оси, проходящей через центр масс системы.

Теорема Гюйгенса

Момент инерции тела относительно любой оси, параллельной центральной оси, равен сумме центрального момента инерции, сложенного с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями(рис. 3.25):

.

(3.89)

14.2. Вычисление моментов инерции однородных тел

1. Тонкий стержень (рис. 3.26). На основе (3.88) можно записать

.

(а)

Точность вычисленного по данному уравнению момента инерции зависит от числа разбиений n. При вычисление суммы (а) сводится к вычислению соответствующего интеграла.

Введем понятие массы единицы длины

.

(б)

Тогда элементарный момент инерции

,	(в)
.	(г)

Объединяя (в) и (г) получим

, .

(3.90)

Очевидно, уравнение (3.90) справедливо для тонкой однородной пластины.

2. Тонкое однородное кольцо (полый цилиндр)

Разбивая аналогично предыдущему кольцо на элементарные участки, получим (рис. 3.27)

или .

(3.91)

3. Диск (сплошной цилиндр) (рис. 3.28)

.

(3.92)

Точные значения различных тел моментов инерции относительно разных осей можно найти в справочниках.

Вслучаях, когда тела имеют сложную форму и не являются однородными, моменты инерции их определяют экспериментально, например методом кручения.