Динамика

Динамика материальной точки

Основные определения

Динамикойназывается раздел теоретической механики, в котором изучается движение тел с учетом действия сил, вызывающих это движение.

С геометрической точки зрения движение изучалось в кинематике. В динамике принимают во внимание силы, инертность тел. Силы в отличие от статики могут быть переменными.

Инертность представляет собой свойство материальных тел быстрее или медленнее изменять скорость своего движения под действием приложенных сил.

Масса есть количественная мера инертности тела, т.е. способности сохранять свое состояние покоя или движения.

Материальной точкой называется материальной тело, размерами которого при изучении его движения можно пренебречь.

Тело можно рассматривать как материальную точку, например, когда расстояние, проходимое телом, значительно превышает его размеры, или когда тело совершает поступательное движение.

Законы динамики

В основе динамики лежат законы, установленные путем обобщения результатов большого количества опытов и наблюдений над движением тел. Систематически эти законы были изложены впервые И. Ньютоном в 1687 году.

1-й закон (закон инерции)

Если равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке, равна нулю, то эта материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

(1)

2-й закон (основной закон динамики)

Если равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке, не равна нулю, то эта материальная точка приобретает ускорение, пропорциональное равнодействующей и направленной по ней.

или (2)

Выражение (2) представляет собой основное уравнение динамики.

3-й закон (закон равенства действия и противодействия)

Две материальные точки действуют друг на друга с силами, лежащими на прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению.

Основные задачи динамики

На основе изложенных законов динамики могут быть решены следующие типы задач:

1. Первая (прямая) задача динамики. В этом случае известны характеристики движения точки и по ним, зная массу, на основе уравнения (3) можно найти действующую на тело силу.

2. Вторая (обратная или основная) задача динамики. В этом случае известны действующие на точку (тело) силы и его масса, требуется найти характеристики движения тела, т.е. зависимость от времени его скорости и координат.

3. Общая задача динамики. В этом случае известны некоторые характеристики движения тела, некоторые силы. Требуется определить неизвестные характеристики движения и неизвестные силы. К этому типу задач относятся все инженерные задачи.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Основной закон динамики (2) при решении задач проектируют на оси координат.

Декартова система координат.

Проектируя (2) на оси, получим

(3)

дифференциальные уравнения движения в проекции на оси декартовой системы координат

где - соответственно проекции ускорения на координатные оси Оx, Oy, Oz;

- соответственно суммы проекций сил, действующих на точку на оси координат.

Естественная система отсчета.

Данным способом удобно пользоваться когда известна траектория движения материальной точки.

- касательная, n – главная нормаль, b – бинормаль.

Из кинематики известно, что

,

где  - радиус кривизны траектории в точке. Тогда дифференциальные уравнения движения в проекции на естественные оси принимают вид:

(4)

Решение второй задачи динамики заключается в двукратном интегрировании уравнений (3) или (4). Для чего необходимо знать начальные условия, т.е. начальную скорость и начальные координаты. Во многих случаях эти уравнения нелинейные и решаются численно на ЭВМ.