2 Кинематика

РАЗДЕЛ ВТОРОЙ КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

ГЛАВА 5. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

5.1. Введение в кинематику

Кинематика – раздел теоретической механики, в котором изучается движение тел без учета действия сил, вызывающих или поддерживающих это движение.

Движением тела называется изменение его положения в пространстве по отношению к заданной системе отсчета.

Системой отсчета называют любое тело, по отношению к которому изучается движение.

Время в механике считается независимым переменным, одинаковым для всех наблюдателей.

В отдельных случаях при движении некоторых тел можно пренебречь их размерами и принимать их за геометрические точки. Это позволяет значительно упростить изучение характеристик движения тел.

Для изучения движения тела оно должно быть каким-то образом задано.

5.2. Способы задания движения точки

5.2.1. Координатный способ задания движения точки

В этом случае должны быть заданы координаты точки в виде некоторых функций времени (рис. 2.1):

Уравнения (2.1) являются уравнениями движения точки в декартовых координатах.

43

Рис. 2.1.

Траекторию точки можно получить в явном виде, для чего надо исключить из уравнений (2.1) время.

Пример 2.1. Найти уравнение траектории точки, если ее

движение задано уравнениями:

X 3 cos(2 t), м, Y 3 sin(2 t), м.

Перепишем уравнения в виде

44

которая и является уравнением движения точки в векторной форме (рис. 2.3).

Для перехода от векторного к координатному способу можно воспользоваться уравнением

Пример 2.2. Определить траекторию точки, если уравнение ее движения имеет вид:

z 0.75 x 2 , следовательно в данном случае точка движется по параболе (рис. 2.4).

5.2.3. Естественный способ задания движения

При этом способе должны быть заданы (рис. 2.5):

1)траектория точки;

2)закон движения в виде зависимости криволинейной координаты S от времени, то есть

3)начало отсчета;

4)направление отсчета.

45

dy 6 cos(2t)dt,

ds 62 (sin 2 (2t) cos2 (2t)(dt)2 6dt,

ds 6 dt, S 6 t S0.

5.3.Определение скорости точки

46

r

Тогда Δt Vср .

Таким образом, средняя скорость точки равна отношению приращения радиуса вектора к соответствующему промежутку времени. Истинное значение скорости найдется как предел:

Истинное значение скорости определяется векторной производной от радиуса-вектора по времени. Скорость определяется не только величиной, но и направлением. Вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории точки в заданный момент времени.

5.3.2. Координатный способ задания движения

Перейдем от координатного способа задания движения к векторному на основе (2.3). Тогда с учетом (2.6) имеем

Следовательно проекции скорости на координатные оси определяются первыми производными по времени от соответствующих координат. Модуль скорости

Направляющие косинусы вектора скорости относительно координатных осей определяются выражениями (рис. 2.7):

cos( ) VVx , cos( ) VVy , cos( ) VVz .

47

Vt 2 - 9 7 м/с, то есть скорость направлена влево (рис. 2.8).

Пример 2.4. Точка M движется в соответствии с уравнени-

ями

48

5.4. Определение ускорения точки

49

5.4.1. Векторный способ задания движения

Ускорением материальной точки называется векторная величина, характеризующая изменение во времени величины и направления вектора скорости.

Пусть точка движется по криволинейной траектории. В момент времени t она занимает положение М и имеет скорость V, а в момент времени t1 – положение М1 и скорость V1 (рис. 2.10).

Ускорение точки определяется первой производной от вектора скорости по времени или второй производной от радиусвектора точки по времени

Вектор ускорения всегда лежит в плоскости движения и направлен в сторону вогнутости траектории.

5.4.2. Координатный способ задания движения

Для определения ускорения в соответствии с (2.11) вычислим векторную производную от вектора скорости (2.7)

50

Проекция ускорения на касательную, то есть касательное ускорение точки, определяется первой производной по времени от скорости или второй производной по времени от криволинейной координаты S.

Касательное ускорение характеризует изменение вектора скорости по величине. Если V const , то ускорение W 0 .

52