Введение.

В этой лекции мы начинаем изучение темы «Определенный интеграл», включающей в себя четыре лекции, три практических занятия и одно лабораторное занятие. Тема «Определенный интеграл» и данная лекция, в частности, связаны с предыдущей темой «Неопределенный интеграл». Математики 17-го столетия, получившие многие новые результаты по интегральному исчислению, опирались на труды Архимеда. Г. Лейбниц впервые выделил понятие неопределенного интеграла. Обозначение определенного интеграла ввел К. Фурье (1768-1830). Но пределы интегрирования указал уже Эйлер. Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение многих проблем связано с именами О. Коши, Б. Римана, Г. Дарбу. Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей фигур и объемов тел, были получены К. Жорданом (1838-1922). Лекция тесно связана с тематикой последующих тем.

1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Задача о площади криволинейной трапеции.

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат xOy на отрезке , где b>a, определена непрерывная неотрицательная функция, т.е.. Фигура aABb, ограниченная снизу отрезкомоси Ox, сверху – дугой AB графика функции f, а слева и справа – отрезками прямыхи, называется криволинейной трапецией.

Дадим определение площади криволинейной трапеции на aABb. Разобьем отрезокна n малых отрезков; абсциссы точек разбиения обозначим черезНабор точек деленияназовем разбиением отрезка. Через точки разбиенияпроведем прямые, параллельные оси Oy. Эти прямые разобьют криволинейную трапецию aABb на n узких полос, каждая из которых тоже является криволинейной трапецией с основанием. Площадь S трапеции aABb равна сумме площадей полос ее составляющих. Если n достаточно велико и все от

резки малы, то площадь каждой из полос можно заменить площадью соответствующего прямоугольника, которая вычисляется легко. На каждом отрезкевыберем какую-нибудь точку, вычислим значениев этой точке и примем за высоту прямоугольника. В силу непрерывности функциямало изменяется на отрезках, если они малы.

Поэтому на таких отрезках ее можно считать постоянной и равной .

Так как площадь одной полосы приближенно равна площади прямоугольника , то для площади S криволинейной трапеции aABb получим приближенное равенство

, где (1)

Приближенное равенство (1) тем точнее, чем меньше величина . Величина d называется диаметром разбиения. По определению,площадью криволинейной трапеции называется предел суммы площадей прямоугольников при стремлении диаметра разбиения к нулю, т.е.

(2)

Следовательно, вычисление площади криволинейной трапеции приводит к вычислению предела суммы вида (2) при .

Задача о пройденном пути. Если закон движения какой – либо точки задан уравнением вида , где t – время, а s – пройденный путь, производнаяфункцииравна скорости v движения, т.е.. В физике часто приходится решать следующую обратную задачу. Пусть точка движется по прямой со скоростью v. Будем считать, что эта скорость является непрерывной функцией от времени t. Определим путь, пройденный точкой за некоторый отрезоквремени от момента t-a до момента t=b. Разобьем отрезокточкамина n достаточно малых отрезков времени. Так как за короткий отрезок временискоростьпочти не изменяется, то можно приближенно считать ее за этот отрезок времени постоянной и равной, где. Это означает, что движение точки на отрезкесчитается равномерным. Тогда путь, пройденный точкой за это время, равен, а путь, пройденный за отрезок времени, составляет, где. Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше величина. По определению,путем s называется предел суммы при стремлении диаметра разбиения к нулю, т.е.

(3)

Следовательно, вычисление пройденного пути приводит к вычислению предела суммы вида (3) при .

В рассмотренных задачах применялся один и тот же метод, сводившийся к нахождению предела сумм некоторого вида. К нахождения предела сумм, аналогичных рассмотренным выше, приводит ряд задач естествознания и техники. Поэтому займемся изучением выражений (1) и (2), называемых определенными интегралами, уже не интересуясь их конкретными истолкованиями.