Раздел второй Кинематика точки и твердого тела

Глава 5. Кинематика точки

5.1. Введение в кинематику

Кинематика – раздел теоретической механики, в котором изучается движение тел без учета действия сил, вызывающих или поддерживающих это движение.

Движением тела называется изменение его положения в пространстве по отношению к заданной системе отсчета.

Системой отсчета называют любое тело, по отношению к которому изучается движение.

Время в механике считается независимым переменным, одинаковым для всех наблюдателей.

В отдельных случаях при движении некоторых тел можно пренебречь их размерами и принимать их за геометрические точки. Это позволяет значительно упростить изучение характеристик движения тел.

Для изучения движения тела оно должно быть каким-то образом задано.

5.2. Способы задания движения точки

5.2.1. Координатный способ задания движения точки

В этом случае должны быть заданы координаты точки в виде некоторых функций времени (рис. 2.1):

Уравнения (2.1) являются уравнениями движения точки в декартовых координатах.

Траекторию точки можно получить в явном виде, для чего надо исключить из уравнений (2.1) время.

Пример 2.1.Найти уравнение траектории точки, если ее движение задано уравнениями:

м, м.

Перепишем уравнения в виде

возведем в квадрат и сложим. Получим:

Таким образом, в данном случае точка движется по окружности (рис. 2.2). Начальное положение точки определяется координатами ,.

5.2.2. Векторный способ задания движения

В этом случае должна быть задана векторная функция времени

(2.2)

которая и является уравнением движения точки в векторной форме (рис. 2.3).

Для перехода от векторного к координатному способу можно воспользоваться уравнением

(2.3)

Пример 2.2.Определить траекторию точки, если уравнение ее движения имеет вид:

Очевидно, то есть точка движется в плоскости.

Исключая из уравнений движения время получимследовательно в данном случае точка движется по параболе (рис. 2.4).

5.2.3. Естественный способ задания движения

При этом способе должны быть заданы (рис. 2.5):

1. траектория точки;

2. закон движения в виде зависимости криволинейной координаты Sот времени, то есть

   (2.4)

3. начало отсчета;

4. направление отсчета.

Если начало и направление отсчета не заданы, они могут быть выбраны произвольно.

Можно установить связь между естественным и координатным способами задания движения. Известно, что дугу можно выразить через координаты:

(2.5)

Найдем закон движения в примере 2.1:

5.3. Определение скорости точки

Скоростью точки называется характеристика изменения положения точки с течением времени по отношению к заданной системе отсчета.

1. Векторный способ задания движения точки

В соответствии с приведенным выше определением скорости найдем соответствующие приращения времени и радиуса вектора (рис. 2.6):

Тогда

Таким образом, средняя скорость точки равна отношению приращения радиуса вектора к соответствующему промежутку времени. Истинное значение скорости найдется как предел:

.

(2.6)

Истинное значение скорости определяется векторной производной от радиуса-вектора по времени. Скорость определяется не только величиной, но и направлением. Вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории точки в заданный момент времени.