- •Федеральное агентство по образованию
- •2404000000-35 Удк 681.142:519.6
- •Оглавление
- •1. Основы работы в Mathcad 10
- •2. Роль численных методов 36
- •3. Методы аппроксимации и интерполирования 42
- •4. Лабораторная работа № 1. Интерполирование степенными многочленами 44
- •5. Лабораторная работа № 2. Параметрическая идентификация математических моделей методами аппроксимации 65
- •6. Решение систем линейных алгебраических уравнений 93
- •7. Лабораторная работа № 3. Решение систем линейных уравнений приближенными методами 109
- •8. Лабораторная работа № 4. Решение нелинейных уравнений приближенными методами 142
- •9. Лабораторная работа № 5. Решение систем нелинейных уравнений приближенными методами 174
- •10. Лабораторная работа № 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка численными методами 197
- •11. Лабораторная работа № 7. Численное интегрирование 212
- •12. Лабораторная работа № 8. Моделирование реактора идеального вытеснения для многостадийной химической реакции с линейной кинетикой 226
- •13. Лабораторная работа № 9. Расчет моделей процессов диффузии и теплопроводности с помощью явной разностной схемы 249
- •Предисловие
- •1. Основы работы в Mathcad
- •1.1. Панели инструментов
- •1.2. Ввод и вывод данных
- •1.3. Осуществление несложных вычислений
- •1.4. Построение и настройка графиков
- •1.5. Программирование в Mathcad
- •1.5.1. Программирование без программирования
- •1.5.2. Язык программирования Mathcad
- •1.5.3. Создание программы (Add Line)
- •1.5.4. Редактирование программы
- •1.5.5. Локальное присваивание ()
- •1.5.6. Условные операторы (if, otherwise)
- •1.5.7. Операторы цикла (for, while, break, continue)
- •1.5.8. Возврат значения (return)
- •1.5.9. Перехват ошибок (on error)
- •1.5.10. Примеры программирования
- •2. Роль численных методов
- •2.1. Этапы решения задачи на компьютере
- •2.2. Математические модели
- •2.3. Численные методы
- •3. Методы аппроксимации и интерполирования
- •4. Лабораторная работа № 1. Интерполирование степенными многочленами
- •4.1. Постановка задачи
- •4.2. Порядок выполнения работы
- •4.3. Краткие теоретические сведения
- •4.3.1. Метод неопределенных коэффициентов
- •4.3.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •4.3.3. Интерполяционные формулы Ньютона для равностоящих узлов
- •4.4. Примеры выполнения
- •4.4.1. Интерполирование степенными многочленами с использованием метода неопределенных коэффициентов
- •4.4.2. Интерполирование степенными многочленами с использованием второй интерполяционной формулы Ньютона
- •4.5. Требования к отчету
- •4.6. Контрольные вопросы и задания
- •4.7. Задания
- •5. Лабораторная работа № 2. Параметрическая идентификация математических моделей методами аппроксимации
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Порядок выполнения работы
- •5.3. Краткие теоретические сведения
- •5.3.1. Метод выбранных точек
- •5.3.2. Метод средних
- •5.3.3. Метод наименьших квадратов
- •5.4. Примеры выполнения
- •5.4.1. Аппроксимация с использованием метода выбранных точек
- •5.4.2. Аппроксимация с использованием метода средних
- •5.4.3. Аппроксимация с использованием метода наименьших квадратов
- •5.4.4. Сравнительный анализ методов аппроксимации
- •5.5. Требования к отчету
- •5.6. Контрольные вопросы и задания
- •5.7. Задания
- •6. Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •6.1. Общие положения
- •6.2. Точные методы решения систем линейных уравнений
- •6.2.1. Метод Крамера
- •6.2.2. Метод Гаусса
- •6.2.3. Метод обращения матриц
- •7. Лабораторная работа № 3. Решение систем линейных уравнений приближенными методами
- •7.1. Постановка задачи
- •7.2. Порядок выполнения работы
- •7.3. Краткие теоретические сведения
- •7.3.1. Математическое описание реактора идеального смешения непрерывного действия
- •7.3.2. Математическое описание кинетических закономерностей химических превращений
- •7.3.4. Приближенные методы решения систем линейных уравнений
- •7.3.4.1. Метод простых итераций
- •7.3.4.2. Метод Зейделя
- •7.4. Примеры выполнения
- •7.4.1. Пример выполнения задания точным методом
- •7.4.2. Пример выполнения задания методом итераций и методом Зейделя
- •7.5. Требования к отчету
- •7.6. Контрольные вопросы и задания
- •7.7. Задания
- •8. Лабораторная работа № 4. Решение нелинейных уравнений приближенными методами
- •8.1. Постановка задачи
- •8.2. Порядок выполнения работы
- •8.3. Краткие теоретические сведения
- •8.3.1. Этапы решения нелинейного уравнения
- •8.3.4. Метод деления отрезка пополам (вилки, дихотомии)
- •8.3.5. Метод Ньютона (метод касательных)
- •8.3.6. Метод простых итераций
- •8.4. Пример выполнения задания методом итераций
- •8.5. Требования к отчету
- •8.6. Контрольные вопросы и задания
- •8.7. Задания
- •9. Лабораторная работа № 5. Решение систем нелинейных уравнений приближенными методами
- •9.1. Постановка задачи
- •9.2. Порядок выполнения работы
- •9.3. Краткие теоретические сведения
- •9.3.1. Метод Ньютона
- •9.3.2. Метод итераций
- •9.4. Примеры выполнения
- •9.4.1. Метод Ньютона
- •9.4.2. Метод итераций
- •9.5. Требования к отчету
- •9.6. Контрольные вопросы и задания
- •9.7. Задания
- •10. Лабораторная работа № 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка численными методами
- •10. 1. Постановка задачи
- •10.2. Порядок выполнения работы
- •10.3. Краткие теоретические сведения
- •10.3.1. Метод Эйлера
- •10.3.2. Модифицированный метод Эйлера
- •10.3.3. Метод Эйлера-Коши
- •10.3.4. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка
- •10.4. Примеры выполнения
- •10.4.1. Реализация метода Эйлера в математическом редактореMathcad
- •10.4.2. Решение обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка с помощью функции rkfixed
- •10.5. Требования к отчету
- •10.6. Контрольные вопросы и задания
- •10.7. Задания
- •11. Лабораторная работа № 7. Численное интегрирование
- •11. 1. Постановка задачи
- •11.2. Порядок выполнения работы
- •11.3. Краткие теоретические сведения
- •11.3. 1. Метод прямоугольников
- •11.3.2. Метод трапеций
- •11.4. Пример выполнения
- •11.5. Требования к отчету
- •11.6. Контрольные задания
- •1 Таблица 101.7. Задания
- •12. Лабораторная работа № 8. Моделирование реактора идеального вытеснения для многостадийной химической реакции с линейной кинетикой
- •12. 1. Постановка задачи
- •12.2. Порядок выполнения работы
- •12.3. Краткие теоретические сведения
- •12.3.1. Математическая модель реактора идеального вытеснения
- •12.3.2. Численное решение систем дифференциальных уравнений
- •12.4. Пример выполнения
- •12.5. Проверка расчета с помощью функции rkfixed
- •12.6. Требования к отчету
- •12.7. Контрольные вопросы и задания
- •1 Таблица 112.8. Задания
- •13. Лабораторная работа № 9. Расчет моделей процессов диффузии и теплопроводности с помощью явной разностной схемы
- •13.3.2. Решение уравнений в частных производных
- •13.3.3.Метод сетки
- •13.3.4. Явная разностная схема
- •13.3.5. Условия устойчивости явной разностной схемы
- •13.4. Пример выполнения
- •13.5. Требования к отчету
- •13.6. Контрольные вопросы и задания
- •13.7. Задания
- •Библиографический список
- •Использование
13.3.5. Условия устойчивости явной разностной схемы
Для того чтобы решение по явной разностной схеме было устойчиво, необходимо выбирать интервалы дискретизации из следующего условия:
.
Конечно-разностная схема называется устойчивой, если погрешности, допущенные в процессе вычислений, затухают или остаются малыми при увеличении номера текущего слоя. Рассмотрим условия устойчивости явной разностной системы на примере уравнения диффузии:
.
Будем искать решение в следующем виде.
где А–const,= –2,.
Отметим, что eix=cos(x)+isin(x), т. е. физически решением уравнения являются функции, которые представляют собой волны, графиком которых являются кривые (гармоники), затухающие приt.
Рассмотрим конечно-разностные уравнения, аппроксимирующие исходное дифференциальное уравнение.
.
Очевидно, что затухание гармоник во времени должно иметь место и для разностного уравнения.
Решение данного уравнения будем искать в виде:
,
где: tn=(n-1)t,
xk=(k-1)x.
Если положить
, то
.
Следовательно, при происходит затухание гармоники во времени, т. е. процесс решения устойчив. ЕслиS>1, то происходит потеря устойчивости решения. Для конечно-разностного уравнения, подставив формулу предполагаемого решения, получим:
Разделим левую и правую части уравнения на:
G=ASn-1ei(k-1)x, получим:
.
Рассмотрим
следовательно,
,
.
Для устойчивости вычислительной схемы достаточно потребовать, чтобы S1, т. е.
Правое неравенство выполняется всегда.
.
Рассмотрим случай, когда sinпринимает максимально возможное значение – 1:
Для получения устойчивого решения уравнения, сначала задаются одним из параметров (например, величиной х) и затем, исходя из полученного условия определяется величина другого значенияt.
13.4. Пример выполнения
Рассмотрим процесс расчета профиля концентрации вещества по пространственной и временной координате для объекта, описываемого следующим уравнением:
,
где С– концентрация вещества; D– коэффициент диффузии;t – время;x– пространственная координата.
Начальные условия:
Граничные условия:
,
Расчет проведем в среде Mathcad.
Сначала зададим исходные данные для расчета:
–коэффициент диффузии,
– начальная концентрация,
– начальное значение пространственной координаты,
– конечное значение пространственной координаты,
– шаг дискретизации по пространственной координате.
Выбираем шаг дискретизации по времени так, чтобы выполнялось условие устойчивости явной разностной схемы:
– шаг дискретизации по времени,
– начальное время,
– конечное время,
Рассчитываем количество точек разбиения временного и пространственного интервалов для метода сетки:
,
– для временного интервала,
,
– для пространственного интервала.
Рассчитаем массивы временного и пространственного интервалов (индекс k– порядковый номер элементов в массиве пространственной координаты, индексn– порядковый номер элементов в массиве времени):
Используя инструменты программирования Mathcad, составим функцию, реализующую расчет профиля концентраций по явной разностной схеме:
Осуществим вызов данной функции и возврат её результатов в массив C:
Выведем на экран содержимое массивов x,tиC. Для этого после имени массива поставим знак «=».
Представим полученную зависимость концентрации от времени и длины в виде объемного графика (рис. 105):
Рис. 105. Изменение концентрации по времени и длине
Представим распределение концентрации в конкретных сечениях (длина фиксирована) по времени (рис. 106):
Рис. 106. Изменение концентрации по времени
Представим распределение концентрации в конкретные моменты времени в сечениях (время фиксировано) по длине (рис. 107):
Рис. 107. Изменение концентрации по длине
Проведем анализ полученных результатов с точки зрения физического смысла.
Рассмотрим процесс изменения концентрации во времени в нескольких выбранных сечениях:
на одной границе (x=0) концентрация постоянна, что соответствует первому граничному условию;
на другой границе (x=L) градиент концентраций отсутствует, т. к. значения рассчитанных концентраций в двух последних сечениях (приx=Lиx=L–dx) равны, что соответствует второму граничному условию;
во всех сечениях происходит увеличение концентрации со временем (рис. 106), т. к. происходит поступление вещества внутрь объекта через его границу благодаря диффузии, причем в сечениях, близких к границе x=L, концентрация увеличивается значительно позже, чем в сечениях, близких к границеx=0.
Рассмотрим процесс изменения концентрации по длине в определенные моменты времени:
в начальный момент времени (t=0) концентрация в объекте равна нулю во всех сечениях, за исключением границыx=0, что соответствует начальному условию;
в любой из рассматриваемых моментов времени (рис. 107) концентрация на границе x=0 превышает концентрацию на границеx=L, но чем больше проходит времени, тем меньше становится разница концентраций, что говорит о постепенном проникновении вещества внутрь объекта.
Таким образом, проведенный анализ результатов, представленных в виде таблиц и графиков, показывает, что результаты соответствуют физическому смыслу задачи.