- •Федеральное агентство по образованию
- •2404000000-35 Удк 681.142:519.6
- •Оглавление
- •1. Основы работы в Mathcad 10
- •2. Роль численных методов 36
- •3. Методы аппроксимации и интерполирования 42
- •4. Лабораторная работа № 1. Интерполирование степенными многочленами 44
- •5. Лабораторная работа № 2. Параметрическая идентификация математических моделей методами аппроксимации 65
- •6. Решение систем линейных алгебраических уравнений 93
- •7. Лабораторная работа № 3. Решение систем линейных уравнений приближенными методами 109
- •8. Лабораторная работа № 4. Решение нелинейных уравнений приближенными методами 142
- •9. Лабораторная работа № 5. Решение систем нелинейных уравнений приближенными методами 174
- •10. Лабораторная работа № 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка численными методами 197
- •11. Лабораторная работа № 7. Численное интегрирование 212
- •12. Лабораторная работа № 8. Моделирование реактора идеального вытеснения для многостадийной химической реакции с линейной кинетикой 226
- •13. Лабораторная работа № 9. Расчет моделей процессов диффузии и теплопроводности с помощью явной разностной схемы 249
- •Предисловие
- •1. Основы работы в Mathcad
- •1.1. Панели инструментов
- •1.2. Ввод и вывод данных
- •1.3. Осуществление несложных вычислений
- •1.4. Построение и настройка графиков
- •1.5. Программирование в Mathcad
- •1.5.1. Программирование без программирования
- •1.5.2. Язык программирования Mathcad
- •1.5.3. Создание программы (Add Line)
- •1.5.4. Редактирование программы
- •1.5.5. Локальное присваивание ()
- •1.5.6. Условные операторы (if, otherwise)
- •1.5.7. Операторы цикла (for, while, break, continue)
- •1.5.8. Возврат значения (return)
- •1.5.9. Перехват ошибок (on error)
- •1.5.10. Примеры программирования
- •2. Роль численных методов
- •2.1. Этапы решения задачи на компьютере
- •2.2. Математические модели
- •2.3. Численные методы
- •3. Методы аппроксимации и интерполирования
- •4. Лабораторная работа № 1. Интерполирование степенными многочленами
- •4.1. Постановка задачи
- •4.2. Порядок выполнения работы
- •4.3. Краткие теоретические сведения
- •4.3.1. Метод неопределенных коэффициентов
- •4.3.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •4.3.3. Интерполяционные формулы Ньютона для равностоящих узлов
- •4.4. Примеры выполнения
- •4.4.1. Интерполирование степенными многочленами с использованием метода неопределенных коэффициентов
- •4.4.2. Интерполирование степенными многочленами с использованием второй интерполяционной формулы Ньютона
- •4.5. Требования к отчету
- •4.6. Контрольные вопросы и задания
- •4.7. Задания
- •5. Лабораторная работа № 2. Параметрическая идентификация математических моделей методами аппроксимации
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Порядок выполнения работы
- •5.3. Краткие теоретические сведения
- •5.3.1. Метод выбранных точек
- •5.3.2. Метод средних
- •5.3.3. Метод наименьших квадратов
- •5.4. Примеры выполнения
- •5.4.1. Аппроксимация с использованием метода выбранных точек
- •5.4.2. Аппроксимация с использованием метода средних
- •5.4.3. Аппроксимация с использованием метода наименьших квадратов
- •5.4.4. Сравнительный анализ методов аппроксимации
- •5.5. Требования к отчету
- •5.6. Контрольные вопросы и задания
- •5.7. Задания
- •6. Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •6.1. Общие положения
- •6.2. Точные методы решения систем линейных уравнений
- •6.2.1. Метод Крамера
- •6.2.2. Метод Гаусса
- •6.2.3. Метод обращения матриц
- •7. Лабораторная работа № 3. Решение систем линейных уравнений приближенными методами
- •7.1. Постановка задачи
- •7.2. Порядок выполнения работы
- •7.3. Краткие теоретические сведения
- •7.3.1. Математическое описание реактора идеального смешения непрерывного действия
- •7.3.2. Математическое описание кинетических закономерностей химических превращений
- •7.3.4. Приближенные методы решения систем линейных уравнений
- •7.3.4.1. Метод простых итераций
- •7.3.4.2. Метод Зейделя
- •7.4. Примеры выполнения
- •7.4.1. Пример выполнения задания точным методом
- •7.4.2. Пример выполнения задания методом итераций и методом Зейделя
- •7.5. Требования к отчету
- •7.6. Контрольные вопросы и задания
- •7.7. Задания
- •8. Лабораторная работа № 4. Решение нелинейных уравнений приближенными методами
- •8.1. Постановка задачи
- •8.2. Порядок выполнения работы
- •8.3. Краткие теоретические сведения
- •8.3.1. Этапы решения нелинейного уравнения
- •8.3.4. Метод деления отрезка пополам (вилки, дихотомии)
- •8.3.5. Метод Ньютона (метод касательных)
- •8.3.6. Метод простых итераций
- •8.4. Пример выполнения задания методом итераций
- •8.5. Требования к отчету
- •8.6. Контрольные вопросы и задания
- •8.7. Задания
- •9. Лабораторная работа № 5. Решение систем нелинейных уравнений приближенными методами
- •9.1. Постановка задачи
- •9.2. Порядок выполнения работы
- •9.3. Краткие теоретические сведения
- •9.3.1. Метод Ньютона
- •9.3.2. Метод итераций
- •9.4. Примеры выполнения
- •9.4.1. Метод Ньютона
- •9.4.2. Метод итераций
- •9.5. Требования к отчету
- •9.6. Контрольные вопросы и задания
- •9.7. Задания
- •10. Лабораторная работа № 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка численными методами
- •10. 1. Постановка задачи
- •10.2. Порядок выполнения работы
- •10.3. Краткие теоретические сведения
- •10.3.1. Метод Эйлера
- •10.3.2. Модифицированный метод Эйлера
- •10.3.3. Метод Эйлера-Коши
- •10.3.4. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка
- •10.4. Примеры выполнения
- •10.4.1. Реализация метода Эйлера в математическом редактореMathcad
- •10.4.2. Решение обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка с помощью функции rkfixed
- •10.5. Требования к отчету
- •10.6. Контрольные вопросы и задания
- •10.7. Задания
- •11. Лабораторная работа № 7. Численное интегрирование
- •11. 1. Постановка задачи
- •11.2. Порядок выполнения работы
- •11.3. Краткие теоретические сведения
- •11.3. 1. Метод прямоугольников
- •11.3.2. Метод трапеций
- •11.4. Пример выполнения
- •11.5. Требования к отчету
- •11.6. Контрольные задания
- •1 Таблица 101.7. Задания
- •12. Лабораторная работа № 8. Моделирование реактора идеального вытеснения для многостадийной химической реакции с линейной кинетикой
- •12. 1. Постановка задачи
- •12.2. Порядок выполнения работы
- •12.3. Краткие теоретические сведения
- •12.3.1. Математическая модель реактора идеального вытеснения
- •12.3.2. Численное решение систем дифференциальных уравнений
- •12.4. Пример выполнения
- •12.5. Проверка расчета с помощью функции rkfixed
- •12.6. Требования к отчету
- •12.7. Контрольные вопросы и задания
- •1 Таблица 112.8. Задания
- •13. Лабораторная работа № 9. Расчет моделей процессов диффузии и теплопроводности с помощью явной разностной схемы
- •13.3.2. Решение уравнений в частных производных
- •13.3.3.Метод сетки
- •13.3.4. Явная разностная схема
- •13.3.5. Условия устойчивости явной разностной схемы
- •13.4. Пример выполнения
- •13.5. Требования к отчету
- •13.6. Контрольные вопросы и задания
- •13.7. Задания
- •Библиографический список
- •Использование
5.3.1. Метод выбранных точек
Из табл. 6 произвольно выбирается kточек (по числу неизвестных коэффициентов). Параметрыa1 a2 , ak зависимости (12) находятся, исходя из следующегоусловия: в выбранных точках экспериментальные рассчитанные по зависимостиf(x)значения должны совпадать.
Например, для квадратичной зависимости (полинома 2-го порядка)
(13)
с целью определения параметров a0 a1 , a2необходимо выбрать любые три точки (допустим, первые три). Затем, подставив табличные значения в (13), получить систему линейных алгебраических уравнений:
. (14)
Решение полученной системы уравнений (14) относительно a0 a1, a2позволяет найти параметры аппроксимирующей зависимости. Решить систему можно точным методом (Крамера, Гаусса, обращения матриц).
Линеаризация аппроксимирующей зависимости
Допустим, известна структура функции, описывающей табличные данные, и она имеет следующий вид:
, (15)
где z, – известные константы.
Для определения коэффициентов a0, a1, a2необходимо выбрать три экспериментальные точки, а затем составить систему уравнений. Однако полученная система уравнений будет нелинейна относительно искомых коэффициентов и её решение сопряжено с рядом вычислительных трудностей.
Чтобы избежать возникших трудностей, необходимо привести зависимость (15) к линейному виду относительно искомых коэффициентов. Для этого нужно её прологарифмировать.
,
и обозначить
,
тогда получим
. (16)
Зависимость (16) линейна относительно А0, a1, a2. Её следует использовать для нахождения коэффициентов. Необходимо составить систему линейных алгебраических уравнений, решить её относительноА0, a1, a2, а затем рассчитать коэффициента0:
.
5.3.2. Метод средних
Параметры a1 a2 , ak аппроксимирующей зависимости (12) находятся, исходя из следующегоусловия (сумма невязок между экспериментальными и расчетными данными на всем интервале аппроксимации должна быть равна нулю, рис. 28):
, (17)
где yiэ – экспериментальные данные;
– расчетные данные;
i – порядковый номер точки;
m– число экспериментальных точек.
Рис. 28. Метод средних
(ye – экспериментальные данные, ysr – расчетные данные)
Невязкой называется разница между экспериментальным и расчетным значением. В зависимости от взаимного положения экспериментальной и расчетной кривой, одни невязки положительны, а другие отрицательны. Но в целом расчетная кривая должна пройти так, чтобы невязки в сумме давали нуль.
Для примера выберем ту же зависимость (13)
.
Необходимо найти неизвестные параметры a0 a1, a2. Для этого все измерения, заданные в табл. 6, разбиваются на группы, обычно равные. Количество групп равно количеству неизвестных параметров, т. е.k.
Обозначим Mкак целую часть от деления:
.
Для данной аппроксимирующей зависимости М примерно равно m/3, таблица экспериментальных данных разбивается на три группы.
Тогда для каждой группы, исходя из условия (17), можно записать уравнения:
или
(18)
Решение полученной системы уравнений (18) относительно неизвестных параметров a0, a1, a2 позволяет найти параметры аппроксимирующей зависимости.
Теперь применим метод средних для нахождения параметров зависимости (15)
.
Как и в предыдущем методе, приведем зависимость (15) к линейному виду относительно неизвестных коэффициентов и получим
.
Тогда вместо зависимости (17)
в качестве условия поиска коэффициентов используем
или
. (19)
Разобьём экспериментальную табл. 6 на 3 группы, для каждой группы, исходя из условия (19), получим систему линейных уравнений:
или
(20)
Решаем систему (20) относительно А0, a1, a2. Затем рассчитаем коэффициента0:
.