- •Федеральное агентство по образованию
- •2404000000-35 Удк 681.142:519.6
- •Оглавление
- •1. Основы работы в Mathcad 10
- •2. Роль численных методов 36
- •3. Методы аппроксимации и интерполирования 42
- •4. Лабораторная работа № 1. Интерполирование степенными многочленами 44
- •5. Лабораторная работа № 2. Параметрическая идентификация математических моделей методами аппроксимации 65
- •6. Решение систем линейных алгебраических уравнений 93
- •7. Лабораторная работа № 3. Решение систем линейных уравнений приближенными методами 109
- •8. Лабораторная работа № 4. Решение нелинейных уравнений приближенными методами 142
- •9. Лабораторная работа № 5. Решение систем нелинейных уравнений приближенными методами 174
- •10. Лабораторная работа № 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка численными методами 197
- •11. Лабораторная работа № 7. Численное интегрирование 212
- •12. Лабораторная работа № 8. Моделирование реактора идеального вытеснения для многостадийной химической реакции с линейной кинетикой 226
- •13. Лабораторная работа № 9. Расчет моделей процессов диффузии и теплопроводности с помощью явной разностной схемы 249
- •Предисловие
- •1. Основы работы в Mathcad
- •1.1. Панели инструментов
- •1.2. Ввод и вывод данных
- •1.3. Осуществление несложных вычислений
- •1.4. Построение и настройка графиков
- •1.5. Программирование в Mathcad
- •1.5.1. Программирование без программирования
- •1.5.2. Язык программирования Mathcad
- •1.5.3. Создание программы (Add Line)
- •1.5.4. Редактирование программы
- •1.5.5. Локальное присваивание ()
- •1.5.6. Условные операторы (if, otherwise)
- •1.5.7. Операторы цикла (for, while, break, continue)
- •1.5.8. Возврат значения (return)
- •1.5.9. Перехват ошибок (on error)
- •1.5.10. Примеры программирования
- •2. Роль численных методов
- •2.1. Этапы решения задачи на компьютере
- •2.2. Математические модели
- •2.3. Численные методы
- •3. Методы аппроксимации и интерполирования
- •4. Лабораторная работа № 1. Интерполирование степенными многочленами
- •4.1. Постановка задачи
- •4.2. Порядок выполнения работы
- •4.3. Краткие теоретические сведения
- •4.3.1. Метод неопределенных коэффициентов
- •4.3.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •4.3.3. Интерполяционные формулы Ньютона для равностоящих узлов
- •4.4. Примеры выполнения
- •4.4.1. Интерполирование степенными многочленами с использованием метода неопределенных коэффициентов
- •4.4.2. Интерполирование степенными многочленами с использованием второй интерполяционной формулы Ньютона
- •4.5. Требования к отчету
- •4.6. Контрольные вопросы и задания
- •4.7. Задания
- •5. Лабораторная работа № 2. Параметрическая идентификация математических моделей методами аппроксимации
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Порядок выполнения работы
- •5.3. Краткие теоретические сведения
- •5.3.1. Метод выбранных точек
- •5.3.2. Метод средних
- •5.3.3. Метод наименьших квадратов
- •5.4. Примеры выполнения
- •5.4.1. Аппроксимация с использованием метода выбранных точек
- •5.4.2. Аппроксимация с использованием метода средних
- •5.4.3. Аппроксимация с использованием метода наименьших квадратов
- •5.4.4. Сравнительный анализ методов аппроксимации
- •5.5. Требования к отчету
- •5.6. Контрольные вопросы и задания
- •5.7. Задания
- •6. Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •6.1. Общие положения
- •6.2. Точные методы решения систем линейных уравнений
- •6.2.1. Метод Крамера
- •6.2.2. Метод Гаусса
- •6.2.3. Метод обращения матриц
- •7. Лабораторная работа № 3. Решение систем линейных уравнений приближенными методами
- •7.1. Постановка задачи
- •7.2. Порядок выполнения работы
- •7.3. Краткие теоретические сведения
- •7.3.1. Математическое описание реактора идеального смешения непрерывного действия
- •7.3.2. Математическое описание кинетических закономерностей химических превращений
- •7.3.4. Приближенные методы решения систем линейных уравнений
- •7.3.4.1. Метод простых итераций
- •7.3.4.2. Метод Зейделя
- •7.4. Примеры выполнения
- •7.4.1. Пример выполнения задания точным методом
- •7.4.2. Пример выполнения задания методом итераций и методом Зейделя
- •7.5. Требования к отчету
- •7.6. Контрольные вопросы и задания
- •7.7. Задания
- •8. Лабораторная работа № 4. Решение нелинейных уравнений приближенными методами
- •8.1. Постановка задачи
- •8.2. Порядок выполнения работы
- •8.3. Краткие теоретические сведения
- •8.3.1. Этапы решения нелинейного уравнения
- •8.3.4. Метод деления отрезка пополам (вилки, дихотомии)
- •8.3.5. Метод Ньютона (метод касательных)
- •8.3.6. Метод простых итераций
- •8.4. Пример выполнения задания методом итераций
- •8.5. Требования к отчету
- •8.6. Контрольные вопросы и задания
- •8.7. Задания
- •9. Лабораторная работа № 5. Решение систем нелинейных уравнений приближенными методами
- •9.1. Постановка задачи
- •9.2. Порядок выполнения работы
- •9.3. Краткие теоретические сведения
- •9.3.1. Метод Ньютона
- •9.3.2. Метод итераций
- •9.4. Примеры выполнения
- •9.4.1. Метод Ньютона
- •9.4.2. Метод итераций
- •9.5. Требования к отчету
- •9.6. Контрольные вопросы и задания
- •9.7. Задания
- •10. Лабораторная работа № 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка численными методами
- •10. 1. Постановка задачи
- •10.2. Порядок выполнения работы
- •10.3. Краткие теоретические сведения
- •10.3.1. Метод Эйлера
- •10.3.2. Модифицированный метод Эйлера
- •10.3.3. Метод Эйлера-Коши
- •10.3.4. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка
- •10.4. Примеры выполнения
- •10.4.1. Реализация метода Эйлера в математическом редактореMathcad
- •10.4.2. Решение обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка с помощью функции rkfixed
- •10.5. Требования к отчету
- •10.6. Контрольные вопросы и задания
- •10.7. Задания
- •11. Лабораторная работа № 7. Численное интегрирование
- •11. 1. Постановка задачи
- •11.2. Порядок выполнения работы
- •11.3. Краткие теоретические сведения
- •11.3. 1. Метод прямоугольников
- •11.3.2. Метод трапеций
- •11.4. Пример выполнения
- •11.5. Требования к отчету
- •11.6. Контрольные задания
- •1 Таблица 101.7. Задания
- •12. Лабораторная работа № 8. Моделирование реактора идеального вытеснения для многостадийной химической реакции с линейной кинетикой
- •12. 1. Постановка задачи
- •12.2. Порядок выполнения работы
- •12.3. Краткие теоретические сведения
- •12.3.1. Математическая модель реактора идеального вытеснения
- •12.3.2. Численное решение систем дифференциальных уравнений
- •12.4. Пример выполнения
- •12.5. Проверка расчета с помощью функции rkfixed
- •12.6. Требования к отчету
- •12.7. Контрольные вопросы и задания
- •1 Таблица 112.8. Задания
- •13. Лабораторная работа № 9. Расчет моделей процессов диффузии и теплопроводности с помощью явной разностной схемы
- •13.3.2. Решение уравнений в частных производных
- •13.3.3.Метод сетки
- •13.3.4. Явная разностная схема
- •13.3.5. Условия устойчивости явной разностной схемы
- •13.4. Пример выполнения
- •13.5. Требования к отчету
- •13.6. Контрольные вопросы и задания
- •13.7. Задания
- •Библиографический список
- •Использование
12.5. Проверка расчета с помощью функции rkfixed
Проведем расчет профиля концентраций в реакторе для схемы реакции, приведенной в примере:
.
Реактор описывается системой (152):
Преобразуем (152) к виду:
(157)
Решим систему (157) с помощью встроенной в Mathcadфункции rkfixed, которая использует метод Рунге-Кутта.
Зададим исходные данные:
Рассчитаем количество точек на интервале решения:
Зададим начальные условия:
Введём правую часть системы дифференциальных уравнений:
Расчеты в функции rkfixed производятся с использованием двумерных массивов. Чтобы функция работала правильно, нужно ввести замену в системе (157): XA заменить наx0,XP– наx1,XD– наx2.
В данном случае элементы массивов x0,x1набираются с использованием кнопки MatrixSubscript (МатрицыНижний индекс) или горячих клавиш Shift+] (или Shift+ъ при русской раскладке клавиатуры).
При вызове функции возврат рассчитанных значений производится в массив Z:
Зададим ранжированную переменную i, рассчитаем сумму концентраций, переобозначим массивы, выведем результаты. Построим графики, отражающие изменение концентраций веществ по длине реактора (рис. 100).
Рис. 100. Профиль концентраций в реакторе идеального вытеснения
12.6. Требования к отчету
Отчет о работе должен содержать название работы, цель, постановку задачи, исходные данные, математическую формулировку (подробный вывод для своего варианта задания), схему алгоритма, листинг программы, распечатку результатов, графики, анализ полученных результатов (доказательство корректности полученных результатов). Отчет оформляется в печатном виде на листах формата А4. Титульный лист оформляется в соответствии с требованиями академии.
12.7. Контрольные вопросы и задания
Что происходит в реакторе при статическом режиме?
Что происходит в реакторе, если он находится в изотермических условиях?
Составить математическую модель реактора идеального вытеснения.
Привести математическую формулировку решения по методу Эйлера, модифицированному методу Эйлера, методу Эйлера-Коши, методу Рунге-Кутта 4-го порядка на конкретном примере.
1 Таблица 112.8. Задания
Номер варианта |
Реакция |
Константа скорости, с-1 |
Начальные концентрации реагентов, безразм. |
Метод |
Скорость потока, м/c |
1.1 |
|
k1=5 k2=1 k3=3 |
XnA=1 XnB= XnP=0 XnS=0 |
Рунге-Кутта 4-го порядка |
5 |
1.2 |
k1=6 k2= k3=1 k4= k5=0,5 |
XnA=XnB=0,25 XnP= XnS=0,25 XnE=0 |
Эйлера модифицированный |
2 | |
1.3 |
k1= k3=3 k2= 2 k4= k5=1 |
XnA=0,6 XnB= XnC=0,2 XnD=0 |
Эйлера-Коши |
4 | |
1.4 |
k1=2 k2= k3=1
|
XnA= XnP=0,5 XnS=0
|
Эйлера модифицированный |
5 | |
1.5 |
|
k1= k2=1 k3=0,5
|
XnA=0,5 XnB= 0,5 XnP=0 |
Рунге-Кутта 4-го порядка |
1 |
1.6 |
k1=5 k2= k3=1
|
XnA=0,9 XnC=0,1 XnB= 0 |
Эйлера-Коши |
3 | |
1.7 |
k1=1 k2=3 k3=2 |
XnA=1 XnB= XnC=0 XnD=0 |
Эйлера-Коши |
4 | |
1.8 |
|
k1=8 k2=2 k3=3 |
XnA=1 XnB= XnC=0 XnD=0 |
Эйлера модифицированный |
3 |
1.9 |
k1= k2=4 k3=2 k4=3 |
XnA=0,8 XnD=0 XnB= XnC=0,1 |
Эйлера-Коши |
2 | |
1.10 |
k1= k4=7 k2=5 k3=k5=3 |
XnA=0,5 XnB= XnC=0,2 XnD=0,1 |
Рунге-Кутта 4-го порядка |
1 | |
1.11 |
|
k1=0,6 k2=0,2 k3=0,7 |
XnA= XnD=0,5 XnC=0 |
Эйлера-Коши |
4 |
1.12 |
k1= k3=5 k2= k4=1
|
XnA=0,3333 XnB= 0,3333 XnD=0,3333 |
Рунге-Кутта 4-го порядка |
3 | |
1.13 |
k1=5 k2=4 k3=1 |
XnA= XnD=0,5 XnB= 0 |
Эйлера модифицированный |
2 |
Окончание табл.
11
Номер варианта |
Реакция |
Константа скорости, с-1 |
Начальные концентрации реагентов, безразм. |
Метод |
Скорость потока, м/c |
2.1 |
k1=5 k2=1 k4=k3=3 |
XnA=0.7 XnB=0.3 XnP=0 XnS=0 |
Рунге-Кутта 4-го порядка |
5 | |
2.2 |
|
k1=6 k2= k3=1 k4= k5=0,5 |
XnA=XnB=0,25 XnP= XnS=0 XnE=0,5 |
Эйлера модифицированный |
2 |
2.3 |
|
k1= k3=3 k2= 2 k4= k5=1 |
XnA=0,6 XnB= XnC=0,2 XnD=0 |
Эйлера-Коши |
4 |
2.4 |
|
k1=2 k2= k3=1 k4=2 |
XnA= XnB=0,5 XnD=XnC=0
|
Эйлера модифицированный |
5 |
2.5 |
|
k1= k2=1 k3=0,5 k4=0,6 |
XnA=0,5 XnB= 0,2 XnC=0,3 XnD=0 |
Эйлера-Коши |
1 |
2.6 |
|
k1=5 k2= k3=1 k4=0,6 |
XnA=0 XnC=0,5 XnB= 0,5 XnD=0 |
Рунге-Кутта 4-го порядка |
3 |
2.7 |
|
k1=0,5 k2=2 k3=1 |
XnA=0,5 XnB= 0 XnC=0,5 XnD=0 |
Эйлера модифицированный |
4 |
2.8 |
|
k1=8 k2= k3=2 k4=1 |
XnA=0,8 XnB= XnC=0 XnD=0,2 |
Эйлера-Коши |
3 |
2.9 |
|
k1= k2=4 k3= k4=2
|
XnA=0,4 XnD=0 XnB= XnC=0,3 |
Рунге-Кутта 4-го порядка |
2 |
2.10 |
|
k1= k4=7 k2=5 k3=k5=3 |
XnA=0,5 XnB= XnC=0,2 XnD=0,1 |
Эйлера модифицированный |
1 |
2.11 |
|
k1=0,6 k2=0,2 k3=0,8 |
XnA= XnB=0,5 XnP=0 |
Рунге-Кутта 4-го порядка |
2 |
2.12 |
|
k1= k3=5 k2= 1
|
XnA=0,1 XnD= XnC=XnB= =0,3
|
Рунге-Кутта 4-го порядка |
3 |
2.13 |
|
k1=5 k2=4 k3=1 k4=2 |
XnA= XnP=0,5 XnB= 0 |
Эйлера-Коши |
2 |