- •Федеральное агентство по образованию
- •2404000000-35 Удк 681.142:519.6
- •Оглавление
- •1. Основы работы в Mathcad 10
- •2. Роль численных методов 36
- •3. Методы аппроксимации и интерполирования 42
- •4. Лабораторная работа № 1. Интерполирование степенными многочленами 44
- •5. Лабораторная работа № 2. Параметрическая идентификация математических моделей методами аппроксимации 65
- •6. Решение систем линейных алгебраических уравнений 93
- •7. Лабораторная работа № 3. Решение систем линейных уравнений приближенными методами 109
- •8. Лабораторная работа № 4. Решение нелинейных уравнений приближенными методами 142
- •9. Лабораторная работа № 5. Решение систем нелинейных уравнений приближенными методами 174
- •10. Лабораторная работа № 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка численными методами 197
- •11. Лабораторная работа № 7. Численное интегрирование 212
- •12. Лабораторная работа № 8. Моделирование реактора идеального вытеснения для многостадийной химической реакции с линейной кинетикой 226
- •13. Лабораторная работа № 9. Расчет моделей процессов диффузии и теплопроводности с помощью явной разностной схемы 249
- •Предисловие
- •1. Основы работы в Mathcad
- •1.1. Панели инструментов
- •1.2. Ввод и вывод данных
- •1.3. Осуществление несложных вычислений
- •1.4. Построение и настройка графиков
- •1.5. Программирование в Mathcad
- •1.5.1. Программирование без программирования
- •1.5.2. Язык программирования Mathcad
- •1.5.3. Создание программы (Add Line)
- •1.5.4. Редактирование программы
- •1.5.5. Локальное присваивание ()
- •1.5.6. Условные операторы (if, otherwise)
- •1.5.7. Операторы цикла (for, while, break, continue)
- •1.5.8. Возврат значения (return)
- •1.5.9. Перехват ошибок (on error)
- •1.5.10. Примеры программирования
- •2. Роль численных методов
- •2.1. Этапы решения задачи на компьютере
- •2.2. Математические модели
- •2.3. Численные методы
- •3. Методы аппроксимации и интерполирования
- •4. Лабораторная работа № 1. Интерполирование степенными многочленами
- •4.1. Постановка задачи
- •4.2. Порядок выполнения работы
- •4.3. Краткие теоретические сведения
- •4.3.1. Метод неопределенных коэффициентов
- •4.3.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •4.3.3. Интерполяционные формулы Ньютона для равностоящих узлов
- •4.4. Примеры выполнения
- •4.4.1. Интерполирование степенными многочленами с использованием метода неопределенных коэффициентов
- •4.4.2. Интерполирование степенными многочленами с использованием второй интерполяционной формулы Ньютона
- •4.5. Требования к отчету
- •4.6. Контрольные вопросы и задания
- •4.7. Задания
- •5. Лабораторная работа № 2. Параметрическая идентификация математических моделей методами аппроксимации
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Порядок выполнения работы
- •5.3. Краткие теоретические сведения
- •5.3.1. Метод выбранных точек
- •5.3.2. Метод средних
- •5.3.3. Метод наименьших квадратов
- •5.4. Примеры выполнения
- •5.4.1. Аппроксимация с использованием метода выбранных точек
- •5.4.2. Аппроксимация с использованием метода средних
- •5.4.3. Аппроксимация с использованием метода наименьших квадратов
- •5.4.4. Сравнительный анализ методов аппроксимации
- •5.5. Требования к отчету
- •5.6. Контрольные вопросы и задания
- •5.7. Задания
- •6. Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •6.1. Общие положения
- •6.2. Точные методы решения систем линейных уравнений
- •6.2.1. Метод Крамера
- •6.2.2. Метод Гаусса
- •6.2.3. Метод обращения матриц
- •7. Лабораторная работа № 3. Решение систем линейных уравнений приближенными методами
- •7.1. Постановка задачи
- •7.2. Порядок выполнения работы
- •7.3. Краткие теоретические сведения
- •7.3.1. Математическое описание реактора идеального смешения непрерывного действия
- •7.3.2. Математическое описание кинетических закономерностей химических превращений
- •7.3.4. Приближенные методы решения систем линейных уравнений
- •7.3.4.1. Метод простых итераций
- •7.3.4.2. Метод Зейделя
- •7.4. Примеры выполнения
- •7.4.1. Пример выполнения задания точным методом
- •7.4.2. Пример выполнения задания методом итераций и методом Зейделя
- •7.5. Требования к отчету
- •7.6. Контрольные вопросы и задания
- •7.7. Задания
- •8. Лабораторная работа № 4. Решение нелинейных уравнений приближенными методами
- •8.1. Постановка задачи
- •8.2. Порядок выполнения работы
- •8.3. Краткие теоретические сведения
- •8.3.1. Этапы решения нелинейного уравнения
- •8.3.4. Метод деления отрезка пополам (вилки, дихотомии)
- •8.3.5. Метод Ньютона (метод касательных)
- •8.3.6. Метод простых итераций
- •8.4. Пример выполнения задания методом итераций
- •8.5. Требования к отчету
- •8.6. Контрольные вопросы и задания
- •8.7. Задания
- •9. Лабораторная работа № 5. Решение систем нелинейных уравнений приближенными методами
- •9.1. Постановка задачи
- •9.2. Порядок выполнения работы
- •9.3. Краткие теоретические сведения
- •9.3.1. Метод Ньютона
- •9.3.2. Метод итераций
- •9.4. Примеры выполнения
- •9.4.1. Метод Ньютона
- •9.4.2. Метод итераций
- •9.5. Требования к отчету
- •9.6. Контрольные вопросы и задания
- •9.7. Задания
- •10. Лабораторная работа № 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка численными методами
- •10. 1. Постановка задачи
- •10.2. Порядок выполнения работы
- •10.3. Краткие теоретические сведения
- •10.3.1. Метод Эйлера
- •10.3.2. Модифицированный метод Эйлера
- •10.3.3. Метод Эйлера-Коши
- •10.3.4. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка
- •10.4. Примеры выполнения
- •10.4.1. Реализация метода Эйлера в математическом редактореMathcad
- •10.4.2. Решение обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка с помощью функции rkfixed
- •10.5. Требования к отчету
- •10.6. Контрольные вопросы и задания
- •10.7. Задания
- •11. Лабораторная работа № 7. Численное интегрирование
- •11. 1. Постановка задачи
- •11.2. Порядок выполнения работы
- •11.3. Краткие теоретические сведения
- •11.3. 1. Метод прямоугольников
- •11.3.2. Метод трапеций
- •11.4. Пример выполнения
- •11.5. Требования к отчету
- •11.6. Контрольные задания
- •1 Таблица 101.7. Задания
- •12. Лабораторная работа № 8. Моделирование реактора идеального вытеснения для многостадийной химической реакции с линейной кинетикой
- •12. 1. Постановка задачи
- •12.2. Порядок выполнения работы
- •12.3. Краткие теоретические сведения
- •12.3.1. Математическая модель реактора идеального вытеснения
- •12.3.2. Численное решение систем дифференциальных уравнений
- •12.4. Пример выполнения
- •12.5. Проверка расчета с помощью функции rkfixed
- •12.6. Требования к отчету
- •12.7. Контрольные вопросы и задания
- •1 Таблица 112.8. Задания
- •13. Лабораторная работа № 9. Расчет моделей процессов диффузии и теплопроводности с помощью явной разностной схемы
- •13.3.2. Решение уравнений в частных производных
- •13.3.3.Метод сетки
- •13.3.4. Явная разностная схема
- •13.3.5. Условия устойчивости явной разностной схемы
- •13.4. Пример выполнения
- •13.5. Требования к отчету
- •13.6. Контрольные вопросы и задания
- •13.7. Задания
- •Библиографический список
- •Использование
5.4.2. Аппроксимация с использованием метода средних
Запрограммируем в Mathcadрешение примера, описываемого зависимостью (15).
Если решение будет записываться в новый файл, то пункты 1–3 следует повторить, иначе продолжать далее.
Разобьем экспериментальный массив на 3 группы
Сформируем главную матрицу системы уравнений и вектор свободных членов:
Решим полученную систему линейных уравнений методом Крамера:
Находим неизвестные коэффициенты:
Рассчитаем коэффициент 0
Найдем расчетные значения функции:
Рассчитаем погрешность, %:
.
Сделаем проверку на равенство суммы невязок нулю
(близко к нулю).
Построим экспериментальный и расчетный графики (рис. 32).
Рис. 32. Результаты аппроксимации методом средних
5.4.3. Аппроксимация с использованием метода наименьших квадратов
Запрограммируем в Mathcadрешение примера, описываемого зависимостью (15).
Если решение будет записываться в новый файл, то пункты 1–3 на с.71–72 следует повторить, иначе продолжать со следующего ниже пункта.
Сформируем главную матрицу системы уравнений и вектор свободных членов:
Решим полученную систему линейных уравнений методом Крамера:
Найдем неизвестные коэффициенты:
,
.
Рассчитаем коэффициент 0
.
Найдем расчетные значения функции:
Рассчитаем погрешность, %:
,
,
.
Построим экспериментальный и расчетный графики (рис. 33).
Рис. 33. Результаты аппроксимации методом наименьших квадратов
5.4.4. Сравнительный анализ методов аппроксимации
Проведем сравнительный анализ трех использованных методов аппроксимации.
Построим графики по всем методам на одной координатной сетке (рис. 34). Из графиков, полученных по методу выбранных точек, выберем тот, у которого меньше погрешность
Рис. 34. Результаты аппроксимации (ye– экспериментальные данные,yvt– данные по методу выбранных точек,ysr– данные по методу средних,ymnk– данные по методу наименьших квадратов)
Сравним рассчитанные погрешности
Для метода выбранных точек
.
Для метода средних
.
Для метода наименьших квадратов
.
Как видно, для данного примера метод наименьших квадратов оказался самым точным.
5.5. Требования к отчету
Отчет о работе должен содержать название работы, цель, постановку задачи, исходные данные, математическую формулировку (подробный вывод для своего варианта задания), 3 схемы алгоритмов, 3 листинга программ, 3 распечатки результатов, графики экспериментальных и расчетных кривых, анализ полученных результатов (доказательство корректности полученных результатов, сравнение использованных методов по сложности, точности). Отчет оформляется в печатном виде на листах формата А4. Титульный лист оформляется в соответствии с требованиями академии.
5.6. Контрольные вопросы и задания
Сформулировать задачу аппроксимации.
В чем заключается отличие и сходство задач аппроксимации и интерполирования?
Привести примеры области применения задач аппроксимации и интерполирования.
Сформулировать условие аппроксимации.
Как привести нелинейную математическую модель к линейному виду?
Осуществить аппроксимацию методом выбранных точек.
Осуществить аппроксимацию методом средних.
Осуществить аппроксимацию методом наименьших квадратов.
5.7. Задания
Варианты 1.1 – 1.3
Вязкость пластичной жидкости находится по следующей формуле:
,
где 0– напряжение внутреннего трения, при котором пластичная жидкость начинает движение, Н/м2;d– диаметр проходного сечения, м;- средняя скорость жидкости, м/c;– коэффициент пропорциональности, характеризующий пластичные свойства жидкости.
Определить 0и, если известно, чтоd=0.2 м и в ходе исследования получены следующие экспериментальные данные:
Номер варианта |
Экспериментальные данные |
Метод решения системы линейных уравнений | ||||||||
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 | ||
1.1 |
|
0.2 |
0.25 |
0.4 |
0.6 |
0.7 |
0.75 |
0.9 |
- |
Крамера |
|
992 |
840 |
640 |
460 |
390 |
380 |
350 |
- | ||
1.2 |
|
0.3 |
0.4 |
0.7 |
0.9 |
1.2 |
1.4 |
1.5 |
1.7 |
Гаусса |
|
175 |
158 |
140 |
138 |
134 |
130 |
128 |
130 | ||
1.3 |
|
0.25 |
0.5 |
0.6 |
1 |
1.5 |
2 |
2.75 |
4 |
Обращения матриц |
|
7200 |
3533 |
2800 |
1900 |
1200 |
900 |
700 |
500 |
Варианты 1.4 – 1.6
Эффективную скорость газа, соответствующую началу подвисания жидкости при прохождении газа через нее, можно найти по числу Рейнольдса, определяемого по формуле:
,
где Ar –критерий Архимеда, соответствующий эквивалентному диаметру насадки и плотности газа;WgиWf– скорости газа и жидкости, кг/ч;и– константы.
Определить и, если известно, чтоWg=12300 кг/ч,Ar=46 и в ходе исследования получены следующие экспериментальные данные:
Номер варианта |
Экспериментальные данные |
Метод решения системы линейных уравнений | ||||||||
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 | ||
1.4 |
Wf |
5 |
10 |
20 |
25 |
30 |
50 |
60 |
80 |
Обращения матриц |
Re |
1700 |
1000 |
800 |
700 |
700 |
500 |
460 |
400 | ||
1.5 |
Wf |
2 |
5 |
10 |
30 |
60 |
90 |
100 |
- |
Гаусса |
Re |
3500 |
1900 |
1000 |
500 |
300 |
200 |
200 |
- | ||
1.6 |
Wf |
2 |
7 |
15 |
40 |
70 |
80 |
- |
- |
Крамера |
Re |
9900 |
1700 |
50 |
10 |
15 |
10 |
- |
- |
Варианты 1.7 – 1.9
Постоянная составляющая помехи в электрической сети описывается следующей математической моделью:
где 1и2– угловые скорости, рад/с;t– время, с;U– напряжение, В;0,1,2– константы.
Определить 0,1,2, если известно, что1=5 рад/с,2=10 рад/с и в ходе исследования получены следующие экспериментальные данные:
Номер варианта |
Экспериментальные данные |
Метод решения системы линейных уравнений | ||||||||
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 | ||
1.7 |
t |
0.1 |
0.5 |
0.6 |
0.8 |
1.1 |
1.4 |
1.6 |
1.8 |
Обращения матриц |
U |
25 |
18 |
-16 |
-5 |
10 |
22 |
-2 |
-20 | ||
1.8 |
t |
0.2 |
0.3 |
0.5 |
0.8 |
0.9 |
1 |
1.2 |
1.4 |
Гаусса |
U |
50 |
32 |
4 |
27 |
30 |
30 |
43 |
60 | ||
1.9 |
t |
0.1 |
0.2 |
0.4 |
0.8 |
0.9 |
1 |
1.2 |
1.5 |
Крамера |
U |
3.2 |
3.3 |
2.7 |
3.1 |
3.05 |
2.9 |
3 |
3.2 |
Варианты 1.10 -1.13
Изменение температуры в зависимости от времени в трубчатом реакторе можно описать следующей математической моделью:
,
где t– время, с; Т -температура реакционной массы, К;0, 1,2 – константы.
Определить0,1,2, если известно, что в ходе исследования получены следующие экспериментальные данные:
Номер варианта |
Экспериментальные данные |
Метод решения системы линейных уравнений | ||||||||
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 | ||
1.10 |
t |
10 |
40 |
50 |
70 |
80 |
90 |
100 |
- |
Крамера |
T |
292 |
300 |
302 |
305 |
310 |
315 |
320 |
| ||
1.11 |
t |
5 |
10 |
30 |
40 |
60 |
80 |
90 |
100 |
Обращения матриц |
T |
300 |
301 |
300.5 |
300.5 |
299 |
295 |
293 |
290 | ||
1.12 |
t |
1 |
5 |
10 |
15 |
20 |
40 |
80 |
100 |
Гаусса |
T |
330 |
335 |
348 |
352 |
360 |
370 |
385 |
390 | ||
1.13 |
t |
1 |
5 |
10 |
15 |
20 |
40 |
- |
- |
Обращения матриц |
T |
300 |
297 |
297 |
300 |
301 |
305 |
- |
- |
Варианты 2.1 -2.3
Константа скорости химической реакции подчиняется закону Аррениуса:
,
где k0– постоянная скорости химической реакции; Т –температура реакционной массы, К;E– энергия активации, кДж/моль;R = 8.32 универсальная газовая постоянная, кДж/(Кмоль).
Определить k0и E, если известно, что в ходе исследования получены следующие экспериментальные данные:
Номер варианта |
Экспериментальные данные |
Метод решения системы линейных уравнений | ||||||||
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 | ||
2.1 |
T |
277.5 |
282 |
285 |
290 |
292 |
295 |
297.5 |
- |
Обращения матриц |
K |
1238 |
1239 |
1239.5 |
1240 |
1239.8 |
1240.5 |
1241 |
- | ||
2.2 |
T |
267 |
270 |
275 |
280 |
290 |
292.5 |
297 |
300 |
Гаусса |
K |
960 |
963 |
967 |
967 |
972 |
972 |
975 |
976 | ||
2.3 |
T |
250 |
255 |
262 |
270 |
277 |
287 |
295 |
- |
Крамера |
K |
4250 |
4166 |
4189 |
4205 |
4232 |
4255 |
4280 |
- |
Варианты 2.4 -2.9
Зависимость максимальной ньютоновской вязкости полимера в растворе без учета средневязкостного молекулярного веса и коэффициента полидисперсности полимера выглядит следующим образом:
,
где Т –температура реакционной массы, К;R = 8.32 универсальная газовая постоянная, кДж/(Кмоль);Cp– концентрация полимера, безразм.;a1,a2,a3, – константы; А – поправочный коэффициент ед. измерения, Пас.
а) Определить значения констант a1,a2,a3 приТ=300 К, А = 0.51 Пас, если известны следующие экспериментальные данные
Номер варианта |
Экспериментальные данные |
Метод решения системы линейных уравнений | ||||||||
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 | ||
2.4 |
Cp |
0.05 |
0.2 |
0.4 |
0.6 |
0.8 |
0.9 |
0.95 |
- |
Гаусса |
0 |
0.1 |
0.3 |
0.6 |
0.9 |
1.2 |
1.5 |
1.5 |
- | ||
2.5 |
Cp |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
- |
Крамера |
0 |
2 |
3.5 |
5.1 |
6 |
8.5 |
9 |
9.4 |
- | ||
2.6 |
Cp |
0.05 |
0.15 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.9 |
Обращения матриц |
0 |
4 |
9 |
16 |
18 |
22 |
25 |
27 |
31 |
б) Определить значения констант А и a3 приCp=0.5, a1=1.9,a2=2.7, если известны следующие экспериментальные данные
Номер варианта |
Экспериментальные данные |
Метод решения системы линейных уравнений | ||||||||
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 | ||
2.7 |
Т |
260 |
275 |
280 |
285 |
290 |
310 |
320 |
340 |
Крамера |
0 |
7 |
5 |
4 |
3.5 |
3 |
2 |
1.8 |
1 | ||
2.8 |
Т |
255 |
270 |
290 |
300 |
320 |
330 |
350 |
- |
Обращения матриц |
0 |
14 |
12 |
9 |
9 |
7 |
7 |
5 |
- | ||
2.9 |
Т |
280 |
285 |
305 |
320 |
330 |
340 |
350 |
- |
Гаусса |
0 |
17 |
17 |
15 |
14 |
14 |
14 |
13.5 |
- |
Варианты 2.10 – 2.13
Постоянная составляющая помехи в электрической сети описывается следующей математической моделью:
,
где 1– угловая скорость, рад/с;t– время, с;U– напряжение, В;0,1,2– константы.
Определить 0,1,2, если известно, что1=15 рад/с и в ходе исследования получены следующие экспериментальные данные:
Номер варианта |
Экспериментальные данные |
Метод решения системы линейных уравнений | ||||||||
|
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 | |
2.10 |
t |
0.05 |
0.15 |
0.2 |
0.3 |
0.7 |
0.8 |
0.85 |
0.9 |
Крамера |
U |
12 |
15 |
7 |
-5 |
0 |
5 |
15 |
25 | ||
2.11 |
t |
0.1 |
0.15 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.55 |
- |
Гаусса |
U |
12 |
12 |
10 |
5 |
14 |
25 |
27 |
- | ||
2.12 |
t |
0.05 |
0.1 |
0.25 |
0.4 |
0.6 |
0.65 |
0.8 |
- |
Крамера |
U |
-7 |
-3 |
2 |
10 |
22 |
22 |
32 |
- | ||
2.13 |
t |
0 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
1 |
Обращения матриц |
U |
30 |
24 |
24 |
18 |
14 |
12 |
12 |
0 |