- •Федеральное агентство по образованию
- •2404000000-35 Удк 681.142:519.6
- •Оглавление
- •1. Основы работы в Mathcad 10
- •2. Роль численных методов 36
- •3. Методы аппроксимации и интерполирования 42
- •4. Лабораторная работа № 1. Интерполирование степенными многочленами 44
- •5. Лабораторная работа № 2. Параметрическая идентификация математических моделей методами аппроксимации 65
- •6. Решение систем линейных алгебраических уравнений 93
- •7. Лабораторная работа № 3. Решение систем линейных уравнений приближенными методами 109
- •8. Лабораторная работа № 4. Решение нелинейных уравнений приближенными методами 142
- •9. Лабораторная работа № 5. Решение систем нелинейных уравнений приближенными методами 174
- •10. Лабораторная работа № 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка численными методами 197
- •11. Лабораторная работа № 7. Численное интегрирование 212
- •12. Лабораторная работа № 8. Моделирование реактора идеального вытеснения для многостадийной химической реакции с линейной кинетикой 226
- •13. Лабораторная работа № 9. Расчет моделей процессов диффузии и теплопроводности с помощью явной разностной схемы 249
- •Предисловие
- •1. Основы работы в Mathcad
- •1.1. Панели инструментов
- •1.2. Ввод и вывод данных
- •1.3. Осуществление несложных вычислений
- •1.4. Построение и настройка графиков
- •1.5. Программирование в Mathcad
- •1.5.1. Программирование без программирования
- •1.5.2. Язык программирования Mathcad
- •1.5.3. Создание программы (Add Line)
- •1.5.4. Редактирование программы
- •1.5.5. Локальное присваивание ()
- •1.5.6. Условные операторы (if, otherwise)
- •1.5.7. Операторы цикла (for, while, break, continue)
- •1.5.8. Возврат значения (return)
- •1.5.9. Перехват ошибок (on error)
- •1.5.10. Примеры программирования
- •2. Роль численных методов
- •2.1. Этапы решения задачи на компьютере
- •2.2. Математические модели
- •2.3. Численные методы
- •3. Методы аппроксимации и интерполирования
- •4. Лабораторная работа № 1. Интерполирование степенными многочленами
- •4.1. Постановка задачи
- •4.2. Порядок выполнения работы
- •4.3. Краткие теоретические сведения
- •4.3.1. Метод неопределенных коэффициентов
- •4.3.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •4.3.3. Интерполяционные формулы Ньютона для равностоящих узлов
- •4.4. Примеры выполнения
- •4.4.1. Интерполирование степенными многочленами с использованием метода неопределенных коэффициентов
- •4.4.2. Интерполирование степенными многочленами с использованием второй интерполяционной формулы Ньютона
- •4.5. Требования к отчету
- •4.6. Контрольные вопросы и задания
- •4.7. Задания
- •5. Лабораторная работа № 2. Параметрическая идентификация математических моделей методами аппроксимации
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Порядок выполнения работы
- •5.3. Краткие теоретические сведения
- •5.3.1. Метод выбранных точек
- •5.3.2. Метод средних
- •5.3.3. Метод наименьших квадратов
- •5.4. Примеры выполнения
- •5.4.1. Аппроксимация с использованием метода выбранных точек
- •5.4.2. Аппроксимация с использованием метода средних
- •5.4.3. Аппроксимация с использованием метода наименьших квадратов
- •5.4.4. Сравнительный анализ методов аппроксимации
- •5.5. Требования к отчету
- •5.6. Контрольные вопросы и задания
- •5.7. Задания
- •6. Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •6.1. Общие положения
- •6.2. Точные методы решения систем линейных уравнений
- •6.2.1. Метод Крамера
- •6.2.2. Метод Гаусса
- •6.2.3. Метод обращения матриц
- •7. Лабораторная работа № 3. Решение систем линейных уравнений приближенными методами
- •7.1. Постановка задачи
- •7.2. Порядок выполнения работы
- •7.3. Краткие теоретические сведения
- •7.3.1. Математическое описание реактора идеального смешения непрерывного действия
- •7.3.2. Математическое описание кинетических закономерностей химических превращений
- •7.3.4. Приближенные методы решения систем линейных уравнений
- •7.3.4.1. Метод простых итераций
- •7.3.4.2. Метод Зейделя
- •7.4. Примеры выполнения
- •7.4.1. Пример выполнения задания точным методом
- •7.4.2. Пример выполнения задания методом итераций и методом Зейделя
- •7.5. Требования к отчету
- •7.6. Контрольные вопросы и задания
- •7.7. Задания
- •8. Лабораторная работа № 4. Решение нелинейных уравнений приближенными методами
- •8.1. Постановка задачи
- •8.2. Порядок выполнения работы
- •8.3. Краткие теоретические сведения
- •8.3.1. Этапы решения нелинейного уравнения
- •8.3.4. Метод деления отрезка пополам (вилки, дихотомии)
- •8.3.5. Метод Ньютона (метод касательных)
- •8.3.6. Метод простых итераций
- •8.4. Пример выполнения задания методом итераций
- •8.5. Требования к отчету
- •8.6. Контрольные вопросы и задания
- •8.7. Задания
- •9. Лабораторная работа № 5. Решение систем нелинейных уравнений приближенными методами
- •9.1. Постановка задачи
- •9.2. Порядок выполнения работы
- •9.3. Краткие теоретические сведения
- •9.3.1. Метод Ньютона
- •9.3.2. Метод итераций
- •9.4. Примеры выполнения
- •9.4.1. Метод Ньютона
- •9.4.2. Метод итераций
- •9.5. Требования к отчету
- •9.6. Контрольные вопросы и задания
- •9.7. Задания
- •10. Лабораторная работа № 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка численными методами
- •10. 1. Постановка задачи
- •10.2. Порядок выполнения работы
- •10.3. Краткие теоретические сведения
- •10.3.1. Метод Эйлера
- •10.3.2. Модифицированный метод Эйлера
- •10.3.3. Метод Эйлера-Коши
- •10.3.4. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка
- •10.4. Примеры выполнения
- •10.4.1. Реализация метода Эйлера в математическом редактореMathcad
- •10.4.2. Решение обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка с помощью функции rkfixed
- •10.5. Требования к отчету
- •10.6. Контрольные вопросы и задания
- •10.7. Задания
- •11. Лабораторная работа № 7. Численное интегрирование
- •11. 1. Постановка задачи
- •11.2. Порядок выполнения работы
- •11.3. Краткие теоретические сведения
- •11.3. 1. Метод прямоугольников
- •11.3.2. Метод трапеций
- •11.4. Пример выполнения
- •11.5. Требования к отчету
- •11.6. Контрольные задания
- •1 Таблица 101.7. Задания
- •12. Лабораторная работа № 8. Моделирование реактора идеального вытеснения для многостадийной химической реакции с линейной кинетикой
- •12. 1. Постановка задачи
- •12.2. Порядок выполнения работы
- •12.3. Краткие теоретические сведения
- •12.3.1. Математическая модель реактора идеального вытеснения
- •12.3.2. Численное решение систем дифференциальных уравнений
- •12.4. Пример выполнения
- •12.5. Проверка расчета с помощью функции rkfixed
- •12.6. Требования к отчету
- •12.7. Контрольные вопросы и задания
- •1 Таблица 112.8. Задания
- •13. Лабораторная работа № 9. Расчет моделей процессов диффузии и теплопроводности с помощью явной разностной схемы
- •13.3.2. Решение уравнений в частных производных
- •13.3.3.Метод сетки
- •13.3.4. Явная разностная схема
- •13.3.5. Условия устойчивости явной разностной схемы
- •13.4. Пример выполнения
- •13.5. Требования к отчету
- •13.6. Контрольные вопросы и задания
- •13.7. Задания
- •Библиографический список
- •Использование
4.5. Требования к отчету
Отчет о работе должен содержать название работы, цель, постановку задачи, исходные данные, математическую формулировку (подробный вывод для своего варианта задания), 2 схемы алгоритмов, 2 листинга программ, 2 распечатки результатов, графики экспериментальных и расчетных кривых, анализ полученных результатов (доказательство корректности полученных результатов, сравнение использованных методов по сложности, точности). Отчет оформляется в печатном виде на листах формата А4. Титульный лист оформляется в соответствии с требованиями академии.
4.6. Контрольные вопросы и задания
Сформулировать задачу интерполяции.
Сформулировать условие интерполирования.
Какие бывают методы интерполяции?
Что называют шагом и узлом интерполирования?
Что такое равностоящая и неравностоящая интерполяция?
Построить полином Лагранжа.
Решить систему линейных уравнений методом Крамера.
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
Решить систему линейных уравнений методом обращения матриц.
Написать первую интерполяционную формулу Ньютона и указать область ее применения.
Написать вторую интерполяционную формулу Ньютона и указать область ее применения.
Рассчитать неизвестные коэффициенты степенного полинома, используя формулы Лагранжа и Ньютона.
4.7. Задания
Таблица 4
Номер варианта |
Табличные зависимости
|
Контрольная температура |
Метод решения системы линейных уравнений | |||
i |
1 |
2 |
3 | |||
1.1 |
ti,С Ri,Oм |
32 85 |
70 92 |
100 98 |
38 |
Гаусса |
1.2 |
ti,С Ri,Oм |
5 50 |
45 56.1 |
85 63.5 |
55.5
|
Обращения матриц |
1.3 |
ti,С Ri,Oм |
5 100 |
25 105 |
45 111 |
26 |
Крамера |
1.4 |
ti,С Ri,Oм |
5 80 |
35 103 |
75 112.3 |
72 |
Обращения матриц |
1.5 |
ti,С Ri,Oм |
40 111 |
60 117 |
80 126 |
63 |
Гаусса |
1.6 |
ti,С Ri,Oм |
5 50 |
45 61 |
85 69.1 |
68 |
Обращения матриц |
1.7 |
ti,С Ri,Oм |
5 80 |
32 88 |
70 99.5 |
16 |
Крамера |
1.8 |
ti,С Ri,Oм |
5 100 |
25 113 |
45 123 |
28 |
Гаусса |
1.9 |
ti,С Ri,Oм |
20 106 |
60 116 |
100 142.5 |
88 |
Крамера |
1.10 |
ti,С Ri,Oм |
5 50 |
35 56.1 |
75 63.5 |
23 |
Обращения матриц |
1.11 |
ti,С Ri,Oм |
5 111 |
45 117 |
85 126 |
43 |
Гаусса |
1.12 |
ti,С Ri,Oм |
2 50 |
25 61 |
45 99.1 |
34 |
Крамера |
1.13 |
ti,С Ri,Oм |
40 100 |
60 113 |
80 123 |
74 |
Крамера |
Окончание табл. 4
Номер варианта |
Табличные зависимости
|
Контрольная температура |
Метод решения системы линейных уравнений | |||
i |
1 |
2 |
3 | |||
2.1 |
ti,С Ri,Oм |
22 45 |
70 92 |
100 98 |
28 |
Крамера |
2.2 |
ti,С Ri,Oм |
25 52 |
55 56.1 |
85 62.5 |
55.5 |
Обращения матриц |
2.3 |
ti,С Ri,Oм |
4 1 |
14 10 |
24 101 |
5 |
Гаусса |
2.4 |
ti,С Ri,Oм |
5 88 |
32 103 |
70 110. |
16 |
Обращения матриц |
2.5 |
ti,С Ri,Oм |
40 113 |
60 115 |
80 126 |
63 |
Гаусса |
2.6 |
ti,С Ri,Oм |
5 50 |
25 61 |
85 69.1 |
68 |
Крамера |
2.7 |
ti,С Ri,Oм |
5 10 |
30 88 |
70 99.5 |
16 |
Обращения матриц |
2.8 |
ti,С Ri,Oм |
15 100 |
35 103 |
55 113 |
28 |
Гаусса |
2.9 |
ti,С Ri,Oм |
22 100 |
64 116 |
100 122.5 |
80 |
Крамера |
2.10 |
ti,С Ri,Oм |
5 10 |
35 46.1 |
65 53.5 |
23 |
Обращения матриц |
2.11 |
ti,С Ri,Oм |
25 11 |
65 14 |
105 106 |
40 |
Крамера |
2.12 |
ti,С Ri,Oм |
2 5 |
25 6 |
45 9.1 |
7 |
Гаусса |
2.13 |
ti,С Ri,Oм |
40 1 |
60 10 |
80 13 |
67 |
Крамера |
Таблица 5
Номер варианта |
Вещество |
Табличные зависимости |
Заданная температура |
Метод интерполирования | ||||||
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 | ||||
1.1 |
Глицерин (50 %-ный) |
ti,С , кг/м3 |
0 1136 |
20 1126 |
40 1116 |
60 1102 |
80 1090 |
-
|
24 |
1-я интерполяционная формула Ньютона |
1.2 |
NaOH (50 %-ный) |
ti,С , кг/м3 |
0 1540 |
20 1525 |
60 1497 |
80 1483 |
120 1454 |
- |
36 |
Полином Лагранжа |
1.3 |
Сероугле-род |
ti,С , кг/м3 |
-20 1323 |
20 1263 |
60 1200 |
100 1125 |
- |
- |
53 |
2-я интерполяционная формула Ньютона |
1.4 |
NaOH (30 %-ный) |
ti,С , кг/м3 |
20 1328 |
40 1316 |
60 1303 |
80 1289 |
100 1276 |
- |
63 |
1-я интерполяционная формула Ньютона |
1.5 |
Толуол |
ti,С , кг/м3 |
0 884 |
20 866 |
40 847 |
60 828 |
80 808 |
- |
42 |
2-я интерполяционная формула Ньютона |
1.6 |
Фенол |
ti,С , кг/м3 |
20 1075 |
40 1058 |
60 1040 |
80 1022 |
100 1003 |
- |
63 |
2-я интерполяционная формула Ньютона |
1.7 |
Олеум (20 %-ный) |
ti,С , кг/м3 |
0 1922 |
40 1870 |
60 1844 |
100 1792 |
- |
- |
61 |
Полином Лагранжа |
1.8 |
NaOH (10 %-ный) |
ti,С , кг/м3 |
0 1117 |
40 1100 |
80 1077 |
120 1049 |
- |
- |
73 |
2-я интерполяционная формула Ньютона |
1.9 |
Аммиак жидкий |
ti,С , кг/м3 |
-20 665 |
0 639 |
20 610 |
40 580 |
- |
- |
14 |
1-я интерполяционная формула Ньютона |
1.10 |
Двуокись серы |
ti,С , кг/м3 |
0 1434 |
20 1383 |
40 1327 |
60 1264 |
80 1193 |
100 1111 |
26 |
1-я интерполяционная формула Ньютона |
1.11 |
Бутиловый спирт |
ti,С , кг/м3 |
-20 838 |
0 824 |
20 810 |
40 795 |
60 781 |
100 751 |
42 |
Полином Лагранжа |
1.12 |
NaOH (20 %-ный) |
ti,С , кг/м3 |
0 1230 |
20 1219 |
60 1196 |
80 1183 |
120 1155 |
- |
73 |
Полином Лагранжа |
1.13 |
NaOH (40 %-ный) |
ti,С , кг/м3 |
0 1443 |
20 1430 |
40 1416 |
60 1403 |
80 1389 |
100 1375 |
15 |
2-я интерполяционная формула Ньютона |
Окончание табл. 5
Номер варианта |
Вещество |
Табличные зависимости |
Заданная температура |
Метод интерполирования | ||||||
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 | ||||
2.1 |
Анилин |
ti,С , кг/м3 |
0 1039 |
20 1022 |
40 1004 |
60 988 |
- |
- |
55 |
Полином Лагранжа |
2.2 |
Ацетон |
ti,С , кг/м3 |
-20 835 |
0 813 |
20 791 |
40 768 |
- |
- |
12 |
1-я интерполяционная формула Ньютона |
2.3 |
Этиловый эфир |
ti,С , кг/м3 |
-20 758 |
0 736 |
20 714 |
40 689 |
60 667 |
- |
34 |
1-я интерполяционная формула Ньютона |
2.4 |
Бензол |
ti,С , кг/м3 |
0 900 |
20 879 |
40 858 |
60 636 |
80 815 |
- |
11 |
2-я интерполяционная формула Ньютона |
2.5 |
Бутиловый спирт |
ti,С , кг/м3 |
-20 838 |
40 795 |
60 781 |
80 766 |
- |
- |
34 |
Полином Лагранжа |
2.6 |
Дихлорэтан |
ti,С , кг/м3 |
-20 1310 |
20 1254 |
40 1224 |
60 1194 |
80 1163 |
100 1133 |
45 |
Полином Лагранжа |
2.7 |
Вода |
ti,С , кг/м3 |
0 1000 |
20 998 |
40 992 |
60 983 |
80 972 |
-
|
24 |
1-я интерполяционная формула Ньютона |
2.8 |
Хлорбензол |
ti,С , кг/м3 |
-20 1150 |
0 1128 |
20 1107 |
40 1085 |
60 1065 |
80 1041 |
45 |
1-я интерполяционная формула Ньютона |
2.9 |
Хлороформ |
ti,С , кг/м3 |
20 1489 |
40 1450 |
60 1411 |
80 1380 |
100 1326 |
120 1280 |
56 |
2-я интерполяционная формула Ньютона |
2.10 |
Этилацетат |
ti,С , кг/м3 |
-20 974 |
0 924 |
20 901 |
40 876 |
80 825 |
- |
24 |
Полином Лагранжа |
2.11 |
Октан |
ti,С , кг/м3 |
-20 734 |
20 702 |
60 669 |
100 617 |
- |
- |
56 |
2-я интерполяционная формула Ньютона |
2.12 |
Муравьиная кислота |
ti,С , кг/м3 |
20 1220 |
40 1195 |
60 1171 |
80 1147 |
100 1121 |
- |
67 |
2-я интерполяционная формула Ньютона |
2.13 |
Нитробензол |
ti,С , кг/м3 |
0 1223 |
40 1183 |
80 1143 |
100 1123 |
120 1103 |
- |
35 |
Полином Лагранжа |