Мощность

Важнейшей инженерной динамической характеристикой является мощность, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени

. (53)

Уравнение (53) справедливо для работы, совершаемой равномерно во времени. В общем случае

. (54)

Динамика механической системы Основные определения

Механической системой называется такая совокупность материальных точек или тел, в которой положение или движение каждой точки (или тела) зависит от положения и движения всех остальных.

Любое твердое тело является механической системой.

Внешние силы системы () – это такие силы, с которыми тела, не входящие в данную систему, действуют на тела системы.

Внутренние силы системы () – это силы, с которыми тела данной системы действуют друг на друга.

Свойства внутренних сил системы: В соответствии с третьим законом Ньютона геометрическая сумма всех внутренних сил системы всегда равна нулю, аналогично геометрическая сумма моментов всех внутренних сил системы равна нулю.

(55)

Центр масс системы – это такая точка, которая определяется уравнением

(56)

При решении задач удобно пользоваться аналитическими выражениями для нахождения центра масс

, (57)

где x_C, y_C, z_C – координаты центра масс системы;

x_k, y_k, z_k, m_k – координаты и масса каждой точки системы;

r_C, r_k – радиус-вектор, проведенный соответственно в центр масс системы и каждую ее точку.

Масса системы определяется как арифметическая сумма масс всех ее точек

. (58)

Момент инерции механической системы.

При изучении произвольного (не поступательного) движения механической системы знание массы системы и ее центра не достаточно. Необходимо знать характер распределения масс. Такая характеристика называется моментом инерции системы.

Моментом инерции системы относительно некоторого центра называется сумма произведений масс точек на квадрат их расстояния до данного центра

. (59)

Чаще в технике используется понятие момента инерции тела относительно оси.

Моментом инерции системы относительно осиназывается арифметическая сумма произведений масс точек на квадрат их расстояний до одной оси.

(60)

Момент инерции тела относительно координатных осей можно вычислить по следующим формулам:

(61)

Центральным моментом инерции механической системы называется момент инерции относительно любой оси, проходящей через центр масс системы.

Значения центральных моментов инерции некоторых простейших однородных тел приводятся в справочниках.

Теорема Гюйгенса:Момент инерции тела относительно любой оси, параллельной центральной оси, равен сумме центрального момента инерции и произведения массы системы на квадрат расстояния между осями

. (62)

Дифференциальные уравнения движения

механической системы

Для каждой материальной точки, входящей в данную систему, на основе второго закона Ньютона можно записать следующие ОУД

(63)

где  равнодействующая всех внешних сил, приложенных к k-точке;

равнодействующая всех внутренних сил приложенных к k-точке.

В общем случае для инженерных задач система дифференциальных уравнений (63) является нелинейной и ее аналитическое решение практически невозможно. Исследование таких систем выполняется численными методами с помощью ЭВМ.

Общие теоремы динамики механической системы

Разработаны некоторые общие приемы изучения движения механической системы, которые позволяют получить важные характеристики движения без интегрирования (63).

Теорема о движении центра масс механической системы

Перепишем уравнение (56) в следующем виде

(64)

и вычислим вторую производную

. (65)

В левой части (65) произведение массы системы на ускорение центра масс. Для выяснения физического смысла правой части уравнения просуммируем почленно все уравнения (63) для материальных точек системы

. (66)

Решая совместно (65) и (66) и учитывая, что сумма всех внутренних сил системы равна нулю, получим

. (67)

Уравнение (67) выражает следующую теорему.

Теорема: Центр масс механической системы движется как материальная точка, наделенная массой всей системы, в предположении, что все внешние силы приложены в центре масс системы.

При решении задач необходимо спроектировать (67) на координатные оси

. (68)

Из рассмотрения уравнений (67) и (68) вытекает закон сохранения движения центра масс системы: Если сумма всех внешних сил системы равняется нулю, то центр масс ее движется с постоянной по величине и направлению скоростью или покоится

. (69)

Другими словами, скорость центра масс нельзя изменить действием внутренних сил системы.

Частным случаем выполнения закона (69) является равенство нулю суммы проекций сил на одну из координатных осей, в этом случае центр масс вдоль этой оси не перемещается или движется с постоянной скоростью.