Контрольная работа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Преподаватель: Глушко Ольга Васильевна

№1.Решите задачу.

1. В урне находится 10 шаров, 7 из которых белые. Найти вероятность того, что из 6 взятых наугад шаров будет 4 белых.

2. В ящике имеется 15 деталей, из которых 10 стандартных. Сборщик наугад берет 3 детали. Найти вероятность того, что все взятые детали будут стандартными.

3. В урне 40 шаров: 15 белых, 15 красных и 10 синих. Найти вероятность появления цветного шара.

4. Абонент забыл первую цифру телефонного номера. Най­ти вероятность того, что при наборе номера наудачу он наберет его верно не более чем с трех попыток.

5. В лотерее разыгрывается 200 вещевых и 50 денежных выигрышей на каждые 10 тыс. билетов. Чему равна вероятность выигрыша вообще?

6. В условиях примера 17.7 из урны извлекают один шар, не возвращая его обратно, затем извлекают второй. Найти вероятность извлечения из урны во второй раз цветного шара.

7. Найти число способов извлечения из 36 игральных карт двух тузов и двух королей.

8. Во взводе служат 32 солдата. Ежедневно для несе­ния караула выделяются по два человека. Можно ли соста­вить расписание караульной службы так, чтобы никакая па­ра военнослужащих этого взвода не несла караульную службу дважды?

9. Два букиниста обмениваются друг с другом парами книг. Найти число способов обмена, если первый букинист обменивает 6 книг, а второй - 8 книг.

10. Абонент забыл две промежуточные цифры номера телефона и набрал их наугад. Найти вероятность того, что номер набран правильно в случаях: а) две разные цифры расположены в номере рядом; б) обе цифры расположены в разных местах, за исключением первой позиции.

№2. Решите задачу.

1. Вероятность обращения в поликлинику каждого взрослого человека в период эпидемии гриппа равна 0,8. Найти, сре­ди какого числа взрослых человек можно ожидать, что в по­ликлинику будет не менее 75 обращений.

2. В банке, осуществляющем кредитование населения, 1 000 клиентов. Каждому из клиентов выдается кредит 500 тыс. р. при условии возврата 110% от этой суммы. Ве­роятность невозврата кредита каждым из клиентов в среднем составляет р = 0,01. Какая прибыль гарантирована банку с вероятностью: а) 0,8; б) 0,995?

3. Три стрелка выстрелили залпом по цели, и две пули поразили ее. Найти вероятность того, что первый стрелок поразил цель, если вероятности попадания в цель стрелками соответственно равны 0,4, 0,3 и 0,5.

4. Определить, что вероятнее для соперников равной силы при игре в шахматы: выиграть одну партию из двух или две партии из четырех.

5. Монету бросают пять раз. Найти вероятность выпаде­ния одной из сторон: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.

6. Вероятность выпуска стандартной детали равна 0,8. Найти вероятность того, что среди 100 деталей будет ровно 75 стандартных.

7. Вероятность рождения девочки равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 50 девочек.

8. При проверке изделия на соответствие стандарту вероятность того, что оно пройдет через первого контролера, равна 0,55, а через второго - 0,45. Вероятность признания бездефектного изделия стандартным у первого контролера равна 0,9, а у второго - 0,98. Бездефектное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие прошло через второго контролера.

9. В одном из ящиков находится 7 деталей, из которых 3 нестандартные; в другом - 5 деталей, из них 2 нестандартные. Из первого ящика наугад перекладывают деталь во второй ящик, потом из него берут деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется нестандартной.

10. Вероятность появления события равна 0,7 в каждом из 2100 независимых испытаний. Найти вероятность появления события: а) не менее 1470 раз; б) не менее 1470 и не более 1500 раз; в) не более 1469 раз.

№3. Решите задачу

3.1. Найти дисперсию дискретной случайной величины X числа отказов элемента некоторого устройства в 10 независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9.

3.2. Дискретная случайная величина X задала законом распределения

X 1 2 4

P 0,1 0,3 0,6

Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

3.3. Дискретная случайная величина задана законом распределения

X 3 4 7 10

p 0,2 0,1 0,4 0,3.

Найти функцию распределения и построить ее график.

3.4. Из коробки с шестью деталями, среди которых четыре стандартные, наудачу взяты три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X - количества стандартных деталей среди отобранных.

3.5. Случайная составляющая дохода равна 2Х,а случайная составляющая затрат равна 50Y. Найти дисперсию прибыли при условиях: величина X распределена по биномиальному закону с параметрами п— 100, р= 0,5; величина Y распределена по закону Пуассона с параметром λ = 2; случайные величины X и Yявляются независимыми.

3.6. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной законом распределения:

X -5 2 3 4

P 0,4 0,3 0,1 0,2

3.7. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих неза­висимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени tравна 0,002. Необходимо: а) составить закон распределения отказавших за время t элементов; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины; в) определить вероятность того, что за время tоткажет хотя бы один элемент.

3.8. Вероятность поражения цели равна 0,05. Производится стрельба по цели до первого попадания. Необходимо: а) составить закон распределения числа сделанных выстрелов; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины; в) определить вероятность того, что для поражения цели потребуется не менее 5 выстрелов.

3.9. Составить функцию распределения случайной величины, имеющей биномиальный закон распределения с параметрами пир

3.10. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени tравна 0,002. Необходимо: а) составить закон распределения отказавших за время t элементов; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины; в) определить вероятность того, что за время tоткажет хотя бы один элемент.

№4. Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x). Найти значения входящих в формулу параметров, функцию распределения F(x), математическое ожидание М(х), дисперсию D(x), вероятность попадания в интервал . Нарисовать графики функцийf(x)и F(x).

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

№5. Решите задачу

5.1.Случайная величина X задана плотностью распределения f(х) = e ^-|a|/2. Найти математическое ожидание и дисперсию.

5.2.Случайная величина задана функцией распределения:

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

5.3.Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2,8).

5.4. Ребро куба х измерено приближенно в интервале (а,b). Найти математическое ожидание и дисперсию объема куба, если его ребро рассматривать как случайную величину X с равномерным распределением на указанном интервале.

5.5. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

Найти функцию распределения F(х).

5.6. Случайная величина X задана на положительной полуоси Охфункцией распределения F(x)= 1 – e ^-ax(а > 0). Найти математическое ожидание величины X.

5.7. Найти формулу плотности вероятности нормально распределенной случайной величины X, если математическое ожидание равно 3, а дисперсия равна 16.

5.8. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием а = 25. Вероятность попадания X в интервал (10,15) равна 0,2. Найти вероятность попадания X в интервал (35,40).

5.9.Случайная величина X задана на интервале (0,5) плотностью распределения f(х) = 2х/25; вне этого интервала f(х) = 0. Найти дисперсию X.

5.10. Размер мужских сорочек является случайной величиной с нормальным законом распределения, математическим ожиданием 39 и дисперсией 9. Какой процент от общего объема заказа следует предусмотреть магазину для сорочек 40-го размера воротничка при условии, что этот размер находится в интервале (39,5; 40,5)