math-st854_7 / Вся высшая математика. Том 7_Краснов, Киселев и др_Учебник_2006 -208с

ш ею ш ш ею ш ею ш 0 ею ш ШJ ш ш ею ш ШJ ш ш ею ш [Ю ш ш ею ш cm ш ею ш ш cm ш ш ш ш

28. На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник ABCD, стороны которого лежат на линиях сетки, причем длина отрезка AD в k раз больше длины отрезка АВ (k -

натуральное число). Рассматриваются всевозможныеА пути, проходящие по линиям сетки и кратчайшим образом ведущие из в С. Доказать, что среди этих путей в k

раз больше тех, у которых первое звено лежит на AD, чем тех, у которых первое звено

лежит на АВ.

29.Изучите поведение последовательносnf (ak), где ak = С (при фиксированном n), с точки зрения возрастания-убывания.

30. Имеется карточная колода из 52 карт. Каким числом способов можно раздать по 13

карт четырем игрокам?

Поnиномиаnьная формула

31. Найти коэффициент при жk в разложении многочленов:

3) (vx- ;y. k = -s;

·4) (3 - жv'х)9: k = 11; 5) (ж2 - ж + 2)8, k = 7; 6) (v'Z+ *+ V'Z)6, k = 2.

Комбинаторные тождества

32. С помощью формулы бинома Ньютона

(1 + ж)n = n С жk

Е

k=O

доказать следУ]()щие тождества:

У *НОМR -- 77

Формуnа вкnючения-искnючения

34.На кафедре лингвистики работают 13 человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. Десять Человек знают английский язык, семеро - немецкий,

шестер - французский. Пятеро знают английский и немецкий, четверо - англий­ ский и французский, трое - немецкий и французский. Сколько человек знают 1) все три языка; 2) ровно два языка; 3) только английский язык?

35.1) Показать, что количество натуральных чисел, делящихся на n и не превосходящих

положительного числа х , равно [x/n].

5)Показать, что если n = 30m, то количество натуральных чисел, не превосходящих n и не делящихся ни на одно из чисел 6, 10 и 15, равно 22m.

36.Пусть n > 5. Показать, что простых чисел в множестве

+2, . . . , n + 30}+

37. На каждой стороне треугольника АВС отмечено по n точек, разбивающих ее на n + 1 равных частей. Рассмотрим всевозможные треугольники с вершинами в отмеченных точках (по одной на каждой стороне). Сколько среди этих треугольников таких, ,

у которых ни одна из сторон не параллельна стороне треугольника АВС?

38.Сколько существует б-значных номеров (первые цифры могут быть и нулями) с суммой цифр 27?

39.В кошельке лежит по 20 монет достоинством в 1, 2 и 5 рублей. Сколькими. способами

можно из этих 60 монет выбрать k монет (k 60)?

Задача о беспорядках и встречах

40. С помощью рекуррентных соотношений найти число беспорядков Dn для n = 1 , . . . , 8.

41 . Доказать, что Dn = [ + И .

42.Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 одинаковых ладей так, чтобы· никакие две из них не били друг друга и чтобы ни одна ладья не стояла

на главной диагонали?

43.Сколькими способами можно раскрасить клетки шахматной доски 8 х 8 в 8 цветов так, чтобы клетки, имеющие общую сторону, бьmи бы окрашеньt в разные цвета и чтобы в каждом горизонтальном ряду встречались все 8 цветов?

44.Две колоды карт, содержащие по 52 карты, тщательно тасуются, после чего срав­ ниваются карта за картой. Какова вероятность того, что не будет ни одной пары совпадающих карт?

45.Для числа перестановок n элементов с k встречами Dn,k доказать тождества:

46.Случайным образом выбирается перестановка чисел 1, 2 . . . , n. Пусть - количество элементов, остающихся на своих местах. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

47.Секретарше нужно отправить n различных писем по n различным адресам. Она подписывает конверть1 и случайным образом вкладывает письма в конверты. Сколько в среднем писем дойдет до своего адресата?

Производящие функции Найти производящие функции следующих последовательностей:

уравнение :с2 - ах - f3 = О имеет два различных иенулевых корня :с1 и х2• Доказать,

что имеет место тождество

an = с,х + с2х

для некоторых с1 и с2 , однозначно определяемых а1 и а2•

ипоследняя, а также любые две соседние цифры различны.

67.Сколько существует раскрасок вершин n-угольника, если соседние вершины должны быть разного цвета, а всего имеется k цветов?

68.Пусть n-й член последовательности задается формулой

=c1xf + с2х , где Х1 -:/= х2.

70.Найти числодвоичных последовательностейдлины 11, не содержащих единиц ни в ка­ ких трех соседних позициях.

(согласно первому пункту данной задачи).

ТЕОРИЯ ПОЙА

1

При решении ряда перечис;;rительных задач комбинаторные объекты мoryr естественным образом отождествляться.

Приведем конкретный nример. Некогда пассажиры общественного трансnор­ та, заходя в автобус, троллейбус или трамвай, не покуnали билет у кондуктора, а nробивали заранее купленный абонемент компостером, установленным в салоне трансnортного средства. Контролеры проверяли, соответствует ли расположение дырочек на пробитом абонементе данному компостеру. Ясно, что с точки зрения как контролера, так и пассажира, компостеры, дающие картинки, которые пе­ реходят одна в другую (например, в результате выполнения осевой симметрии), различить нельзя.

Впечатляющим примерам перечисления объектов с точностью до симметрий была работа Артура Кэли, опубликовавшего в 1875 г. в Докладах немецкого хими­ ческого общества статью, посвященную перечислению изомеров уГлеводородов.

Обобщение идей Кэли привело к теории Пойа, названной так в честь аме­ риканского математика венгерского происхождения Джорджаи Пойа l}. Эта теория соЗдавалась в 30-х годах ХХ столетия, но развивается применяется и лоныне,

особенно в части персчисления графов различных видов.

В теории hойа nодсчет числа элементов некоторого множества осуществля­ ется с точностью до отношения эквивалентности, заданного на данном множестве nри помощи указания некоторой группы подстановок, действующих на этом мно­ жестве. В результате применения теории Пойа для числа классов эквивалентности различных видов строится производящая функция. Заметим, что производящие функции к решению различных комбинаторных и вероятностных задач применя­ ли еще [ Лейбниц, Я. Бернулли, А. Муавр, Л. Эйлер и П. Лаплас.

Теория Пойа является хорошим nримерам демонстрации возможностей ал­ гебраического аппарата при решении комбинаторных задач.

J) На русс ом !!ЗЫКе !l:щаны таJ<Ие широко извес ые в круrу любителей матема­ ТИК!!КI!Иrи Д. Пойа, i<ак «Математика и nравдаподобные рассуждения , «Как решатЬ задачу•. Он таюке один 11з авторов знаменитоrо Полнадвухтомника «Задачи и теоремы из анализа , rде, правда, фигурирует как Георг (это немецК!IЙ вариант звучанi!Я ero имени и фамi!Лии).

l : iki = n . i=l

Цикловым индексом подстановки называют одночлен

где - типподстановки.

Цикловым индексом группы подстановак G называют среднее арифметическое цикловых индексов ее элементов:

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1 . Тождественная nодстановка е nорождает n орбит длины 1, nоэтому цикловой индекс груnnы, состоящей только из тождественной nодстановки, раве"':

1Ри(х1, • • • , х,.) = х.

Пример 2. Дпя вычисления циклового ин, декса симметрической груnnы S,. найдем число nодстановок,, имеющих тиn (k1, k2, • • • kп).

-. Рассмотрим заnись разбиения n-элементного множества на орбиты: сначала k1 пар скобок для заnиси одноэлементных орбит, затем k2 пар скобок для заnиси 2-элементных

орбит и т. д. На имеющихся внутри всех скобок n nозициях n элементов можно расставить n! сnособами; nри этом nолучающимся заnисям будут соответствовать nодстановки указанного тиnа. Однако одной и той же nодстановке будет соответствовать, вообще говоря, несколько заnисей. Подсчитаем, сколько.

Каждая орбита длинЬ! i в nределах данных скобок может быть заnисана i сnособами (на nервое место можно nоставить любой элемент орбиты, заnолнение остала --t ьных--t смест--t а nосле этого оnределяется однозначно). Наnример, 3-элементную орбиту Ь

можно заnисать тремя сnособами:

(а, Ь, с), (Ь, с, а), (с, а, Ь).

Скобки, соответствующие, орбитам Длi!IНЫ i, можно nереставить k;! сnособами.

/

§ 2..·11емма&ерисаii'де - 85

( а; - цвет i-й , вершины, С - множество цветов); G - групnа вращений тетраэдра. При вращении тетраэдра его вершины меняются местами, в результате чего одна раскраска nереходит в другую, т. е. каждому вращению тетраэдра соответствует некоторая nодста­ новка на множестве раскрасок. Транзитивное множество в данном случае составляют та· кие раскраски , которые могут быть nолучены одна из другой в результате некоторого вра­ щения тетраэдра. Раскраски, входящие в разные транзитивные множества, - существен·

но различны, nоскольку не nереходят друг в друга одним лишь вращением тетраэдра.

' Число транзитивных множеств, на которые разбивается м ножество S отношением,

Теорема 1 (яемма Бернсайда; 1 91 1 r.).

Ta(S) = \G1 \ IgEG.:J(g) .