math-st854_7 / Вся высшая математика. Том 7_Краснов, Киселев и др_Учебник_2006 -208с

+(- l )k

= тn - т · (т l)n + С (т - 2)n - . . . + (- l)m- l · с;::-1 · 171•

Итак, число сюръекций n-элементного множества в т-элементное множе­

ство равно

т- 1

\FI L( - l)kC (т - k)71• k=IJ

Пример. n различных шаров нужно разместить по т различным ящикам так, чтобы ни один ящик не остался nустым. Каким числом способов это можно сделать?

<4 Распределение шаров по ящикам можно рассматривать как отображение множества шаров в множество ящиков; отсутствие nустых ящиков соответствует тому•, что указанное отображение является сюръекцией. Число сюръекций nодсчитано выше.

§ 1 1 . Обобщение формуnы вкnючения-искпючения

Пусть А - некоторое множество, А1 , А2, • • • , An - его подмножества. Определим функцию w(n) следующими соотношениями:

Пусть N(r) - число элементов множества А, которые принадлежат ровно r раз­ личным множествам Ai (если r О , то - ни одному). С помощьrо введенных функций формула включения-исклrочения принимает следующий вид:

N(O) w(O) w(l) + w(2) - . . . + (- I) ' w(n).

В этом параграфе мы докажем, что имеет место и более общее соотношение:

вправую часть доказываемого равенства. Возможны, следующие 3 случая:

1)Элемент входит менее чем в r различных множеств Ai , тогда он не принад­ лежит никакому пересечению r и более упомянутых множеств, и вклад его в ПРавую часть (1) равен нулrо.Возьмем произволъный элемент множества А и подсчитаем его «ВКЛад»

'

58 -- Гnau LXVIII; Комбмнаfорика

Таким образом, формула из правой части ( 1) дает число элементов А, входящих ровно в r подмножеств Ai . Это и требовалось доказать.

из трех журналов? Сколько студентов читает ровно два журнала?

.. в данной задаче в роли исходного множеСТВ<\ А выстуnает множество из 100 студен­ ТОВ, nодмножества= А 1 , А2, =А3 состаЩJяют студенты, читающие= соответству+ =ющие90; журналы.

Имеем: w(O} 100; w(l) 60 + 50 + 50 = 160; w(2) 30 + 20 40 w(3) 10.

Тогда N(O) = w(O)-w(l)+w(2)-w(3) = 20; N(2) w(2)-Clw(З) = 90-3- 10 = 60. 111>

Ответ. 20 человек не читают журналов, 60 человек читают по два журнала.

§ 1 2. Числа Стирnинrа 11 рода

Числом Стирлинга //рода S(n, k) называют число неупорядоченных разбиений 3) n-элементноrо множества на k непустых множеств. Элементы разбиения будем называть блоками.

Прммер. Вычислим 9(6, 2). Число неуnорядоченных разбиений=6-злементного множества на два блока, один из которых содержит l элемент, равно CJ 6. Если в одном из двух

Э) О понятия разбиения см. § 2 rл. LXVII.

§ 12. · Чмс:па·Стирлиига 11 рода -- 59

По определению полагают

18(0, О) = 1, при любом натуральном n 8(n, О) = О, 8(0, n) ·= o.J (1)

С помощью результатов § 10 мы сейчас выведем формулу для чисел Стир­ линга> 11 рода. Каждую сюръекцию n-элементного множества А в k-элементное (n k) можно рассматривать какупорядоченное разбиение А на k непустых частей (каждая часть состоит из элементов, имеющих один и тот же образ при заданном сюръективном отображении). Пусть 8n,k - число таких сюръекций:

Всякое упорядоченное разбиение на k блоков можно получ 'FЬ в результате выпол-

Первый шаг процедуры может быть выполнен 8(n, k) способами, второй ­ k! способами. С помощью правила произведения получаем соотношение

Для вычисления чисел Стирлинrа удобно применять следующую рекуррентную формулу:

Докажем ее. Пусть А - множество из n элементов; х - некоторый фикси­ рованный элемент А. Число разбиений А на k блоков, среди которых содержится блок {х}, равно 8(n - 1, k - 1) (множество А \ {х} , мощность которого n - 1, разбивается на k - 1 блоков). Всякое разбиение, не содержащее блока {х}, можно

получить,

1)разбив множество А \ {х} на k блоков;

2)добавив элемент х к одному из полученных блоков.

'

60 ---Гllава LXVIII. Комбинаторика

ТаблицаII3

Числа Стирлинrа рода S(n, k)

Действительно, если n элементов разбиваются на n - 1 блоков, то все блоки, кроме одного, будут одноэлементными, и разбиение определяется тем, какие два элемента составят этот блок.

Для дальнейшего нам понадобится следующая рекуррентная зависимость для чисел Стирлинга 11 рода:

Для доказательства рассмотрим блок В, содержащий некоторый фиксиро­ ванный элемент х. Мощность Ь блока В моЖет быть равна 1 , 2, . . . , n - (k - 1 ) , так как в остальных блоках не мен е k - 1 Элементов. Подсчитаем число разбиений

с фиксированным значением Ь. В этом случае блок В можно сформировать С:\ способами (к элементу х нужно добавить еще Ь - 1 элементов). Не вошедшие в данный блок n- Ь элеме}{тов S(n- Ь, k - 1 ) способами могут быть разбиты на k - 1

блоков. Значит, число разбиений, в которых IBI = Ь, равно S(n - Ь, k - 1 )С :\ .

Суммируя это выражение по возможным значениям Ь, получаем искомую форму­ лу, которой удобно придать следующий вид:

i=k-1

Числом БеллаBn называют число всех неупорядоченных разбиений n-эле­

ментного множества. Его можно найти, просуммировав по k количества разбиений

на k блоков:

n

Bn = L k) .

1:=0 S(n,

§ 12. Чмсnа Crмpnюira ll poдa -- 61

В заключение данного параграфа установим оченьих важное свойство чисел Стирлинга 11 рода, которое иногда берут в качестве определения. Оказывает­ ся, числа Стирлинга 11 рода являются коэффициентами разложения многочлена xn (n = О, 1 , 2, . . . ) по следующему базису в пространстве многочленов степени не выше n :

Для n = О утверждение теоремы nроверяется непосредственно; поэтому будем считать, что n Е N.

Докажем сначала, что соотношение (5) сnраведливо, если х - натуральное

число.

= n , IBI =

·С одной стороны, их число есть А = xn.

Сдругой стороны, будем токлассифицировать, функцИи по мощности множе­ ства /(А) . Если 1 /(A) I = k, во-nервых, множество С = /(А) может быть

:способам , а, во-вторых, при фиксированном С число функций

Сравно числу сюръекций Sn,k (если /(А) = С, то функция f : А - +С ­х.Пусть F - множество всех функций f : А - +В ,выбрано где IAI

сюръекция). Таким образом,

Просуммировав nолученное выражение по k от 1 до х, вновь найдем мощность

множества F:

z

IFI = L S(n, k)(x)k .

k=l

Покажем, что верхнюю границу суммирования можно поменять с х на n , не из­ менив при этом суммы. Действительно, если х < n, то слагаемые в сумме, отвечающие значениям k > х, равны нулю, так как (x)k = О (nроверьте!); если же х > n, то при k > n S(n, k) = О и соответствующие слагаемые в сумме такжеравны