Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный экономический университет (бывш. ФИНЭК, ИНЖЭКОН)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

math-st854_7 / Вся высшая математика. Том 7_Краснов, Киселев и др_Учебник_2006 -208с

.pdf

Скачиваний:

103

Добавлен:

02.04.2015

Размер:

12.51 Mб

Скачать

☆

1 / 211 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

вся ВЬIСWАН МАТЕМАТИКА

М.Л. Краснов А.И.Киселев Г. И.Макаренко Е. В.Шикин В.И.Заляпин А.Ю.Эвнин

Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации

в качестве учебника для студентов высших технических учебных заведений

МОСКВА

URSS

5-484-00521-3

2006. - 208 с.

ББК 22. 1я73

Краснов Михаил Леонтьевич, Киселев Александр ИвановИч, Макаренко I}Jнгорий Иванович, Шикни.Евrен"й Викторович,

Заляпин Владимир Ильич, Эвщ.н Александр ЮрЬевич

Вся высшая математика: Учебник. Т. 7.- М.: Комl<нига,

ISBN

Предлагаемый учебник впервые вышел в свет в виде двухтомника сначала на английском и испанском языках в 1990 году, а затем на фр,анцузском; Он nользуется 69лъшим спросом за рубежом.

В 1999 году книга стала лауреатом конкурса по созданию новых учебников Министерства

образования России.

Этот учебник адресован студентам высших учебных заведений (в первую очередь будущим инженерам и эконо истам) и охватывает практически все разделы математики, но при этом представляет собой не набор разрозненных глав, а единое целое..

Седьмой том включает в себя материал по теории чисел, комбинаторике и теории гра фов. В первых двух главах тома рассматриваются элементы теории чисел и общей алгебры.

Вводимь1е при этом понятия широко испо,Jiьзуются в других ГЛавах, в частности при изложе нии теории Пойа, позволяющей решать задачи пересчета Объектов с точностью до того или

иного отношения эквивалентности. В главе, посвященной комбинаторике, помимо начальных сведений о выборках имагается принцип включения-исключения, эффективно работающий при решении классических комбинаторных задач. Здесь также описывается аппарат произ водяших функций - мощцое средство комбинаторного анализа. В заключительных главах вв дятся основные понятия теории графов и матроидов, описываются некоторые эффективные алгоритмы.

Издательство •КомКнига•. 117312, r. Москва, nр-т 60-летия Октября, 9.
Подписано к печати 09.03.2 6 r. Формат 70х \00/16.	Печ. л. 13. Зак. N.! 2331.
Отпечатано в типографии 000 ПФ •Полиграфист•.	160001, г. Вологда, ул. 'lелюскинцев, З.

ISBN 5-484-00521-3

НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА

URSS@URSS.ru

EКаталог-mall: изданий в Интернете· :

Телhttp://URSS./факс: (495).135ru-42-16 URSS Тел./факс: 7 (495) 135-42-46

3384 ID 31314

Яllll/liШ Ш ll >

в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то электронные или механические,

включая фотокопирование и запись на магнитный носитель, а также размещение в Интернете, если на то

нет письменного разрешения Издательства.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Глава LXVI		, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Элементы теории чисел . . . . .
§ 1 .	Теорема о делении с остатком . . . . . .		. . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . .
§ 2.	Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида . .			. . . . . . . . . . . . . . .
§ 3.	(ka - 1 , kь - 1) = k(а,Ь) - 1	. . . . . . . . .	. . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . .
§ 4.	Простые числа. Основная теорема арифметики . . .			. . . . . . . . . . . . . . .
§ 5.	Сравнения и их свойства .	. . . . . . . . .	. . •. . . . . .	. . . . . . . . . . . . .' . .
§ 6.	Системы вычетов . . . . . . .	. . . . . . . . .
§ 7.	Теорема Эйлера . . . . . . . .	. . . . . . . . .	. . . . •. . .	. . . . . . . . . . . . . . .
§ 8.	Линейные диофантовы уравнения . . . . .			. . . . . . . . . . . . . . .
§ 9.	Мультипликативные функции . . . . . . . .		. . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . .
§ 10.	Система РША . . . . . . . . .	. . . . . . . . .	• . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . .
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . .		. . . . . . . .		, .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . .		. . . . . . . . .	. . . . . . .

Глава LXVII

Начальные понятия общей алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . .

5 5 6 8 9

§ 1 .	Отношения .	. . . . . . . . . .	. . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . -. . . . . . . . . . .	' 25
§ 2.	Отношение эквивалентности		. . . . . . . . . .		26
§ 3.	Отношения порядка . . . . . .		. . . . . . . . .	:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	27
§ 4.	Алгебраические структуры. Группа . . . . . .				28
§ 5.	Кольцо и поле . . . . . . . . . .		. . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	30
§ 6.	Группы самосовмещений многоугольников и многогранников . . . . . . . . .				32
Упражнения . . . . .		.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .	. · .: . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	34
Ответы . . . . . . . ..				. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	35

Оrпаа.nенме -- 201

Глава LXVIII																									39
Комбинаторика			. . . . . .	.	. .	.. •.	•. . . .	. . . .	. . •.	•. .	. . . .	. .	.	•.	.	.	.	.	.	.	.	.	. .	.	39
§ 1 .	Правило произведения					.. •.	•. . . .	. . . .	. . •.	•. .	. . . .	. . .		•.	.	.	.	.	.	.	.	.	. .	.	41
	1.1.	Число nерестановак				. .	• . . .	. . . •	• • .	• . .	. • •	. • .		.		.	•	•	.	•	•	•	• .	.	42
	1 .2.	Число подмножеств конечного множества								• . .	. . .	. •	•	•	•	.	•	.	.	. .	.		• •	•	42
§ 2.	Выборки. Размещения .					. .	. . • . • . . .		. . .	. . .	. . .	. . .		.	•	.	.	.	.	. .	.		. .	.	42
. § 3.	Сочетания		. . '- . . .	. .	.	. .	. . . .	• . . .	. . .	. . .	. . .	. . .		.	.	• . . . . . . . .								.	43
§ 4.	Перестановки с повторениями .							. . . .	. • .	• . .	• . . .	. .		.	.	.	•	.	.	• .	.		. .	.	45
§ 5.	Полиномиальная формула						. . . . .	. . . .	. .	. . .	. . . .	. .		.	.	.	• .		.	. .	.		. .	.	46
§ 6.	Комбинаторные тождества						. . . . .	. • . .	• .	. . .	. . . .	• .		.	.	.	. · .		. .	.	.		• .	.	48
§ 7.	Формула включения-исключения							• . . . .	. .	. . .	. . . .	. .		•	.	. .		.	.	.	•	•	. .	.	52
§ 8.	Функция Эйлера . .			. .	.	. .	. . . .	• . . . .	. .	. . .	. . . .	. .		.	. .		• .		. .	.		•	. .	.	53
§ 9.			с							•															54
	Задача о бе порядках и встречах							. . . .	. .	•	. . . .	. .		.	. .	.	.		. .	.	.		. .	.	54
§ 10.	Число сюръекций . . . .					• .	. . . . .	. . . .	. .	. . .	. . . .	. .		.	. .	.	.		. .	.	.		. .	.	56
§ 1 1 .	Обобщение формулы включения-исключения . .										. . . .	. .		•	. .	.	.		. .	.	.		. .	.	57
§ 12.	Числа Стирлинга 11			рода		. .	•. . . . .	. . . .	. .' •. . .		. . . .	. .		.	. .	.	.		. .	• .	.		. .	.	58	·
§ 13.	Числа Стирлинrа 1 рода					. .	•. . . . .	. . . .	. .' •. . .		. . . .	. .		.	. .	.	.		.	• .	.		. .	.	62
§ 14.	Производящие функции . •						. . . . .	. • . .	. .	. . .	. , . . .		. .		• .	.	.		. .	.	.		. .	.	64
§ 15.	Число счастливых билетов						. . . . .	. . . .	. .	. .	• . . . .	. .		.	. .	.	.		. .	.	.		. .	.	67
§ 16.	Число бинарных деревьев с n вершинами .									. . .	. • . .	• .		.	. .	.	.		. .	.	.		. .	.	68
§ 17.	Решение линейных рекуррентных уравнений .										. . . . • . .			. .	.	.	.		.	, .		•	. .	.	70
УпражнениЯ . . .			. • • . .	. . . . . . . . . .				. . . . . . .		: .	• . . . .	. .		• .	.	.	.		. ..	.	.		. .	.	73
Ответы . .		. . . .	• . . . . .	. .	.	. .	. . . . .	. . . .	. .	• . .	. . . .	. .		• .	.	.	.		. .	.	.		. .	.	79
Глава LXIX			'																						81
Теория Пойа . .			'	. . .	.	. .	. . . . .	. . . .	. .	. . .	. . . .	. .	•	. .	.	.	.	.	.	.	.		. .	.	81
§ 1 .	Цикловой индекс группы подстановак . .								. .	. . .	. . . .	.	•	. .	.	.	.	.	.	.	.		. .	.	82
§ 2.	Лемма Бернсайда .			. .	.	. .	• . . . .	. . . .	. •	. . .	. . .	. .	. . . . .					.	. . .			.	. •	.	84
§ 3.	Функции и классы эквивалентности . . .								. .	. . .	. . . .	. .		. .		• .	.	.	.	.	.		. .	.	88
§ 4.	Теорема Пойа . . .			. .	.	. .	. • . ,	. . . . . . .		. .	. • . . .	. .		. .	.	.	.	.	.		. . .. .			.	90
§ 5,	Примеры •		. . . . .	. . .	.	. .	. . . .	. . . . . . . . . . . . . . .					. . . . .					.	. • .	.	.		. .	.	92
Упражнения . . . .			. . . .	. . .	.	. .	. . . . .	. . . .	. .	. . .	. . . .	. .		. . . .				.	• .	.	.		. .	.	95
Ответы . .		. . . . .	. . . .	. . .	.	. •	. . . . .	. . .	• . .	. . .	. • .	• . .		. .	.	.	.	.	.	.	.		. .	.	97 · .
Глава LXX																									99
Введение в теорию графов .						. .	. . . . .	. . . .	. .	. . .	. . . .	. .		. .	.	.	.	.	.	.	.		. .	.	99
§ 1 .	Определения и примеры					.	. . . . .	. . . .	. .	. . .	. . . .	. .		. .	.	.	.	.		• .	.		. .	.	100
§ 2.	Связные графы · .			. .	• .	. .	• . . .	• . • . .	. .	. . .	. . . .	. .		•	• .	.	.	.	.	.	.		. .	.	104
§ З.	Метрические характеристики графа • . .								. .	. . .	. . . .	.	,	•	• .	.	.	· .	.		.	.	• .	•	1(}7
§ 4.	Гамильтонавы графы .				.	. •	. . . . .	. . . .	. .	. .	• . . . .	. .		. .	.	.	.	.	.	.	.		• .	.	109
§ 5.	Эйлеравы графы			. .	• .	. .	. . . . .	. . • .	. .	. • .	. . . .	. .		. .	.	.	.	.	.		. . . .			•	1 1 1
§ 6.	Деревья и леса .			. .	• .	• , . . . .		. . . . . . .		. • .	. . • .	.	•	. .	.	.		•	•	• .	.		. .	•	1 14

· 202				Оrлавпение
§ 7.	Теорема Кэли о числе помеченных деревьев . . . . . . . . . . . . . .			. . . · . .	. 1 16
§ 8.	Стягивающие деревья		. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . · . .	118
§ 9.	Фундаментальная система циклов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			. . . . .	121
	9.1 .	Симметрическая разность множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		. . . . .	122
	9.2.	Псевдоциклы . . .	. .. . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . .	123
§ 10.	9.3.	Фундаментальная система циклов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		. . . . .	123
§ 10.	Укладки графов . . . .		. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . .	. . . . .	125
§ 1 1 .	Формула Эйлера . . . .		. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . .	126
§ 1 2.	Критерий планарности графа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			. . . . .	129
§ 13.	Ориентированные графы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			. . . . .	129
§ 14.	Нахождение кратчайших путей в орграфе . . . . . . . . . . . . . . . . .			. . . . .	130
§ 1 5.	Задача сетевого планирования и управления (PERT) . . . . . . . . . .			. . . . .	134
§ 16.	Потоки в сетях . . . . . .		. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . .	137
Упражнения . . . . . . . . . . . .			. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . .	141
Ответы . .		. . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . .	148
Глава LXXI					,150
Парасочетания . . . . . . . . .			. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . .	,150
§ 1 .	Теорема Холла . . . . . .		. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . .	151
§ 2.	Венгерская теорема . .		. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . .	152
§ 3.	Теорема Дилворта . . .		. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . .	154
§ 4.	Совершенные парасочетания в регулярных двудольных графах . . .			•. . . . .	157
§ 5.	Дважды стохастические матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			•. . . . .	157
§ 6.	Латинские прямоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			. . . . .	158
§ 7.	Реберная раскраска графов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			. . . . .	159
§ 8.	Теорема Бёржа . . . . .		. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' . . . . .	. . . . .	161
§ 9.	Нахождение наибольшего парасочетания . . . . . . . . . . . . . . . . .			. . . . .	162
§ 10.	Нахождение наименьшего вершинного покрытия . . . . . . . . . . .			, . . . . . 164
§ 1 1 .	Венгерский алгоритм . .		. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . .	166
§ 12.	Задача о назначениях на узкое место . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			. . . . .	168
Упражнения . . . . . . . . . . . .			. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · . . . . . . . . .	. . . . .	169
Ответы . .		. . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ·. . . . . .	. . . . .	171
Глава LXXII ·					173
Матроиды		. . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . .	173
§ 1 .	Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			. . . . .	173
§ 2.	Двойственност!> . . . . .		. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . .	176
§ 3.	Представимые матроиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .			. . . . .	176
§ 4.	Ранговая функция . . .		: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . .	177
§ 5.	Жадный алгоритм . . . .		. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . .	179
§ 6.	Одна задача планирования эксперимента . . . . . . . . . . . . . . . . .			. . . . .	182
§ 7.	Трансвереали . . . . . . .		. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . .	183

ЯШМ -- 203

§ 8.	Трансверсал ;.ный матроид .		. . . .	. . •	• .	. . .	. . . . . . •	. . . . . . . . . .	. . 1 86
§ 91	Неэависимые трансвереали		. . . •	. • .	• . .	. .	. . . . . . .	. . . . . . . . . . .	. 187
§ 1 0.	Общие трансвереали . . . . .		. . . . .	. .	. . .	. .	. . . . . . . .	. . . . . • . . . .	. 189
§ 1 1 .	Некоторые интересные матроиды .			. .	. . .	. .	. . . . . . . .	. . . . . : . . .	• . 1 90
	11.1.	Матроид Фано . . . . . . . .	• . . .	. .	. . .	• .	. . . • . . . .	. . . . . . . . • .	. 191
	11 .2.	Матроид Вамоса . . . . . .	. . . .	. .	• . .	. .	• . . . . . . .	. . . • . . . . . .	• 193
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . .			. . .	• . .	. .	• . .	. . . . . . . .	. • . . . . . . . .	. 1 94
Ответы . .		. . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . .	. .	• . .	. .	. . . . . . .	• • . • . . . . . . .	. 1 96
Предметный указатель . . . . . . . .			. . . .	. .	. . .	. .	. . . . . . .	. . . . . . . . . .	. 197

ПРЕДИСЛОВИЕ

В лредьщущих книгах нашеrо издания развитие основных событий в большей или меньшей степени было связано с ключевой идеей близости, математическое

осмысление которой привело к ошеломляющему каскаду самых разнообразных результатов. И хотя эта. илея еще весьма далека от исчерпания, существует ши

рокий пласт математических задач, в которых она не работает. Значительную · по объему долю в этом пласте. составляют задачи, в которых изучаются свойства множеств, состоящих из конечного числа элементов. Число элементов в таких

множествах может быть разным - от нескольких единиц до многих степеней десяти - l010 ,101010 , . . . .

Истоки некоторых из этих задач и методы их решения отделены от нас сотнями и даже тысячами лет. Появление других было стимулировано развитием вычислитмьных средств, стремительно расширяющнеся возможности которых

сами служат источником все новых и новых задач.
Нарастающий интерес вызвал к жизни новое понятие	дискJН!тная мате-

матика. Понимаемая в широком смысле дискретная математика включает в себя теорию чисел, общую алгебру, математическую логику, комбинаторный анализ,

теорию графов, теорию кодирования, целочисленное лроrраммирование, теорию

функциональных систем и др.

ДискJН!тность (от латинского discretus раЗделенный, nрерывистый) нередко противопоставляют непрерывносТи. Однако nри решении сложных практических задач дискретные и непрерывные подходы работают совместно и весьма эффек тивно, взаимно обогащая друr друrа.

В 1 998 rоду иЗдательство «Мир» выпустило книгу Р. Грэхема, Д. Кнута и О. Па ташника «Конкретная математика» (Concrete тatheтatics), термин

CONCRETE

в названии которой образован слиянием слов

CONtinious и disCRETE.

Основная задача этого тома - дать читателю рабочее nредставление о технике оперирования с дискретными объектами, аналогичной технике для объектов неnрерывных.

Наша цель скромней: мы лишь хотим познакомить читателя с некоторыми элементами дискретной математики.

В первых двух главах тома рассматриваются элементы теории чисел и общей алгебры. Ввgдимые при этом понятия широко используются в других, главах,

4 --"------------------------Предиеповие

в частности nри изложении теории Пойа, nозволяющей решать задачи nересчета объектов с точностью до того или иного отношения эквивалентности. В главе, nосвященной комбинаторике, nомимо начальных сведений о выборках излагается лринциn включения-исключения, эффективно работающий при решении клас сических комбинаторных задач. Здесь также оnисывается апnарат nроизводящих функций - мощное средство комбинаторного анализа; В заключительных главах вводятся основные nонятия теории графов и матроидов, оnисываются некоторые эффективные алгоритмы.

ГлаваLХW____________________________

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Откуда взялись числа, не знает никто. Этнографы объездили все страны вдоль и поперек и нашли народы, которым вполне хватает <<один», «два>> и «много». А между тем, у них есть и изысканное искусство, и тончайшие мифы, и нетри виальные ремесла. Видимо, эти народы так и не столкнулись с проблемами, для разрешения которых бьmо необходимо заметное расширение числового диапазо на. Они такие же люди, как и мы, только без этого <<один», «два», «три» и так далее, вплоть До натурального ряда чисел.

Магия натуральных чисел необычайно притягательна. Она примекает вни мание не только увлеченных модной нынче нумерологией, но и заражает вы дающиеся умы. Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Георг Фридрих Бернхард Риман и многие другие, чьи имена читатель уже встречал в самых разных разделах томах нашей серии,' серьезно занимались проблемами высшей арифметики, или, как ее принято называть сейчас, теории чисел, в которой к настоящему време ни накопилось значительное количество медоказанных утверждений (несмотря на впечатляющие успехи).

Обманчиво простая формулировка Великой теоремы Ферма породила столь большую и разношерстную армию желающих ее доказать, что профессиональные математики, обращавшиеся к этой проблеме, предпочитали скрывать свои усилия по ее доказательству. Это в полной мере относится и к Эндрю Уайлсу, сумевшему обосновать всем очевидный ответ около десяти лет назад. Насколько важен этот результат для науки, сказать трудно - на этот счет существуют разные точки зрения. Но то обстоятельство, что наЙденное доказательство со сем не просто, признают все.

Вэтой главе мы знакомим читателя с некоторыми понятиями теории чисел,

снесложным инструментарием, позволяющим показать целый ряд замечательных свойств натуральных чисел, и рассказываем об о.Цном из применений классических результатов теории чисел к решению чрезвычайно актуальной проблемы защиты информации (создании надежных шифров).

§1 . Теорема о делении с остатком .

Пусть а и Ь - целые числа. Если существует такое целое число q, что а :;::::Ьq, то

говорят: а делится на Ь, или а кра-атно Ь, или аЬ.делит а, или Ь- делитель а; при

этом пользуются обозцачениями : Ь или Ь 1

1 / 211 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>