math-st854_7 / Вся высшая математика. Том 7_Краснов, Киселев и др_Учебник_2006 -208с

156 - --Гпава LXXI.Паросочетани•

Из существования антицеnи мощности т вытекает, что максимальная длина анmицепи У не меньше т.

Итак, Х т У. Вспоминая, что Х ;;:::У, окончательно имеем: Х =т У. ..,.

Замечание. Доказательство теоремы дает алгоритм нахождения минимального цепного

Теорема (двойственная к теореме Дипворта)

Если в формулировке ·теоремы Дилворта заменить слово «цепи» на «антицепи», а «антицепЬ» на «цепЬ», то получим также верное утверждение, которое доказы­ вается очень просто.

. Теорема 4. Минимальное число непересекающихся антицепей, покрывающих упорядо­ ченноемножество А, раt1номаксимальной длине цепи.

"" Пусть т - максимальная длина цепи, а Р - цепь длины т. Так как любая антицепъ имеет с цепью Р не более одного общеГо элемента, исходное множе­ ство А покрывает не менее т антицепей. Обозначим через l(a) наибольшую длину цепи, начинающейся с элемента а (то есть элемент-< а nредшествует всем друrим

элементам данной цепи). Очевидно, если а Ь, то l(a). > l(Ь). Таким образом,

элементы а и Ь, для которых l(a) = l(Ь), не сравнимы, а множество

Ai = {а l l(a) = i}

является антицепью. Осталось заметить, что в наших предnоложениях функция l

на элементах множества Р принимает все значения от 1 до m, и т - наи­

большее значение функции l . Значит, имеем т неnересекающихся антицеnей А1, Аъ . . . , Ат. локрываюших уnорядоченное множество А. ..,.

Из доказанной теоремы вытекает следующий интересный факт.

Если упорядоченное множество А содержит нtг менее (р - l)(q - 1) + 1 элементов, то внемсуществует цепьдлины неменее р или антицепьдлины неменее q.

"" Если в множестве А нет цепи длины р, то есть максимальная длина цепи не иревосходит р - 1 , то, согласно предыдущей теореме, найдется не более

р - l антицепей, nокрывающих множество А. Если бы каждая· из них содержала

не более q - l элементов, то в их объединении было бы не более ( р -l)(q - 1)

элементов, и они не nокрывали• бы множество А . Стало быть, длина пекоторой

антицеnи не меньше числа q.

Замечание. Теорема 5 легко выводится и из самой теоремы Дилворта, но, как уже заметил читатель, она доказывается не столь просто, как двойственная теорема.

В последующих nараграфах данной главы мы рассмотрим некоторые прило­ жения минимаксных теорем.

§5. 1Щжды стохастические матрицы ---157

§4. Совершенные паросочетания

врегулярных двудольных графах

С помощью теоремы Холла получим результаты, связанные с темой параграфа.

Теорема 6. В любом непустом регулярном двудольном графе G(Vt, V2) сущест8)Jет

совершенное паросочетание.

"1111Пусть степень каждой вершины графа равна q > О. Возьмем произвольные k

вершин первой доли Ь1 . l h, . . . , Ь; и смежные с ними вершины 91 , 92, . . . , g1 второй

доли и рассмотрим порожденный этими k + l вершинами подграф исходного

графа. В полученном графе степень любой вершины из первой доли равна q, а из второй - не больше q. Число ребер двудольного графа равно сумме степеней

вершинлюбой из его долей. Поэтому

k l

откуда l ;;;::Таkким. образом, выполнены условия теоремы Холла о существовании в двудольном графе совершенного паросочетания. ..,.

Следствие. Любой непустойрегулярный двудольный графраспадается на совершенные

паросочетания.

..,. Пользуясь теоремой, будем последовательно одно за другим выделять в графе непересекающиеся паросочетания. ..,.

§ 5. Дважды стохастические матрицы

Числовая матрица называется дважды стохастической, если ее элементы неотри­

цательны, и в каждой строке и каждом столбце сумма элементов равна единице. Суммавсех элементов такой матрицы равна, с одной стороны, числу ее строк,

а, с другой стороны, числу столбцов. Значит, дважды стохастическая матрица яв­

ляется квадратной.

Подстановочная матрица состоит только из нулей и единиц, причем в каждой строке и каждом столбце содержится ровно одна единица. Ясно, что подстано­

вочная матрица является дважды стохастической.

Подстановочным множеством матрицы называется множество ее элементов,

содержащее по одному элементу из каждой строки и каждого столбца.

Теорема 7. Всякая дважды стохастическаяматрица А (aij) имеет подстановочное

множество, состоящее из ненулевых элементов.

158 -------------------Гпава LXXIПаросочетани. •

.... Пустьматрица А. имеет размер n.' Минимальное число ЛИНИЙ, содержащих все иенулевые элементы матрицы равно n , nоскольку сумма элементов всей

матрицы равна n , а каждойлинии - 1. Рассмотримматрицу В, которая nолучается из матрицы А заменой иенулевых элементов на единицы. Минимальное число nокрывающих линий матрицы В - такое же, как и для матрицы А , то есть n . По венгерской теореме в матрице В есть n независимых81- единиц. Эти единицы задают подстановочное множество матрицы А .

Очевидно, что nодстановочное множество существует и для неиулевой матри­ цы из неотрицательньiх элементов с одинаковыми суммами по строкам и столбцам.

Теорема 8 (Г. Биркгоф, 1 946 r.). Всякая дважды стохастическая матрица представима в виде выnу/СJ/ой комбинации подстановочных матриц.

<1111Пусть Р1 - nодстановочная матрица, nорожденная подстановочным множе­ ством М1 из иенулевых элементов дважды стохастической матрицы А , а число с1 - наименьший элемент в М1 • Тогда матрица А - с1Р1 состоит из неотрица­ тельных элементов и имеет одинаковые суммы по строкам и столбцам, и в ней иенулевых элементов меньше, чем у исходной матрицы. Повторяя данное nреоб­ разование, через конечное число шагов nриходим к равенству

где Ci > О и Е{ - nодстановочная матрица для каждого i. Пусть матрица А имеет

размер n х n. Так как суммас1 всех элементов= каждой из матриц А, Р, , Р2, . . . , Pk

равна n , из (*) следует: + с2 + . 81. .- + Ck 1 . Таким образом, найденная линейная

комбинация является выпуклой.

Замечание 1 . Доказательствотеоремыносит конструктивный характер. Оnисанный nро­ цесс получения разложения (*) называют алгоритмом Биркгофа. Поскольку каждый шаг этого алгоритма дает требуемое значение по меньшей мере одному элементу матрицы А, а последний шаг - сразу n элементам матрицы, получаем неравенство k n2 - n+ 1 , где k - число подстановочных матриц, через которые линейно выража­

ется дважды стохастическая матрица А . Известна и более точная оценка: k n2-2n+2 .

Замечание 2. Представим каждую дважды стохастиЧескую матрицу размера n х n точ­ кой в n2 -мерном пространстве. Геометрический смысл теоремы Биркгофа следующий: многогранник дважды стохастических матриц имеет своими вершинами подстановоч­ ные матрицы.

§ 6. Латинские прямоугольники

Матрица размера т х n называется латинским., прямоугольником, если элементы каждой строки этой матрицы образуют перестановку чисел от 1 до n, и в каждом столбце все числа разные.

Очевидно, что в силу определения число строк латинского nрямоугольника

т не превосходит числа его столбцов n . В случае т = n, как легко догадаться,

· латинский прямоугольник называют латинским квадратом.

nредставляют собой латинский nрямоугольник размером 3 х 5 илатинский квадрат

5 х 5. В этом nримере квадрат nолучается из nрямоугольника nриnисываиием двух

j встречается в т строках исходного латинского nрямоугольника т раз, значит, оно nоявЛяется в т столбцах и отсутствует в n - т столбцах. Отсюда следует, что

Как нам уже известно, такой граф расnадается на совершен р> е nаросочетания. Каждое совершенное nарасочетание задает одну из новых строк латиf{ского квад­ рата. 111-

В рассмотренном выше nримере nереходу от nрямоугольника к квадра­ ту соответствует выделение в двудольном графе с;овершенных nаросочетаний: {12, 23, 3 1, 45, 54} и {15, 24, 32, 41, 53}.

В заключение, отметим, что латинский прямоугольник т х n (при т n) суmествует. Действительно, сначала "Заnолним nроизвольно nервую строку, затем дополним nрямоугольник 1 х n до квадрата, и, наконец, вычеркнем любые n - т строк.

§ 7. Реберная раскраска графов

Реберно-хроматическое число графа - это наименьшее число цветов, которыми можно раскрасить его ребра так, чтобы смежные ребра были разного цвета. Ука­ занную раскраску будем называть праqильной. Обозначаютреберно-хроматическое число графа G через Xe(G) (оставляя обозначение x(G) дляхроматического числа

. графа наименьшего числа цветов для раскраски вершин графа, nри которой

·

смежные вершины имеют разный цвет).

Посколькуребраодного цвета при правильной раскраске попарно не смежны, они составляют паросочетание. Таким образом, Xe(G) - это наименьшее число. паросочетаний, на которые распадается множество ребер графа G.

Обозначим через D.(G) наибольшую степень вершины графа G. Все ребра,

инцидентные фиксированной вершине графа, при правильной раскраске должны

Теорема 9 (В. Г. Визинr, 1 964 r.). Если в графе G нет петель, то

D.(G) :::;;Xe(G) :::;;D.(G) + 1.

Вычислим реберно-хроматические{ числа некоторых стандартных графов.

Легко видеть, что для циклического графа Cn при n 2 имеем:

Xe(Cn) =

· 2, если n четно;

3, если n нечетно.

В случае колеса Wn с n {4 вершинами Xe(Wn) = n - 1 . Более сложно

проверлютея соотношения для полного графа Кn с n 2 вершинами: n - 1, если n четно;

Xe(Kn) = n, если n нечетно.

Если Xe(Kn) = D.(G) = n - 1 , то каждая вершина графа инцидентна ребру

(и притом одному) каждого цвета. Отсюда следует, что количество ребер одного цвета вдвое меньше общего числа вершин n, которое, стало быть, четно. Значит, при нечетном n Xe(Kn) > n- 1 и, в силутеоремы Визинга, Хг(Кn) = n. Приведем,

тем не менее,

n

Изобразим Kn правильным n-угольником с диагоналями. Выберем длЯ каждой его стороны свой цвет. Любая диагональ будет параллельна какой-то стороне,

вцвет этой стороны и выкрасим диагональ. Поскольку смежные отрезки (стороны

идиагонали) не параллельны, полученная раскраска будет правильной.

Вслучае четного n правильную раскраску в n - 1 цветов можНо получить

следующим образом. Сначала раскрасим правильным образом подграф Kn-l· Вер­ шину, не вошедшую в данный подграф, обозначим v. Для каждой вершины и подграфабудем иметь n -2 инцидентных ребер, покрашенных во все цвета, кроме цветапротивоположной (в n- 1-угольнике) стороны. Используем этотцветдля по'­ краски ребра uv . В результате любые два смежных ребраграфа будут разного цвета.

Обратимся теперь к регулярному двудольному графу K.n.

Без потери общности преДположим, что т :::;;n.Составим латинсl(ий пря­ моугольник А = (ai;) размера т х n и будем считать, что aij обозначает цвет ребра, соединяющего i-ю вершины первой доли с j-й вершиной второй до­

ли. При этом получится правильная раскраска Кт n в n цветов. Поскольку

Хе(Кт,n) D.(Kт,n) = n, делаем вывод: Xe(Km,n) = n.'

В общем случае, Xe(Km,n) = mах{т, n}. Этот результат можно существенно

у<:илить.

§ 8. Теорема Sёржа _...1 61:.-'-------------

Теорема 10. Пусть G двудольный граф. Тогда Xe(G) :=; (G).

• Положим k = (G). Поскольку Xe(G) k, достаточно указать способ пра­ вильной раскраски графа G в k цветов.

Покаже.м , как расширить граф G до реzулярного двудольного графа, в котором степени всех вершин равны k.

Рассмотрим дизъюнктное объедиf{ение k эк:1емпляров графа G, считая при этом, что первые доли указанных графов объедИняются в первую долю нового графа, а вторые доли - во вторую. Возьмем произвольную вершину и первой доли

исходного графа, стеnень которой меньше k. Введем во вторую долю строящеrося графа k - p(u) новых вершин, соединив каждую из них со всеми k «клонами» вершиныэтуи. Теперь степень клонов и станет равной k. Новые вершины также имеют стеnень. Затем аналогично поступим с вершинами второй доли, степень которых .меньше k. В результате nолучится реzулярный двудольный граф G', имеющий nодГрафом исходный граф G.

Результаты § 4 nоказывают, что граф а расnадается н а k совершенных паросочетаний. Покрасив ребра каждого парасочетания.,.. в свой цвет, получим правильную раскраску графа G1, а заодно и графа G.

Заключительные параграфы данной главы посвящены алгоритмам решения различных задач, связанных с паросочетаниямИ.

§ 8. Теорема &ёржа

Пусть М - ш{росочетание в графе G (не обязательно двудольном). Ребра, входя­

щие в М, назовем черными, а остальные ребра графа - белыми. Простая цеnь - чередующаяся (относительно М), если любые два соседи ребра в этой цеnи раз­ ного цвета. Вершину, покрываемую некоторым ребром из М, назовем насыщенной

(относительно М); в противном случае вершина - неиасыщенная (или свободная) (относительно М). ·

Если в графе имеется чередующаяся цепь, соединяющая две неиасыщенные вершины, то легко получить новое паросочетание, в котором на одно ребро

больше, чем в М: достаточно поменять цвета ребер указанной цепи. Поэтому такую цепь называютчто увеличивающей относительно М; или М -увеличивающей.

Очевидно теперь, относительно наибольшего парасочетания увеличивающей цепи не существует. Оказывается, верно и обратное.

Теорема 1 1 (К. J;ipж, 1957 r.). Паросочетание М в графе G является наибольшtЩтогда

итолько тогда, когда в G не существует увеличивающей относительно М цепи.

•НеобходШ1ость уже доказана. Убедимся в достаточности.

Пусть паросочетание М не допускает увеличивающей относительно себя

цепи, а М' - некоторое наибольшее паросочетание. Рассмотрим подграф графа G, образованный ребрами и з симметрической разности М !:::М.1 • В нем степень каждой вершины не превосходит 2, в силу чего этот подграф распадается на циклы

162 ---Гnаеа LXXI. ПаросочетаНИII

и простые цепи. Поскольку в цикле ребра из М и М' чередуются, цикл имеет четную длину. Чередование происходит и в каждой цепи. Цепь не является увеличивающей ни относительно М (по условию теоремь1) , ни относительно М' (наибольшего паросочетания) .. Отсюда ытекает, что.длина цепи является четным числом. Стало быть, в симметрической разностои М !:::М.' поровну ребер из М и М' , а множества М и М'lil>равномощны, есть М, как и М' , является наибольшим паросочетанием.

§ 9. Нахождение наибольшего парасочетания

Теорема Бёржа обосновывает корректность следующего способа нахождения наи­ большего парасочетания в графе.

II.Искать М-увеличивающую цепь.

lll. Если такая цепь Р наЙдена, то заменить М на М !:::,Р и.перейти к шагу П.

Вцротивном случае закончить работу (текущее парасочетание М является наибольшим).

Вслучае двудольного грдляафа поиск М-увеличивающих цепей происходит до­ вольно просто. Исnользуем этого механизм nометок.1. Построить Произвольное парасочетание М.

Алгоритм А

1 . Построить какое-нибудь парасочетание М.

2. Свободные относительно М вершины из доли V1 помеТить нулем, остальные

3.Для каждой помеченной на предыдущем шаге вершины щ Е Vi пометитьщ ее номером i все непомеченные вершины из V2, которые соединяются свершины считаются непомеченными.

белыми ребрами. то Если при этом окажется помеченной свободная вершина, М -увеличиваю­

щая цепь Р наЙдена; она восстанавливается по меткам, начиная с указанной вершины: метка вершины есть номер очередной вершины Р. УвелЩ иваю­ щую цепь перекрасить (т. е. заменить М на М д Р ) и перейти к шагу 2.

Если ж е новых пометок н а этом шаге не возникает, перейти к шагу 5.

4.Для каждой помеченной на предыдущем шаге ,вершины щ Е V2 пометить ее

номером j непомеченную вершину из V1 , которая соединяется с щ черным ребром. Если новых пометок на этом шаге не возникает, перейти к шагу S, ' иначе вернуться к щагу 3.

5. Текущее парасочетание М является наибольшим . Конец работы.

Проиллюстрируем работу изложенного алгоритма на следующем примере. Для графа на рис. 3 текущее парасочетание М состоит из ребер, изобра­

женных двойными линиями. НапомнИм, что ребра из М мы называем черными, а остальные ребра графа - белыми. Свободные вершины изображены двойными кружками.

В доле Vt только одна свободная вершина - с номером 2; она помечается

нулем (пометки - это числа в прямоугольниках) . Белые ребра (изображены тон­ кими линиями) соединяют эту вершину с вершинами 8 и 12, которые получают

пометку 2 .

О9. Иахоwдение намбоnьwеrо паросочетанмя -- 163

шш ш ш ш

Рис. 3

Черное ребро 8-3 дает пометку 8 вершине 3; черное ребро12-5 дает пометку 12 вершине 5.

Из вершины 3 к пеломеченным вершинам ведут два белых ребра,. и их другие концы - вершины 9 и 11 - получают пометку 3. Аналогично, у вершины10 воз­ никает пометка 5.

Далее помечаются вершины из первой доли: 4, l и 6.

Наконец, удается пометить свободную вершину 7 из второй доли - номером1. Идя по пометкам, начиная с этой вершины, находим М-увеличивающую цеnь:

7-1-10-5-12-2. Перекрасим ее ребра и nолучим новое (более мощное, чем ранее) парасочетание (рис. 4) .

Рис. 4 ·

Построенное парасочетание является совершенным (оно покрывает все вер-

шины графа), значит, и наибольшим.

Замечание 1. Алгоритм А. является, по суги, «Проекцией• алгоритма Форда-Фалкер­ сона нахождения максимального nотока в сети (см. § 16 rл. LXX).

Подробно nоясним этот тезис. Превратим двудольный граф G(V1 , V2) в транс-

портную сеть следующим образом:

•ориентируем каждое ребро щщ в направлении от Vj к V2;

•к множеству вершин графа добавим источник а и сток Ь;

•проведем дуги из источника а ко всем вершинам из Vj ;

•из каждой вершины доли V2 проведем дуrу к стоку Ь;

•nоложим nропускцые способности всех дуr равными единице.

Сушествует взаимно однозначное соответствие между допустимыми целочис­ ленными потоками в этой сети и парасочетаниями исходного двудольного графа: по каждой дуrе сети, соответствующей ребру G(V1 , V2) , входящему (н входящему) в nаросочетание, идет· единичный (соответственно нулевой) поток. При этом

Противоречие nолучено.

3.Заметим, что (благодаря утверждению 1)

l)количество черных ребер с помеченными концами равно !BI - количе­ ству помеченных вершин из доли V2 (каждая из них инцидентна одному черному ребру);

2)количество черных ребер с непомеченными концами равно IAI - коли­ честву непомеченных вершин из доли Vj (любая такая вершина насы­ щенная, и из нее также исходит ровно одно черное ребро).

Таким образом,

IMI = IBI + 111 = /A U BI,

то есть вершинное покрытие А U В равномощно наибольшему паросочета­

нию. В силу венгерской теоремы это означает минимальность вершинного покрытия. .,.

Как отмечалось в § 3, доnолнение :к наименьшему вершинному nокрытию графа является его наибольшим независимым множеством вершин. Значит, мно­ жество AuВ нанбольшее независимое. Стало быть, алгоритм А. (имеющий, как мы выяснили, полиномиальную трудоемкость) позволяет наряду с наибольшим парасочетанием в двудольном графе найти также . наименьшее вершинное nо­ крытие и наибольшее независимое множество. Известно, что задачи определения наименьшего вершинного покрытия и наибольшего независимого множества для

произвольнога графаявляются NР-полными,

другими словами, Для них нет эффектив- Ш GJ Ш ных алгоритмов решения {по крайней мере,

они nока не известны науке). Очень важно, что для двудольных графов, возникающих во многих практических задачах, nолиноми­ альные алгоритмы решения указанных задач существуют!

· множество.