math-st854_7 / Вся высшая математика. Том 7_Краснов, Киселев и др_Учебник_2006 -208с

f6 ---Гn• LXVI Эпемеитытеорим Чисеll

не имеет ( целых) решений. Если же с кратно d, т. е. с= c1d для некотороrо цело­

ю с1, то, nоложив а= a1d, Ь = b1d и сократив на d, уравнение ( l) сведем к виду

а,х + Ь1у с,, в котором коэффициенты при неизвестных являются взаимно простыми числами.

Теорема 7. Уравнение ( 1 ) с взаимно простыми коэффициентами при неизвестныхраз­ решимо в целых числах.

.-. Рассмотрим сначала уравнение

fn-1 .rnqn.

Последний неиулевой остаток, как известно, равен наибольшему ()бщему делите­ лю а и Ь, rn= 1 . Заметим, что каждый остаток ri может быть ·представлен

целочисленной линейной комбищщией а и Ь: ri = aia + fЗiЬ. ДействиТельно, r1 а- Ьqо =а,а + fJ1Ь;

r2 Ь - r1q1 = Ь- (а1а + f3,Ь)q, ; сх2а + fJzb;

1= rn ana + fЗnЬ.

Последнее равенство показывает, что пара целых чисел (an, fЗn) является реше­ нием ( 2). Очевидно, что пара целых чисел (са11, cfJп) -суть решение ( 1). Теорема доказана. 111>

Пример 1. Найти какив-нибудь целые :z и у, для которых

lОООж+73у =1.

..-. Применив алгоритм Евклида к паре чисел 1000 и 73, nолучим цеnочку равенств

1000 =73. 13+51; 73 =51· l + 22; 51= 22.2 + 7; 22 7. 3+ l,

из которых получаем

Ответом в данной зад 'iе может служить пара (-10, 137). •

f9. Мупьтиммкатмвные фуНIЩМИ -- 17

Итак, мы теперь умеем находить частноерешение уравнения (1) (в том случае, когда Это диофантово уравнение разрешимо). О том, каким является общее реше­ ние (1) -множество всех (частных) решений, говорит

Теорема 8. Пусть а и Ь - взаимно простые натуральные числа, (х0, Уо) - некоторое

решение дuофантова уравнения ( 1). Тогда множество всехрешений ( 1) описывается

§ 9. Мультипликативные функции

Функция натурального аргумента O(n) называется мультиплu"ативной, если для

любых взаимно простых чисел т и n выnолняется равенство

jo(m · n)= О(т) · O(n).j

Пусть n1,n2, • • • , n,., - поnарно взаимно nростые числа. Индукцией легко

доказать, что для любой мультиnликативной функции сnраведливо соотношение

20 ---rnaвa I.XVI. ЭлементЫ теоJ;!Щ чисеп

§ 1 0. Система РША

В этом параграфе будет показано, какое применение нашли некоторые классиче­ ские ре улыаты теориичисел к решению проблемы создания надеЖНЪiх шифров - проблемы чрезвычайно актуальной в эпоху массового распространения телеком­ муникаций. key

Системой тайнописи с открытым ключом (pиhlic cryptosystem) называют так:ую систему шифрования и дешифрования информации, которая удовлетворяет следуЮщим двум условиям:

•получатель информации nубликует алгоритм шифрования для всеобщего све­ дения;

•алгоритм дешифрования известен только получателю информации (держится им в секрете) и практически (с помощью вычислительной техники) не может быть раскрыт.

Шифрующий и дешифрующий алгоритмы называют соответственно открытым

и закрытым ключом.

Идея подобной системы тайнописи была высказана в 1975 г., эффективная реализация идеи бъmа предложена в 1977, r. тремя американскими математиками: Р. Р,айвестом, А. Шамиром и Л. Адлеманом; первые буквы их имен6) составили имя придуманной ими системы. Описание РША-системы nредварим некоторыми соображениями, связанными с общей идеей тайноnиси с открытым ключом.

Всякое сообщение, передаваемое с помощью компьютера по электронным сетям, может быть представлено в виде элемента некотор.оrо числового множе­ ства S. Пусть х Е S; результат шифровки х (шифрограмму) обозначим у = l(x),

,rде 1 - функция, задаваемая алгоритмом шифровки. Удобно считать, что у тоже nрин,адлежит S; при этом функция 1 должна осуществлять взаимно однозначное

отображение S на себя (разным сообщениям должны соответствовать разные

шифрограммы, и наоборот), такИм образом, функция 1 должна осуществлять не­

которую перестановк:у элементов S (т. е. 1 подстановка, действующая на мно­

S). -

жестве Дешифрующий алгоритм состоит в применении обратной подстановки

1-1 к шифрограмме у Е S: х = l-1(y). Если множество содержит n элементов, то

нуюа нем определено n! различных подстановок. Теоретически можно найти обрат­ подстановк:у 1-1, вычислив f(x) для всех х Е S. Если, к примеру, S сqстоит из всех последовательностей 200 десятичных цифр, то n = 10200 , и реализовать

предложенный алгоритм за обозримое время невозможно; знание открытого клю­ ча не дает, таким образом, практическ:ий возможНости найти закрытый ключ.

Покажем, .как решается в nчторедложенной системе тайнописи проблема элек­ тронной подписи. Предположим, имеется группа бизнесменов, которым требу­ ется сообщать друг друту сведения, составляющие коммерческую тайну. Каждый бизt{есмен nридумывает свой алгоритмникиш фрования (прямой алгоритм); при этом он знает и обратный алгоритм. Участ группы издают специальный справоч­ ник, в котором приводят полностью все nрямые алгоритмы (обратные алгоритмы держатся в секрете). К справочнику имеет доступ любой желающий. Пользуясь справочником, можно послать сообшение любому члену группы, например, Z,

6) В оригинале - RSA (Rivest, Shamir, Adleman).

§ 10. 'Смстема РША __ 21

зашифровав сообщение с nомощью {nрямого) алгоритма fz . Понять Это сооб­

щение сможет только Z, nоскольку только он знает обратный алгоритм fi1 • Теперь допустим, что бизнесмен А хочет подписать свое сообщение, т. е. добиться

того, чтобы у Z не было сомнений в том, кто действительный автор сообщения.

Тогда бизнесмен А шифрует свое сообщение х дважды: сначала с помощью сво­ его обратного алгоритма !А.1 , а затем полученная шифрограмма шифруется еще

алгоритм бизнесмена А.

Описание системы PWA

Множествои S составляют натуральные числа, меньшие некоторого натурального числа т взаимно простые с ним; таким образом, S - приведеиная система вычетов по модулю т. Функция f(x) вычисляет остаток от деления xk на т ; nри этом nоказателъ стеnени k должен быть взаимно nростым с 1р(т) (1 р(т)

функщJя Эйлера). Числа k и 'т составляют открытый ключ. В качестве закрытого

:ключа используется такое число k',что k · k' ::::l(mod 1р(т)) . Пусть у = xk(mod т)

так :как по теореме Эйлера x'l'(m) = l (mod т) при взаимно простых х и т.

Зная разложение т на множители, легко вычислить 1р(т). Покажем, как по 1р(т) найrи k'. Рассмотрим диофантово уравнение

kx + 1р(т)у = l .

Коэффициенты nри неизвестных х и у п о условию взаимно просты, поэтому уравнение разрешимо, а его общее решение Имеет вид

х хо+ 1р(т)t, у = Уо - kt,

где t - произвольмое целое число, а (х0, у0) - .некоторое частное решение

уравнения. Ясно, что при некотором t число х будет полоЖительно и может быть выбрано в качестве k', так :как kx = l(mod 1р(т)) .

Как правило, в качестве т берут произведение двух (многозначных) nростых чисел: т = pq, тогда (т) (р - l ) (q - г1.).

В оригинальной публикации {1977 ) о методе РША р и q бьти соответ­ ственно 64- и 65-значньiми числами. Авторы опубликовали :1ашифрованный текст из 129 цифр и открытыйкто ключ (128-значное число т и k = 90Q7), nредложив

100 долларов тому, первый расшифрует текст. Существовавшие в то время алгоритмы разложения числа на простые множители (а также быстродействие вычислительной техники) не позволяли найти разложение 129-значноrо числа т за разумное время.

Лишь спустя 17 лет с помощью метода квадратичного решета указанное 129-значное число было раЗJtожено на множители, что потребовало девятимесяч­ ной работы примерно 1600 :компьютеров, объединенных сетью Интернет.

-- 23

14.Доказать, что для любого натурального n число n73 :..n_37· делится на 10.

15.Доказать, что если n не делится на 17, то либо n8 - 1, либо n8 + 1 делится на 17.

16.Решить в целых числах уравнения:

1) 16х + 4у = 1830; 2) 13х + 7у = 1 ; 3) 2 1х + 19у = 5 ; 4) 1994х - 171у = 1 .

17.Даша гадает на ромашке: «Любит - не любит - плюнет - поцелует - к сердцу прижмет - к черту nошлет,.. Глаша при гадании к этим шести вариантам добавляет еще один: «своей назовет». На ромашках с n и 2n леnестками у Даши хорошее пред­ сказание, а у Глаши плохое. Чему равно n, если считать, что на ромашке не может быть более 100 лепестков?

18.На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник. Количество его клеток, nримыка­

ющих к границе прямоугольника, равно количеству остальных его клеток. Найти размеры прямоугольника.

ГлаваLХИ/__________________________ _

НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ

ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ

С простейшими алгебраическими операциями арифметическими действиями над числами мы встречаемся еще в начальной школе, но об алгебре говорим только тогда, когда приступаем к решению задач, содержащихбуквенные nеремен­ вые - известные и неизвестные. Тождественные иреобразования буквенных выра­ жений, решение алгебраических уравнений, где nод бУквами понимаются действи:.. тельные или комnлексные числа, составляют содержание элементарной алгебры.

Одна из основных проблем здесь решение уравнения n-ой степени в радикалах

т. е. задача отыскания формул, выражающих корни уравнения через его коэффи­

2а2

Похожие формулы есть и для 'уравнений третьей (формула Кардано) и четвер­ той (формула Феррари) степени. Однако для уравнений, степень которых выше четвертой, подобные формулы, вообще говоря, получить· нельзя. Этот результат,

опубликованный Нильсом Хенриком Абелем в 1824 году, не nриостановил попыток исследования уравнений высших степеней. К этому времени уже было известно, что всякое уравнение n-ой степени с комnлексными коэффициентами имеет ровно n комnлексных корней, и усилия математиков были направлены на описание клас­ сов уравнений, для которых решение все-таки может бьrrь получено в радикалах, и на установление условий, обеспечивающих подобную разрешимость. Эта задача была блестяще решена молодым французским математиком Эваристом Галуа, чьи результаты стали известны широкой математической общественностивв 1830 году (полное изложение результатов Галуа было дано Жозефом Лиувиллем 1846 году).

Работа Галуа стала основой новой алгебраической идеологии - он перенес центр тяжести исследования (й данном случае задачи решения уравнений) с соб­

ственно задачи на методы ее решения. Введенные им при этом понятия группы,

1

§ 1 . Отноwения ------------25

поля, композиционногоряда и др. надолго оnределили nyrи развития алгебры. В част­ ности, поиятие груnnы оказалось столь nлодотворным в разныхобластях математи­

ки (в геометрии - груnnы nреобразований, в теории чи ел - груnnы вычетов, в линей· ной алгебре - груnnы матриц, в тоnологии - гомологические груnnы) и естествозна­

ниЯ (груnnы симметрий в кристаллографии и квантовой механике), что стало одним

из центральных объектов nриложения сил математиков различных наnравлений. Дальнейший прогресс в алгебре связан с расnространением понятия алгебраи­ ческой операции с чисел на объекты печиеловой nрироды - элементы абстрактных груnп, матрицы, кватернионы, подстановки и т. n. Все это nривело к nостеnенному nереносу интересов алгебраистов с исследования конкретных объектов (уравне­ ний, систем уравнений и т. д.) на абстрактные - груnnы, кольца, nоля, модули ­

и на изучение произвольных алгебраических операций.

Именно абстрактные алгебраические оnерации и абстрактные алгебраиче­ ские системы являются nредметом изучения современной алгебры, которая окон­ чательно сформировалась в Юnервой. половине ХХ столетия под влиянием работ Д. Гил ьберта, Э. Артина, О. Шмидта, Б. Л. Ван-дер Вардена, А. И. Мальцева, Дж. Биркгофа и др.

§ 1 . Отношения

Понятие отношения в математике служит для теоретико-множествеиного оnисания связей между элементами множеств.

Пусть А - некоторое множество с элементами {а, Ь, . ..}. Рассмотрим декар­ тов квадрат этого множества А х А = {(а, Ь) 1 а Е А , Ь Е А} - множество уnС!ря­ доченньiх пар элементов множества А.

Пусть n - некоторое подмножество множества А х А. Мы будем говорить,

что элемент а Е А находится в оlf'lношении n с элементом Ь Е А и записывать это как апь или n(a, Ь) в ТОМ случае, когда (а, Ь) Е n.

Множество n С А х А при этом называется двуместным (или бинарным) от­ ношением на множестве А.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих понятие бинарного от­ ношения.

Отношение «не больше». Пусть А = IR. - множество действительных чисел.

В этом случае декартов квадрат А х А = IR. х IR. можно отождествить с nлоско­ стью IR.2 • Положим n = {(а, Ь) Е IR.2 1 а Ь} . В этом случае множество n задает

на множестве действительных чисел отношение nорядка - число а находится в отношении «Не больше•> с элементом Ь тогда и только тогда, когда а Ь.

Отношение сравнимости по модулю т изучалось в § 5.

Отношение «функция». Пусть А = IR. - множество действительных чисел,

а f : IR. ---+IR'. - некоторая функция. Положим n = {(а, Ь) Е IR.2 1 Ь = f(a) } . Это

отношение задает функциональную связь между числами а и Ь: если аRЬ, то это означает, что Ь = f(a) . Важнейшими бинарными отношениями являются

отношения эквивалентности, порядка, и функциональные отношения l). Первые

l) Примерам отношения; эквивалентности может служить отношение сравнимости по модулю примерам отношеf!ИЯ порядка - отношение •не больше•.