math-st854_7 / Вся высшая математика. Том 7_Краснов, Киселев и др_Учебник_2006 -208с

148 ---Гпвва LXXВведение. а теорм10 rрафОв

а)

Рис. 40

82.Пусть имеется т неженатых мужчин, n незамужних женщин и k свах. У каждой

свахи есть список своих клиентов; между любыми мужчиной и женщиной из этого

списка сваха может устроить брак. Для i-й свахи число устроенных ею за год браков не превосходит числа Ь1 • Перевести задачу нахождения наибольшего числа браков,

которые моrут устроить свахи за rод, в задачу нахождения максимального потока

в некоторой сети.

Ответы

2. Изоморфны пары rрафов на рисунках б) и в).

3. Существуетn ll простыхn rрафов с 4 вершинами и 34 - с 5 вершинами. 4. l) l; 2) 2.

9. i=lL; р; вершин и ! i=lL;(Pt - р;) ребер.

Решение. Вершина реберного rрафа L(G) , отвечающая ребру tl;tiJ в G, имеет степень

(р; + Pi - 2). В сумме А L;(p, + Pi - 2), rде суммирор; вание ведется no всем ребрам G ,

степень каждой вершины р; встречается ровно раз. Поэтому удвоеННое число ребер

L(G) равно А = L; Pl - 2m, rде 2m = L; р; - удвоенное число ребер исходного rрафа G .

Друrое решение. Ребра, инцидеитные i-й вершине в rрафе G, образуют с;,napсмежных ребер, каждой паре соответствует ребро в реберном rрафе. Суммируя Ср, по всем i, вновь

найдем общее число ребер L(G) .

14. Число ребер двудольного rрафа равно сумме степеней вершин любой его доли. 15. Нет.

1 ) Неребро - это отсутствующее в rрафе ребро меJIЩу верnmнами u и v ,

Оtнты -- 149

вершину, смежную с концом самой длинной цепи. 53. r = ·[!!tJ-) . 55. Нет. 82. пn-1 • 63. k + 1 .

ется неравенство т Зn - 6. 72. ИндуiЩия. по числу вершин. 74. n/2"- 1 • 76. В исходном

графе существует эйлеров цикл. 77. Перенеся доказательство теоремы Эйлера на случай rрафа из условия. задачи, можно nоетроить замкнутый nуть, содержащий все .цуrи орrрафа.

Глава LХХ/____________________________ __

ПАРОСОЧЕТАНИЯ

Сначала приведем ФОРl\:\УЛИровки двух задач, первая из которых имеет практический характер, а вторая скорее шуточный.

1 . Пусть имеется несколько работников и несколько видов работ. Известно, какие работы каждый р ботник может выnолнять. При каких условиях можно так распределить работы между работниками, чтобы каждый выполнял какую-либо работу (nри этом на каждую работу назначается не более одного работника)?

2. Имеется множество юношей, каждый из которых знаком с некоторыми девуш­ ками. При каких условиях можно одновременно женить всех юношей так, чтобы каждый из них женился на знакомой ему девушке?

С точки зрения математики эти задачи не отличаются друг отдруга, поскольку

их математическая модель одна и та же: выделение совершенного перосочетания

в двудольном графе. Что такоедвудольный графто, читательуже знаетиз предыдущей главы; что же до аоrJершен.ного паросочетания, это множество попарно не смеж­

нъiХ ребер, покрывающих все вершины фиксированной доли двудольного графа. В двудольном графе две доли.такуюРебра соединяют вершины из одной доли с вер­ шинами из другой. В задачеэтих 1 долю составляют работники, а в задаче 2 - юноши. Вторая доля в задачахuv состоит из работ и девушек, соответственноu. Наконец, nроизвольное ребро графазадачи 1 описывает ситуацию «работник может выполнять работу V», а графа задачи 2 - «юноша u знаком с девушкой v».

В ис,торию математики задача о существовании совершенного парасочетания

в двудольном·графе вошла под именем «задачи о свадьбах» (формулировка задачи 2

оказалась хорошо запоминающейся), а ответ к задаче дан Филипом Холлом в 1935 г.

В 20-50-х годах ХХ века независимо друг от друга были'доказа. ны несколь­

ко теорем дискретной математики, носящих минимаксный характер: Форда­

Фалкерсона, Кёниrа-Эrервариэтих, Дилворта (в другом написаниичто - Дилуорса),

а также Менrера. В каждой из теорем угверждалось, максимум одной ве­

личины совnадает с минимумом другой величины. Как выяснилось впоследствии, указанные теоремы, а также теорема Холлаэквивалентны другдругу: каждая из них может быть выведена из любой другой. Бьто также установлено, что эти теоремы являются проявлением принцила двойственности в линейном программировании.

В комбинаторном анализе и теории сложности вычислений (как и вообще

в математике) идея сведения одной задачи к дРугой является важнейшей. Поэтому

/

интересно показать, как внешне различные утверждения переходЯт друг в друга в результате nостроения некоторых дополнительных конструкций. Понимание

можно указать четыре независимые единицы (они заключены в прямоугольники),

и не больше, а ·минимальное по мощности множество покрьшаюших линий

составляют первые три столбца и nоследняя строка.

Теорема 2 (Д. Кёниг-Э. Эгервари, 1 931 г.). Наибольшее число независи.мых единиц двоич­ ной матрицы равно наименьшему числу покрывающих линий.

, Дадим сразу перевод условия теоремы на язык теории графов. Пусть в двоич­

ной матрице А = (aij) строк и n столбцов. Такая матрица задает двудольный

G(Vi , t'2), Vi =тu1, . , t'2 = {vJ, . ЩVj

граф где { . . Um} , . . , Vn} и в графе есть ребро тогда и только тогда, когда OiJ = 1. Матрицу А можно рассматривать как матрицу

линии - вершинному покрытию графа - множеству таких его вершин, что всякое ребро графа инцидентно хотя бы одной из них.

На рис. 1 представлен граф, соответствующий матрице из nримера, nриведеи­ ного выше. Ребраt7, u1v1, u2v2, u4vз, и5щ составляют максимальное паросочетание, а вершины Vt , vз, u5 образуют минимальное вершинное покрытие.

Рис. l

Итак, венгерская теорема rоворит о том, что в двудольном графе наибольшая

мощность парасочетания равна наименьшей мощности вершинJtого покрытия.

-4 Доказательство венгерской 8теоремы. Обозначим через r наибольшее число независимых единиц, а через наименьшее число покрывающих линий. Пусть все единицы8 матрицычто находятся в некоторых х строках и у столбцах, причем х + у = . Заметим, если какие-то две единицы лежат (или не лежатили) на одной линии, то это свойство сохранится и при любой перестановке строк столбцов. (В графовой моделИ задачи перестановки линий сводятся к перенумерованию вершин в долях графа). Поэтому при указанных преобразованиях мощности ин­ тересующих нас множеств FF менАются. Значит, можно считать, что все единицы

154 ---Гпава LXXI. Паросочетани•

расположены в первых х строках и последних у столбцах, а матрица имеет сле­ дующий блочный вид:

Рассмотрим двудольный граф G'(V{, V;), который задается подматрицей А . В до­ лях этого графа соответственно х и n - y вершин. Если все диницы из каких-либо k строк матр'ицы А покрываются меньшим числом столбцов8, то эти k строк можно заменить указанными столбцами и получить меньшее, чем = х + у, число линий,

покрывающих единицы матрицы, что8. приводит нас к противоречию с предпо­ ложением о минимальности числа Таким образом, любые k вершин из доли

V{ смежны в совокупности не менее чем с k вершинами доли V{ - выполнены условия теоремы Холла! Стало быть, в графе G'(V{, Щ) существует совершенное парасочетание из V{ в V{, то есть в подматрице А есть х независимых единиц.

Аналогичное рассуждение, применеиное. к подматрице С доказывает, что С

линиЯмиr (так как каждая8 - линия покрывает не более одной независимой единицыr 8. .),,. то есть не больше минимального'числапокрывающихлиний. Итак, =

Терминопоrмческое замечание. Наибольшее число независимых единицдвоичнойматрицы

называют ее словарным рангом.

§ 3. Теорема Дилворта

Сначала введем (или напомним) некоторые определения и обозначения. Пусть на некотором конечном множестве А введено отношение порядка - < , т. е. отно­ шение, обладающее свойствами транзитивности (состоящее в том, что если для

элементов а, Ь и с множества А выполняются условия а -< Ь и Ь - <с, то а - < с)

и антисимметричности (если \а -< Ь и Ь - <а , то а = Ь; другими словами, не суще­

ствует двух различных элементов а и Ь, для которых одновременно выполняются условия а - <Ь и Ь - <а ) . Всем известными примерами отношений порядка явля­

ются отношения <, . >, . заданные на любом подмножестве qисловой прямой,

и отношение делимости на множестве натуральных чисел. Множество вместе с введенным на нем отношением порядка называют упорядоченным.

Подмножество упорядоченного множества называют цепью, если в немлюбые два элемента сравнимы по данному отношению, и антицепью, если никакие два

различные элемента этого подмножества не сравнимы по данному отношению.

Например, в множестве {2, 3, 6, 7, 55}, упорядоченном отношением делимости,

есть цепи {2, 6}, {3, 6} и антицепи {2, 3, 7, 55}, {6, 7, 55}. Одноэлементное мно­

жество - одновременно и цепь, и антицепь. Число элементов цепи .(антицепи) будем называть ее длиной.

Очевидно, что любая цепь пересекается с любой антицепью не более чем по

не может быть меньше т.

§ 3. Теоре ма ДИJIВорта -- 1 55

Таким образом, наименьшее количество цепей, покрывающих А , не меньше наибольшей длины антицепи. Как показывает следующая теорема, на самом деле

всегда имеет место равенство упомянугых величин.

Теорема 3 (Р. Дипворт, 1 950 r.). Минимальное число непересекающихся цепей, покр'ьlва­

ющихупорядоченное множество, равно максимальной длине антицепи.

а наличие ребразаданXiYj свидетельствует о том, что i-й и j-й элементы множества А

находятся в ном отношении. Таким образом, построенный граф дает графи­ ческое представление (на то он и граф!) упорядоченного множества.

Возьмем наибольшее (по мощцости) парасочетание в этом графе. Пусть его мощность равна k. Это парасочетание «nорождает» т n - k цеnей, покрываю­ щих множество А. Покажем, как их получить. Сначала имеем n одноэлементных

не пересекаются и покрывают множествоne А. Отсюда следует, что наименьшее количество покрывающих цепей Х больше т .

Теnерь рассмотрим какое-либо минимальное вершинное nокрытие графа

Т = {Xi" Xi , • · . , Xj,, Yj, YiP . . · , YiJ·

ПокажеМ, что ицдексы всех вершин в указанном множестве различны, то есть '</ t, l .it ::/= j1 . Ведем рассуждение от nротивного. Предположим, что для каких-то

t и l имеет место равенство it = j, == h. Существует ребро вида XnYc. где Ус Т,

так как в противном случае множество Т \ {х11} также является вершинным

вершинным покрытием - nротиворечие!

Таким образом, вершины множества Т представляют в .точности r + s эле­ ментов множества А . что

Венгерская теорема, напомним, говорит о том, наибольшая мощность парасочетания равна минимальнойs. мощности вершинного покрьпия; в наших обозначениях получаем k = r + Заметим теперь, что элементы, не представлен­ ные в множестве Т, попарно несравнимы, т. е. образуют антицепь, а число таких элементов равно

n - (r + s) = n - k = т .