math-st854_7 / Вся высшая математика. Том 7_Краснов, Киселев и др_Учебник_2006 -208с

26 ------------------Гnааа Lxvtl. HO'Ian oкwe понiтия общей urебры

два типа отношений будуr определены и рассмотрены ниже, а здесь мы определим

·

только функциональные отношения.

Бинарное отношение 'R- называется функционшгьны.м, если из a'R-b и anc следует Ь = с. Т. е. каждому элементу а , стоящему на первом месте в отношении, отвечает не более одногочто элемента, который может быть поставлен на второе место. Леrко видеть, всякое функциональное отношение определяет некоторую функцию посредством задания ее rрафика.

Свойства отношений

•рефлексивным, если для любоrо элемента а Е А выполняется ana;

•антирефлексивным, если для любого элемента а Е А не выПолняется ana;

•симметричным, если для любых а, Ь Е А из а'R-Ь следует Ьnа;

•антисимметричным, если из а'R-Ь и Ьnа следует, что а = Ь;

•транзитивным, если условия аnь и ьпс влекуr anc.А называютОтношение на множестве

Свойства отношений будем иллюстрировать на следующих примерах. На мно­ жестве действительных-чисел R. рассмотрим отношения =, . < . На множестве натуральных чисел N отношения делимости ; и отношение = (mod m) (от-­ ношение сра!;lнимости по модулю m). На множестве .прямыхL .. плоскости L отн-ошения параллельности4:СЫН» 11 и перпендикулярности На множестве людей Р отношения и «земляк». В табл. 1 указано, какими свойствами'·облада­ ют эти отношения.

§ 2. Отношение эквивалентности

Отношение, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзи­ тивности, называют отношением эквивалентности. Из отношений, рассматривав­ шихся в предыдущем параrрафе, таким свойством обладают отношения равенства чисел, сравнимости по модулюна т натуральных чисел, параллелъности прямых,

а также отношенИе «земляк>> множестве людей.

Напомним понятие разбиения множества.

§ 6. Груnnы самосовмещений

многоугольников и многогранников

Сведения, излагаемые в этом параграфе, будут использованы при решении задач с помощью теории Пойа.

Пусть F - геометрическая фигура. Под самосовмещением фигуры F понима­ ют такое перемещени (движение) F (в пространстве или на плоскости), которое переводит F в F. Тривиальныме, примерамкажд самосовмещения является тождествеи­ ное преобразование при котором ая точка переходит сама в себя.

Рассмотрим множество G всех самосовмещений фигуры F. ПроизведенDt ие 91 ·92 двух самосовмещений g1 и 92 оnределим как композицию движений (92) это движение, возникающее в результате последовател;tного выnолнения 92, а затем g1 • Легко проверить, что (G, ·) - rруппа. Чем «более симметричной>> будет фигура F, тем «более богатой)) будет ее группа самосовмешений. Например, для круга и шара соответствующие группы бесконечны.

'

rруппа вращений правильноrо n-уeroольника. Под вращением правильного n-уголь-

ника будем понимать поворот в плоскости, приводЯщий к его .самосовмеще­ нию. Очевидно, что если nоворот нетривиален (т. е. не является тождественным преобразованием), то его центром является центр nравильного n-угольника. По­ скольку nри вращении всякая вершина должна перейти в. в.ершину, угол поворота

(с точностью до угла, кратного 211') равен k , k = О, l, . . . , n - l .

fРуппа симметрий правильиого n-уrольника. Под симметрией правильного n-уrоль­ ника будем nонимать его самосовмещение в пространстве. К перечисленным выше поворотам в плоскости добавляются «Опрокидывания)) многоугольника, т. е. по­

вороты на 180° вокруг осей симметрии многоугольника 8) . Их ровно n штук. Если n четно, то осями симметрии являются n/2 прямых, соединяющих пары проти­ воnоложных вершин многоугольника, и n/2 прямых, соединяющих середины его nротивоположных сторон. При нечетнам n каждая из осей симметрии nроходит через некоторую вершину n-угольника и середину противоnоложной стороны .

fРуппы вращений мноrоrрапииков. Под вращением многогранника будем понимать его самосовмещение..

l. Куб. Сначала покажем, что групnа вращений куба содержит 24 элемента.

Будем считатьижня; что куб расnоложен таким образом, что о его гранях можно говорить: н я, верхняя, передняя и т. д. Самосовмещение куба nолностью оnределяется тем,

1)какая грань из шести станет нижней и

2)какая из смежных с ней граней будет передней.

Согласно правилу nроизведения имеется всего 6 · 4 24 разных самосовмещения. Перечислим их:

S) Эти иреобразования равносильны осевым симметриям.

О6. ·fj)ymы самОСОIМ8щений мноrоуrот.ников и мноrоrранников -------------33

•повороты на 180° вокруг прямых, соединяющих середины противо­ положных ребер куба (6);

•повороты на ±120° вокруг диагоналей куба (8) 9> .

Легко проверить (рассмотрев, например, подстановки на множестве вершин, порождаемые вращениями), что все эти самосовмещения различны; так как всего их ровно 24, других самосовм щений нет.

2. Тетраэдр. Под тетраэдром будем понимать правильный тетраэдр. Будем счи­ тать, что тетраэдр расположен в пространстве таким образом, что о его rранях можно говорить: нижняя, передняя, задние левая и правая. Самосовмещение тетраэдра полностью определяется тем,

1) какая rрань из четырех становится нижней и

2)какая из оставшихся трех rраней будет передней.

Таким образом, всего данная rpyпna содержит 4 · 3 = 12 элементов:

•тождественное преобразование;

•. повороты на ±120°, вокруг высот тетраэдра (всего 8 таких поворотов);

•повороты на 180° вокруг прямых, соединяющих середины скрещи­ вающихся ребер тетраэдра (таких поворотов 3).

Все названные самосовмещения различны, общее их число 12; поэтому они исчерnывают рассматриваемую группу.

3. Правильная n-yroлJtнaя пирамиДа. Очевидно, что группа вращений правильной n-угольной пирамиды, отличнQй от правильного тетраэдра, изоморфна rруппе вращенИй правильного n-уrольника, лежащего в ее оено:вании.

4.Двойная пирамида (диэдр). Эта геометриЧеская фигура представляет собой объединение двух одинаковых правильных n-угольных пирамид, чьи осно­ вания совмещены, а вершины находятся по разные стороны от QСнования. Если диэдр не является октаэдром, то его rруппа вращений изоморфна rруппе симметрий правильного n-угольника.

Как известно, октаэдр - многогранник, двойственный кубу (центры rраней октаэдра являются вершинами пекотарого куба; центры rраней кубаявляются вершинами пекоторога октаэдра). НеудИвительно поэтому, что rруппы вра­

щений октаэдра и куба изоморфны. То же справедливо и для rрупп вращений двух оставшихся правильны многогранников 10) .

5.Икосаэдр и додекаэдр. Рассуждая так же, как и в случае куба или тетраэдра,

легко найти число элементов rруппы самосовмещений додекаэдра, зная, что он имеет 20 вершин и из каждой вершины исходит 3 ребра.

9)Рассмотрим, например, nоворот куба ABCDA1B1C1D1oкpyr диагонали АС1 .

Высота треугольной пирамиды ABDA1 лежит наВдиагоналиD АС1 ; основанием

этойnирамиды является nравильный треугольник А1 (каждая ero сторона -

диагональ rрани куба), который самосовмещается nри nоворотах на уrлы, кратные 120° .

JO) Всего nравильных мноrоrранников - ровно пять: тетраэдр, куб, оКтаэдр, ико­ саэдр, додекаэдр.

2-2331

Упражнения

1 . Какими свойствами (рефлексивностъ, антирефлексивность, симметричность, анти­ симметричностъ,"транзитивностъ) обладают следующие бинарные отношения на мно-

. ,жестве действительных чисел?

6):e'R.11 *=* :е3 + ж 113 + 11;

7)x'R.y *=* ж - у Е Z;

8)z'R.y *=* х - у Е N.

2.Какие из отношений nредЫдуШей задачи являются отношениями эквивалентности? Для к'ажд оrо из таких отношений выяснить, что представляют собой; классы эквива- · ленткости и сколько элементов они содержат.

3.На множестве учеников класса введем отношение «учится лучше». Будем говорить «Ученик А учится лучше ученика В•, если по большинству контрольных работ А имел оценки выше, чем В . Обладает ли данное отношение свойством транзитив,ности?

4.На множестве А введено симметричное и Транзитивное отношение 'R. такое, что

столбца стоит элемент множества А, равный а0 . *aJ , называется таблицей умножения, или

квадратом Кэли.

5.На множестве { 1 , 2, 3, 4, 6, 1 2} оnределим две бинарные оnерации:

1)а * Ь = (а , Ь) (наибольший общий делитель) ;

2)а * Ь = [а , Ь] (наименьшее общее кратное).

Составить дця этих оnераций квалраты Кэли.

6. Составим А1атрицу коэффициентов дробио-линейной функции /;(z) = а,ж + Ь1 :

-e;z.--+ -;

d

(а, Ь)(с, d) = (ас, Ьс + d).

Доказать, что данная алгебраическая структура является груnпой.

9.Доказать, что в квадрате Кэли конечной группы каждый элемент группы встречается

вкаждой строке (и каждом столбце) ровно один раз.

10.Составить квадрат Кэли для следующих групп:

1) вращений правильного треугольника;

2)вращений квадрата;

3)вращений правильного пятиугольника;

4)симметрий ромба, не являющегося квадратом;

5)симметрий правильного треугольника;

6)симметрий прямоуrольника, не являющегося квадратом;

7)симметрий квадрата.

1 1 . Доказать, что группа из задачи 7 изоморфна группе симметрий квадрата. 12. Какие из следующих числовых множеств образуют аддитивные группы?

16.Пусть rp :

на группу gчто Н - абелева группа.

17.Пусть (G, · } -g-груп1 жg, nа, Е G. Доказать, что отображение rp9 : G -t G, заданное прави­

лом rр9(ж) = является изоморфизмом.НG. Н - сюръективное гомоморфное отображение абелевой группы GДоказать,

Наменьшее n > О, при коmором gn = е , называют порядком элемента g.

19.Порядком конечной групnы называется количество ее членов. Доказать, что конечная групnа четного порядка обязательно содержит элемент второго порядка.

20.Пусть групnа обладает единственным элементом второго порядка. Доказать, что этот элемент перестановочен с каждым элементом группы.

9. Возьмем строку, соответствующую элементу а. В ней встретится элемент Ь, если для

некотороrо элемента ж выполняется равенство