Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный экономический университет (бывш. ФИНЭК, ИНЖЭКОН)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

math-st854_7 / Вся высшая математика. Том 7_Краснов, Киселев и др_Учебник_2006 -208с

.pdf

Скачиваний:

103

Добавлен:

02.04.2015

Размер:

12.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 216 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

46	---Гпава LXVIIt. Комбинаторика

Общее число перестанопок с повторениями находим по правилу произведения:
cn· cn2		сnз		• •	•	cn" .
n	n-n1 n-n1-n2				•	n-n.-n2-. . .-n"_l -	(n - n1 - n2)!
				n!		(n - n 1 ) !	(n - n1 - n2)!
		=	n1 !(n - n 1 ) ! · n2!(n - n1 - n2)( nз !(n - n1 - n2 - nз)! · · ·
						(n - n1 - . . . - nk-J)! _	n!
				. .· nk !(n - n1 - . . . - nk)! - n1 !n2!nз! . . . nk!(n - n1 - . . . - nk)! ·

Замечая, что (n - n1 - . . . - nk)! = О! = 1 , получаем окончательный результат:

P(ni , n2	, · · · · nk) =		n!	1	,	где n = n, + n2 + . . . + nk .
		n1	1 1
			.n2 . . . . nk.

Пример. Сколько различных •Слов• можно nолучить, nервставляя буквы слова •колоколь чик•?

-. В слове 1 1 букв, буквы •к• и •О• встречаются по три раза, буква •Л» -дважды, осталь

ные - по одному разу.		10. · 9 • 8 · 7 · 5 · 2. .,.
Ответ: 3!3!2! 1!1!1! = 1 1	·	10. · 9 • 8 · 7 · 5 · 2. .,.
1 1 !

§ 5. Полиномиальная формула

Теоре ма 2. Для любыхнатуральных чисел n и k и любых чисел Х ! , Х2 , . . . , Xk справед ливо равенство

Пояснение. Суммирование производится по всем решениям уравнения n1 +n2 +. . . +nt = n в неотрицательных целых числах. Таким образом, в силу результатов- § 3 число слагаемых

в данной сумме равно С:.

"iilЗапишем n-ю степень суммы как произведение n множителей, после чего раскроем скобки, не приводя подобных и не меняя порядка множителей:

(xi + х2 + · . . + xk)n = (xi + х2 + . . : + xk)(xl + х2 + . . . + xk) . . . (xi + х2 + . . . + xk) =

:::х ! Х ! • • • XJ + XJ X J . . . Х2 + • . . + XkXk . . . Xk ·

Если КЮIЩое слагаемое рассматривать как n-буквенное «слово», то в полученной

сумме присутствуют все «сЛова» из n букв, в кОторых каждiт буква принимает
одно из k значений: х 1 , х2, . . : , Xk , причем КЮIЩое такое слово встречается ровно
один раз. После приведения подобных коэффициент при х • 2					• • • xZ" будет равен
числу n-буквенных слов, в которых буква х1		встречается n1			раз, х2 - n2 раз,
. . . , Xk - nk раз, т. е. числу перестанопок с повторениями
:о;=	1	1 х1	х2	. . . xk .
Р(n 1 , n2 , . . . , nk) \	n!	n1	n2	n"
	n1 .n2 1. . . . nk .

Теорема доказана. .,..

§ 5.

Пмююмюм а• nа

Замечание	1 .	Частным случаем полиномиальной формулы является формула бинома
Ньютона

	n		n-i	i
	(z + y)n ::=ЕC	z	n-i	i	.
	i=O	z		y	.
n2 = i, ТО n1	i=O					z1 = z, z2
n2 = i, ТО n1	= n - i И
Действительно, если в полиномиальной формуле положить k = 2,

= у,

Замечание 2. Другим широко известным частным случаем рассматриваемой формулы
является формула квадрата суммы k слагаемых
			(zt + z2 + . . . + zk)		2	= Еz + 2 Е z;z;.
						i			j
									i<
Пример 1 .	Получить формулу куба суммы трех слагаемых.
Уравнение n		1	+ n2 + n3	= 3 имеет Cj = Cg = 10 решений в неотрицательных целых
-числах:				(3, О, 0), (2,		1, 0),		(1, 1, 1),
				(3, О, 0), (2,		1, 0),		(1, 1, 1),
а также тройки чисел, nолучающиеся из указанных nерестановками элементов.										Таким
образом,	в формуле три различных nолиномиальных коэффициента:
				Р(3, О, О) =				1,
				Р(2,	1	, О) =		3	,
				/
				P(l, 1, 1) = 6.
Искомая формула:
Пример 2.	В разложении много-члена (2 - z					2	)	5	найти коэффициент nри z5.
Пример 2.	В разложении много-члена (2 - z					+ z	)	5	найти коэффициент nри z5.
Применяя nолиномиальную формулу, nолучаем:
				=						(1)
Для того чтобы оnределить, какие слагаемые в nолученной сумме содержат z5,										нужно
решить в	неотрицательных целых числах систему двух линейных уравнений с									тремя
неизвестными				{ n, + n2 + nз				= 5,
				{ n, + n2 + nз				= 5,
				n2 + 2nз				= 5.
Из второго уравнения следует нечетность n2; в силу неотрицательности nеременных
n2 nринимает значения: 1 ,				3 или 5. Все решения системы удобно заnисать в виде табл. 2,

48 ---Гпава LXVIII. Ком орика

Таблица 2

n1	n2	nз	5!(- 1)n22nJ
n1	n2	nз	n1 !n2!nз!
			n1 !n2!nз!

2	1	2	- 120

1	3	1	40

о	5	о	- 1
о	5	о

к которой nриnишем столбец значений коэффиЦиентов nри х5 в отвечающих каждому

решению слагаемых в ( 1) .

Таким образом, коэффициент nри х5 равен - 120 - 40 - 1 :::;:- 161 . ..,.

§ 6. Комбинаторные тождества

В этом параграфе будет доказан ряд соотношений для биномиальных коэф фициентов. Все они интересны сами по себе и многие будут :Использоваться

нами в дальнейшем. Однако не менее интересны способы их доказательства

(или получения). Мы будем, как правило, предлагать доказательства, исходящие из комбинаторной природы соотношений. Общая схема рассУJIЩений здесь такова. Пусть доказывается тождество f ( n , т, . . .) = g (n, т, . . .). По виду левой и правой частей реконструируется задача на подсчет числа комбинаций определенного вида

( n , т, . . . выступают в роли параметров), решая которую одним способом полу чаем в качестве ответа f(n, т, . . .), а другим способом - g (n, т, . . . ). В нижеприводимых соотношениях значения параметров предполагаются та

кими, чтобы все биномиальные коэффициенты имели смысл (например, если

в формуле присутствует с'

то предполагается, что о k n ) .

Имеют место следующие тождества:

3) 2: с: = 2n;

4) 2:(-1)"'с: = о (n 1);

k=O

•

(т, n k);

5) L:<- 1)н с: = I;

c +n = 2: c:..c:-l

k=l

1=0

9fn

= L)c:)2;

k=O

.1:

+1 .

с:с;: = с:С::;::;

10)

""'

I.Jm+k+l•

р=О

m+l

m+l .

1 1)

6""'

12)

Е c:c:_-kk = С: : ' 2. m;

сnт+p = cn+k+l - cn

•

Р=О

k=O

1 3)

;;Спk =

kCm.1: ;

14)

k=l

(-1).1:-1

с: =

.!..

n=k

§8. Комбии8ТОf!!тождестваЫе -- 49

Каждому k-элементному подмножеству n-эле ентного множества посrавим

<1111 1)

в соответствие его дополнение до всего мноЖества. Нетрудно видеть, что

при этом задается взаимно однозначное соответствие между k -элементными

и n - k

)

-элементными подмножествами n-элементного множества.

Если

(

между двумя конечными множествами существует взаимtю однозначное со

ответствие, то эти множества содержат одИнаковое количество элементов.

Таким образом, число сочетаний из n по k совпадает с

числом сочетаниit.

из n по n - k.

Пусть в парламеше n депутатов, включая спикера. Подсчитаем число спосо

бов составить ·парламентскую делегацию из k человек. С одной стороны, это

число сочетаний с .

Произведем подсчет по-другому. Для того чтобы сформировать делегацию,

включающую спикера,

нужно из n - 1 рядовых депутатов выбрать k

1 ;

это можно сделать с::1

способами. Если же спикер в делегацию не входит,

то ее Членов можно выбрать с -1 сnособами (из n - 1

рядовых депутатов

выбирается, k человек .

Таким образом, всего имеется

с::/ +С _1

способов

)

составить делегацию.

2n - число всех подмножеств n-элементного множества. Так как С - число

всех его k-элементных подмножеств, то просуммировав с: по k от О до n ,

вновь получим общее число всех подмножеств.

Другой способдоказательства состоит в применении формулы биномаНьютона

<t + x>n

= 2:c: k ·

k=O

Положив в ней х= l, получим требуемое.

Тождество доказывается подстановкой в приведеиной выше формуле х = - 1 .

Приведем также комбинаторное доказательство.

Найдем количество подмножеств n-элементного множества, имеющих четное

число элементов. Оно совпадает

с количеством способов составить парла

ментскую делегацию из четного числа человек,

если в парламеяте всего n

депутатов.

Произвольмая делегация такого вида может быть получена в результате выпол

нения следующей процедуры. Сначала относительно каждого из депутатов, ·

не считая спикфа, будем nринимать решение, войдет данный депутат в де

легацию или нет. Согласно правилу произведения, эти решения могут быть

вынесены 2n-I способами. Спикер включается в делегацию только в том

случае, когда в ней нечетное число «рядовых» депутатов. Таким образом,

общее число делегаций с четным числом .членов равно 2n-t.

Поскольку общее число nодмножеств есть 2n, подмножеств с нечетным

числом элементов также 2n-l, то есть столько же,

сколько и с четным Числом

элементов. Значи

.....А

s +

· · ·

· ,

n + сnз +..cn

сnо + сn2 + t.ln + · ·

поскольку части записанного равенства выражаютс собой число подмножеств n-элементного множества соответственно нечетным и четным числом эле ментов. Полученное равенство равносильно доказываемому.

50	----------fllaвa LXVIII.,.------------Ком6инаторика

5)Данное соотношение является другой формой записи предыдущего тождества.

6)Решим: такую задачуиз : Имеется т мужчин и n женщин. Из них нужно сформиро вать делегацию k человек. Каким числом способов этоможно сделать?Ответ очевиден: C +n . Будемs классифицироватьs делегации по числу мужчин. Если в делегацию входят мужчин и k '-- женщин, то мужчин можно выбратьs

С:Л способами, а женшин - c:-s способами; значитs , ДОчисло делегаций с

мужчинами равно c:nc:-s . Суммируя c:nc:-s по от о k , получим общее

7)	число делегаций.
	Для доказательства достаточно в предыдущем соотношении положить k =
8)	т = n и применять 1).
	Доказательство тождества может быть получено из решенJШ следуюшей за
	дачи:. Каким числом способов можно из n кандидатов выбрать k депутатов
	и среди последних спикера? Депуrаты выбираются с: способами, после чего
	спикер выбирается k способами; таким образом, общее число способов равно
	Сй ·k . То же число можно подсчитать по-другому. Будем сначала (всенародным
	голосованием) избирать спикера (из n кандИдатов), а затем из оставшихся
	n - 1 кандидата	еще k - 1 депутата:	Указанная процедура может быть
	выполнена n · С : 1 способами. Доказано,		что kC: = nC : 1 . Отсюда вытекает
	полезное рекуррентное соотношение Сй		Ic::l , применяя которое не
	сколько (точнее:	k) раз, можно вновь вывести формулу для числа сочетаний:

Cnk

n	k-1	n
= kCn-1 = k				.
_ !: .	.
			· ·
- k	k - 1

· .

..-:..1 1

n -

.	k
	Cn

k +

-	2	.
-2		.
-2		= .
1	,.о
	Vn-k

.	=

_ n(n - 1) . . . (n k + 1)

- k!

9)Это тождество - обобщение предЫдущего (если в 9) положить т = 1 , то получим 8)) и может быть доказано с помощью решения задачи, также яв

ляющейся обобщением ранее рассмотренной: · Каким числом способов можно выбрать из n кандидатов k депутатов и среди последних т членов президиума?

10)1-й способ. Докажем= тождество математической иидукцией по k. База индук

ции. При k О имеем верное равенство:

Cтm = cmm+l+1 = 1·

Индукционный шаг. Пусть доказываемое утверждение верно при k = n: n

I: с;::+р = С:::t н·

р=О

Прибавив к обеим частям равенства C:J:+n+1 , получим n+l

I: с:::+Р = c:::t +1 + C:::+n+1 = [в СИЛу 2)] = C:::t +2·

р=О

Таким образом, соотношение

2-й способ. Общее число (т+

. . . , т + k + 1 } равно C:::t +1

10) справедливо и при k n + 1 .

!)-элементных подмножеств множества {1, 2, 3,

(правой части доказываемого тождества). Будем

§ 8• Комбннаrорнwе ТOJUI8CТU -- 51

классифицировать указанные nодмножества no их наибольшему элементу, ко-

торый, очевидно, nринимает значения т +

1 ,

т +

. . . , т +

1 .

Найдем

число nодмножеств с наибольшим элементом

т + р +

Поскольку наиболь

ший элемент уже выбран, оставшиеся т элемеНтов выбираются1 .

из множества

1 ,

.по.

р от О-до

вн01 ь nолучим общее число

(т +С:::+! -Рэлементных.

{

. , т +

р}

значит, число таких nодмножеств равно

Суммируя

С:::+р

(

k ,

)

1 1)

nодмножеств

левую часть доказываемого тождества .

Тождество доказывается на основе предыдущего:

n+k

cr -

n- 1

cr = [p = i - тJ

р=О

i=m

n- 1 -m

n+k-m

2: С:::+Р - 2: с:::+Р = с::'+"\ . - с;: + • .

р=О

12). Решим задачу: Каким числом способовможно из n кандидатоввыбрать т депу татов и среди депутатовнекоторых (может быть, всех, аможет быть, никого)

наградить?

С одной стороны,

деnутаты выбираются

сnособами,

а награжденные

выделяются

способами

столько nодмножеств имеет множество из

с:

элементов), и2,mзначит, ответ (

задаче:

k (О

т),

С другой стороны,

если число

награждаемых деnуТатов равно

С : ·2m .

то их можно выбрать С

способами, nосле чего остальные

деnутатов

по

вн вь

выбираются

сnособами. Суммируя

от

т ,

ДО

получим

ответ к рассматриваемой задаче. Тождество доказано.

c:.:kl:

c:c::kk

1 3) Используя соотношение 8),

nреобразуем общий член суммы:

Имеем:

				k
			.!.c
т			n	n
т		k- 1		l
"" 1		k- 1		l
"" 1		C		k
	k		=	k
L....Jn-1
n=k

	k-1
.!.c
- k	n- 1 ·
т	k - 1
""	k - 1	= f	в с	у
L....С,нJ		= f		ил
n=k

. 10)]

1 k

Cm.k

14) 1-й способ.

	1	('.!.				k	) dж =
-	1
	о	ж	k=l	с: ( - ж)
о
			L.....i
1 tn - 1					1 tn			dt =·
1 т=t" dt				=	о	- 1
						Т::Т

- /1

1о 1 ( l

..!. ( ( 1	-	ж)n -
ж
+ t + t2		+ . .· .

t=			l	- ж	;]
l ) dж = [	dt
.		=		-dж

+ tn- 1 ) dt =

· 52	--------------------Гпава	LXV\11. Комбмнатормка
	--------------------Гпава

2·й тособ. Воспользовавшись 1 3) тождеством, заменим tс: на n }CJ

]=k

и в l11iJIУЧенной двойной сумме поменяем порядок суммирования:

t(-I)k-t c: = Ё<- t)k-1			t cJ	=
k=l	k==l	j	j=k J
	n			n
	= L: L:<-t)k-1cJ			= [в силу 5)} = 2: . ...,
	j""l J k=l			j=l	J
§ 7. Формула вкпючения-искпючения
Мощностю конечного множества называется число его элементов.					Мощность

множества А будем обозначать IAI. В этом параграфе мы выведем формулу

двух для

мощностиобъединения конечного числа конечных множеств. В случае и трех множестnимеем соответственно:

IA u BI = IAI + IBI - !A n BI;

IA u .вu Cl = IAI + IBI + ICI - /А n В/ - /А n Cl - !В n Cl + IA n В n Cj.

Действи ьно, в сумме IAI + IBI каждый элемент, принадлежащий одновременно и А, и В,учитывается дважды; поэтому после вычитания из IAI + !BI мощности

пересечен1111этих множеств получим в точности число элементов А U В. Анало гичными рассуждениями обосновывается вторая формула (рис. l).

Рис. 1. Геометрическая иллюстрация формул вЮIЮчения-исключения

В обшем случае имеет место следующая

Т	а 3	(
еорем		;рму
.	'/Ьгда
ства	'/Ьгда

nа вкniОЧения-искniО'IеНИ!I ). Пусть А1 , А2, .
n
IAt U A2 u . . . U Aпl = LIAil -	L
i=l	l i<j n

. . , A	конечные
n

/Ai n AJI +

+ L		j	. . . +	(-l)n-IIAt n А2 n . . . n Anl·
	/Ai n A П А ;/ -			(-l)n-IIAt n А2 n . . . n Anl·
l i<j<k.;;;n

множе-

( 1)

1 8. ФунЩм Эйпера -- 53

• Возьмем произволъный элемент из объединения данных n множеств и nод

считаем его «ВКЛад» в nравую часть доказываемой формулы. Пусть элемент входит
ровно в т мнqжеств	Ai	(т n ) . Тогда в сумме :Е /Ai/ он учитывается т раз,
в сумме :Е /Ai П Aj/	- С раз (в стольких поnарных пересечениях т множеств
он содержится), в сумме		:Е /Ai nAj п Ak/ - С раз и т. д. Общий вклад элемента
выражается формулой т		с +с;;. - ...+ (- l)m-•cm и равен '1	в силу тожде
ства 5) предыдущего параграфа. Таким образом, nравая часть ( 1 )			равна общему
числу элементов из объединения n множеств, что и требовалось доказать. .,.

Замечамме. При решении мноrих задач применяется следуюЩИЙ			вариант формулы
включения-исклю ення. Пусть дЛя любою i множество А1 является подмножеством
некотороrо множества А. Обозначим через 11 дополнение к А; до множества А :
1; = А \ А1 • Как известно, доnолнение к объединению множеств есть пересечение их
дополнений 2>; поэтому			1
	IAt n . . . n A,.l = IA \ (At u . . . u A,.)l = IAI - IAt u . . .		u А,. \ .
Воспользовавшись формулой ( 1 ) , окончательно получим

	n	2: IA; n A11 - . . . + (-l)"IA• n A2 n . . . n A ,.\.
	IA1 n . . . n A..I = IAI - 2: \ А;!, +
	1=1	t..;i<j..;n
§ 8. Функция Эйлера


Применяя формулу включения-исключения, выведем формулу для функции Эй
лера rр(т). Напомним, что rр(т)		количество натуральных чисел, не превосхо
дящих т и взаимна nростых с т.		Пусть натуральное число т имеет следующее
каноническое разложение на простые множители: т				р 1р 1	• • • p n . Введем
в рассмотрение следующие множества: А = { 1, 2, . . . , т}, Ai = {j					/ j Е А, j ; Pi},
Ai	А \ Ai (i = 1 , . . . , n) . Число взаимно просто с т тогда и только тогда, когда
оно не делится ни на один простой делитель т. Поэтому множество чисел, не пре
восходящих т и взаимно простых с т, совпадает с множеством А1 n.A2n. . . ПАn .
Таким образом, rр(т) есть мощность указанного множества.
	Отметим, что Ai = {pi, 2pi, . . . , т}		и /Ail = · Несложно найти и мощность
nересечения двух множеств: /Ai nAJ 1 =			Р;; (множество	Ai n Aj состоит из чисел,
кратных произведению PiPj), и вообще мощность пересечения любого числа
из множеств Ai :

(рассуждения аналогичны). Теперь все готово для того, чтобы применить формулу

включения исключения. Имеем:n

rр(т) = /А1 n . . . n Anl = /AI - L:/Ail +	L:	IAi nAj l - . . . +
i=l	l i<j n

2) Закон де Моргана.

54	Глава LXVIII. Комб11наторика
	--------------------

= =

т т

(- 1У
- L		т
- L		Pi
(1 -		Pi
(1 -	_.!._)
	Pt

+ 2:

(i - -

т -i-

P PJ _.!._) Р2

- . . .	+ (- 1)s L
. . . (1	- _!	) .
	Pn

т	+ . . .	+ (- 1)n	т
т	+ . . .		__ =
Pi, · · · Pi,			Pt · · · Pn

(При раскрытии скобок в последнем произведении получается предыдущая сум ма.) Итак, доказано, что

<р(т) = т f:r (1 - ) .

i=t Pl

§9. Задача о беспоряДках и встречах

Впопулярной литературе по теории вероятностей часто встречается

Задача о рассеянной секретарше. Секретарше нужно отправuт·ь n различных писем по n различным адресам. Она подписывает конверты u случайным образом вl(,Jlады вает письма в конверты. Какова вероятность того, Чff!O ни одно письмо не дойдет до своего адресата?

Оказывается, искомая вероятность не так мала, как может показаться на пер вый взгляд, и, что замечательно, имеет пределом (при n -t оо) = 0,367879 . . . .

Данная задача является (литературным) вариантом широко известной комбина
торной задачи о беспорядках, решением которой мы сейчас и займемся.
Перестановка (at, а1, . . . an) чщ:ел 1 , 2, . . . , n		называется беспорядком, если
для любого i ai =1- i. Через Dn	обозначим число всех беспорядков из n элементов.
Заметим, что в задаче о_секретарше искомая вероятность Pn равна отношению Dn
к общему числу всех перестановок n элементов: Pn = *.
Пусть А = {(а1 , а2, . . . , an)} - множество всех перестановок чисел 1 , 2, ... , n;
Ai = { (а 1 , а2 , . . . , an) 1 ai = i}	- множество тех перестановок, у которых на i-м
месте стоит число i, Ai = А	\ Ai (i = 1, . . . , n).	Тогда множество беспорядков
совпадает с пересечением множеств А1 n А2 n . . . n		An , а Dn равно его мощности.
Для того чтобы применить формулу включения-исключения, нужно найти мощ
ности соответствующих множеств.
Имеем: IAI = n!, V i IAi l = (n - 1)! (так как во всех перестановках, входящих
в Ai , положение одного числа фиксировано, то число таких перестановак совпада
ет с числом перестановок n- 1	элементов), если i =1- j, то IAi П Aj l = (n- 2)! (здесь

фиксированы положения двух элементов); вообще: мощность пересечения k мно жеств равна (n-k)! (k чисел <<знают» свои места, переставляются оставшиеся n-k).

Заметим, наконец, что n множеств Ai образуют С попарных пересечений,
..., С пересечений по k множеств (k :::;n). Таким образом,
n		IAi П Aj l - . . . +
Dn = IAt n . . . n Ani = IAI - L IAi l +	L
i=l	J:;:;;i<j:;:;;n

§9.

Задача	о	беспорядк	а	и в	а
			х	стреч х

= n! - C (n -

1 ) ! + C (n - 2)! -

. .

. + ( - 1 )

C (n - k)! + .

. . + ( - 1 )" C::(n - n)! =

k n!

(

n 1

)

= L: ( - 1 )

- - n'

- - + -

- +

.•

+ ( - 1 )

•

( 1 )

•

k=O

•

Возвратимся

(в последний раз)

к задаче о секретарше. Из получеnной фор.,

. мулы для числа беспорядков следует:

(

)

- 1

lim Pn = lim

= lim

- -1

+ -,

- - + . . .

+ (

- 1 )

= е

П-+СJ9

П-+00

1 .

n-+00 n.

Рекуррентные формулы для числа

беспорядков. На основе формулы

( 1) получим

интересные соотношения для Dn .

. .

. + ( - 1 )n -

+ (- 1 )"+ 1

)·

Dn+ l = (n + 1) !

(

- -

1 ) !

= ( - 1 )"+1

+ ( n +

1 )n!

(

.!_ +

. ! _ -. .

. +

( - 1 )" 2. )

= ( - 1 )"

+ (n + 1)Dn .

(2)

Полученное рекуррентное соотношение

\Dn+ l

( - 1 )"

(n + 1)Dn

очень похоже

на

соотношение,

позволЯющее рекуррентно вычислять факториалы:

(n + 1)! = (n + 1)

· n!

(все/отличие - слагаемое (-1)"+1). В связи с этим обстоя

тельством число

беспорядков Dn

иногда называют субфакториалом (или псевдоф

акториалом).

Зная, что

О ,

помощью

(2) найдем несколько значений Dn :

D = 1 ;

D3 = 3

= .2;

D4 = 4

2 + 1 = 9;

Ds = 5

9 - 1 = 44.

- 1

Еще одно соотношение получается так:

Dn.f- = (n

+ 2)Dn+ l

( - 1 )"

= (n + l)Dn+ l + ( - 1)"

+ Dn+ t

1)Dn + ( 1 )"

= (n + 1)Dn+l +

( - 1)"

+ (n +

= (n +

1 ) (Dn+ t

+ Dn) ·

Заметим, что рекуррентной зависимости

1an+

(n +

Щan+l + an)

наряду с последовательностью псевдофакториалов Dn

удовлетворяет и последо

вательность (обычных) факториалов n! (убедитесъ в этом самостоятельно).

Обобщением

задачи

о беспорядках

является задача о встречах. Говорят, что

перестановка

(а

а2 ,

• •

•

an)

чисел

1, 2, .

. , n

имеет k

встреч,

если ровно k чисел

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 216 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>