math-st854_7 / Вся высшая математика. Том 7_Краснов, Киселев и др_Учебник_2006 -208с

126 ---Гпuа LXX.Введение в теорию rрафов

в соответствующих вершинах и лежащими в соответствующих плоскостях, при этом для изображения петель будем брать окружности, касающиеся l, а для остальных ребер - полуокружности..,. . Ясно, что данная ·конструкция дает требуе­ мую укладку графа.

Теорема 1 6. Граф является планарным тогда и только тогда, когда он укладывается

чтобы она не совпадала ни с одной из вершин и не лежала ни на одном из ребера.

Через противоположную точку сферы проведем к ней касательную плоскость и осуществим стереографическую проекцию сферы на данную плоскость с центром

в точке N : каждаяа .точка Т сферы проецируется в точку пересечения луча NT с плоскостью При данном отображении жордановал кривая на сфере переходит в жордановую кривую на плоскости. Стереографическая проекция устанавливает взаимно .однозначное соответствие между сферой с выколотой точкой N и плоскостью; nоэтому граф, nолученный при проектировании, - плоский (его ребра имеют общие точки только в соответствующих вершинах) и изоморфен исходному графу, который, таким образом, ямяется планарным.

Достаточность доказывается обратным ходом рассуждений. ..,.

§ 1 1 . Формула Эйлера

Связным множеством (на плоскости) называется такое множество, любые две точ­ ки которого !>fОЖНо соединить жордановой кривой, целиком лежащей в данном множестве. Примеры связных множеств: многоугольник, круг, кольцо. Пример несвязного (т. е. не являющегос.э: связным) множества: объединение двух непересе­ кающихся кругов. Грань плоского графа - связная часть плоскости, ограниченная ребрами графа и не содержащая внутри себя других ребер. Среди всех граней графа

ровно одна является неограниченной, ее называют внешней. Граф, изображенный

на рис. 25 а, имеет три грани, внешняя грань помечена цифрой 3. У плоского ациклического графа только одна грань - внешняя. Заметим, чть планарный граф можно так изобразить на плоскости, что внешней будет любая его наперед заданная

грань. Вот как это можно сделать. От nроизвольной плоской укладки данного графа следует перейти к сферической (проектируя плоскость вместе с плоским

графом на какую-либо сферу, касающуюся плоскости); далее осуществить стерео­

Теорема 17 (Л. Эйлер, 1758 г.). Для любого связного плоского графа справедливо соот­

ношение

где n, т, f - число вершин, ребер, граней соответственно.'

128 ---1'!18118LXX. ме 1 теорм10 rрафов

Следствие 3. Для любого простого связного планарного графа с n 3 вершинами и т

ребрами выполняется неравенство т 3n - 6.

<111Рассмотрим какую-нибудь плоскую укладку рассматриваемого графа. Если в графе всего два ребра, то выполнение неравенства проверяется непосредственно;

поэтому будем считать, что т 3 . Пусть у (плоского) графа f граней, а i-я грань

ограничена тi ребрами (i = 1, . . . , f). Поскольку в рассматриваемом графе нет

петель и кратных ребер, . а ребер не меньше 3, то V i тi 3 и

Lf: тi 3/. i=l

Если ребро графа является мостом, то оно входит в границу только внешней грани, в противном случае ребро входит в границу ровно дВух граней. Значит, при вычислении суммы 2:i тi каждое ребро графа учитывается не более двух раз и

Следствие 4. В любом простом планарном графе есть вершина степени не больше 5.

<111Действительно, в полном графе Ks n = 5 вершин й т = С = 10 ребер_.; неравенство следствия 3 не выполняется - стало быть, граф К5 не планарен.

Следствие 6. Граф К3,3 не является планарным.

130 -------------------Глава LXX.. Введение в теорию графов

Рис. 28. Орrраф его основание

(неориентированный) граф (V, Е) , который получаетСя из G заменой дуг ребрами

(каждая дуга (и, v) заменяется ребром {и, v}). Пример - на рис. 28. Орграфы

называются изоморфными, если существует изо орфизм между их основаниями, сохраняющий порядок вершин на каждой дуте.

Через Г(v) обозначим множество вершин, к которым ведут дуги с началом

в вершине v: Г(v) = {и Е V 1 (v, и) Е А}. Число таких дут называют полустепенью исхода вершины v: p(v) = IГ(v)l. Вершину с нулевой полустепенью исхода

Вполне очевидным образом переносятся на случай ориентированных графов такие понятия (извесцrые по предыдущим параграфам этой главы), как смежность вершин, матрица смежности, простой граф и многие другие. Термин маршрут

заменим термином путь. Итак, путь в орrрафе - Последовательность дуг вида

которую будем записывать также в виде v0 -+ v1 -+ . . . -+ Vm и называть путем из Vo в Vm .

§ 1 4. Нахождение кратчайших путей в орграфе

Вес тривиального (т. е . не содержащего дуг) пути считаем равным нудюо о . , поэтому d(8, 8) О . Если не существует пути из 8 в t, то полагаем: d(8, t) = Очевидна

практическая значимость задачи нахождения кратчайших nутей в ориентирован-

ном rрафе.

-

Алгоритм Е. Дейкстры (1 959 г.)

Данный алгоритм находит кратчайшие пути от произвольной фиксированной вер­ шины орrрафа. Алгоритм представляет собой ,итерационную процедуру, на каждом шаге которой каждой вершине v сопоставляется пометка l(v) , которая является8 либо постоянной и равной при этом расстоянию d(8, v) от начальной вершины до данной вершины, либо временной - числом, являющимся оценкой: сверху для d(8, v) . В результате каждой итерации оценки уточняются, и при этом ровно одна

временная пометка (а именно - наименьшая) переходит из разряда временных в разряд постоянных (после чего уже не меняется) .

Перед первой итерацией начальная верШина имеет постоянную пометкуо о . 1(8) = О, у остальных вершин nометки временные и nолагаются равными Итерация алгоритма состоит в просмотре вершин v с временными пометками, к которым ведут дуги из вершины р - вершины, последней получившей по­ стоянную пометку (для первой итерации р = 8). Пусть а l(p) + р.(р, v ) . Если окажется, что l(v) > а , то а . будет новым значением l(v) (временная пометка данной вершины уменьшаетсЯ) .

Алгоритм заканчивает рабоТу, когда заданная конечная вершина t получает постоянную пометку.

Более детальное описание алгоритма (с использованием конструкций Си,

а также математической символики) -:- на рис. 29 (c. l32).

·Обоснование коррекТности алгоритма Дейкстры

Алгоритм работает таким образом, что после каждой итерации пометка каждой вершины v есть вес кратчайшего из тех путей из 8 в v, в которых предпоследняя

вершина имеет постоянную пометку. Пусть после очередной итерации вершина v* получает постоянную пометку. Достаточно доказать, что кратчайший путь из 8 в v*

проходит через вершиныs с постоянными пометками. Предположим противное: кратчайший путь Р из в v* проходит через некоторую вершину с временной

nометкой:

Р : s -+ s1 -+ . . . - +·8k -+ w -+ . . . -+ v*,

пусть w - nервая такая вершина. Тогда

противоречит выбору v• .

p=s ;

while (р ! =t)

{

for (vE М n Г(р))

{

a=l (p) +p. (p,v) ; if (a<l(v) )

{ 1* fJ(v) - :вершииа, из которой идет дуrа в V*/ 1* (в кра-rчайшем пути) *1 l (v) =a; O(v)=p ;

}

}

l (v* ) =minl (v) ;

vEM

1* пометка v* стая:овится: постоя:нвой *1

М=М\{v* } ; p=v* ;

}

d(s ,t)=l (t) ; 1* расстояние между s и t ; *1

1* кратчайший путь : s - + . .. -+ iJ(O(t)) -+ O(t) -+ t *1

Рис. 29. Алгоритм Дейкстры нахождения кратчайшего пути в орrрафе

Трудоемкость алгоритма Дейкстры

Пусть граф содержит n вершин. На каждой итерации число сложений не превы­ Шает количества временных пометок, которое в начале работы алгоритма равно n 1, а с каждой итерацией уменьшается на единицу. Таким образом, общее число сложений не более

(n -1) + (n - 2) + . . . +1 = n(n --1) . 2

Операции сравнения выполняются как при пересчете пометок, так и при нахо­ ждении минимальной временной пометки; нетрудно подсчитать, что их число не превосходит n(n -1) . Таким образом, трудоемкость алгоритма оценивается как

Нахождение расстояний между всеми парами вершин орграфа

В принципе, данную задачу можно решить n-кратным выполнением алгоритма Дейкстры, где n - количество вершин графа. Однако существуетпримерно вдвое менее трудоемкий алгоритм, разработанный Р. Флойдом.

Алгоритм Р. Флойда (1 962 г.)

Строится последовател_ьность матриц C(k) = (с )) , где с<о) - матрица весов дуг

графа, т. е. для всех i и j с: ) = JL(щ, Vj) (если в графе нет дуги (щ, Vj) , то полагаем:

JL(Vi, v1) = оо), а при k = 1 , . . . , n с ) - д лина кратчайшего пути из Vi в Vj такого,

что в качестве промежуточных вершин могут бытьлишь v1 , v2, . . . , vk. Очевидно, что c j) - искомое расстояние между вершинами Vi и Vj . Несложно по индукции

ДОКаЗаТЬ СЛедующую рекуррентную формулу, ПОЗВОЛЯЮЩую ПО матрице C(k-1) построить матрицу C(k) :

c(kij) - mш. {c(kij-1), ci(kk-1) + ck(kj-1)}.

Действительно, кратчайший путь из Vi в Vj (где в качестве промежуточных вер­ шин могут использоваться лишь v1 , v2, . . . , vk) либо содержит вершину vk , либо

134 -- r.nua LXX.ВвеАенме • тtOJIМIO rрафоа

§1 5. Задача сетевого планирования

иуправления (PERT)

Процесс выполнения сложного проекта удобно представить в вИде орrрафа, дуги которого соответствуют этапам (или операциям, элементарным работам) проекта,

а вершины графа изображают абстрактные события, обозначающие начаЛо или конец этапов; nримем этапы, соответствующие дугам, исходящим из произвольной

вершины графа, не могут начаться преЖде, чем закончатся этаnы (так называемые опорные работы), отвечающие дугам, заходящим в данную вершину. В проектно­

консТрукторских организациях подобный rраф называют сетевым графиком. Очевидно; что рассматриваемый rраф является ациклическим.

Например, при строительстве Здания в качествеэтаповмогутрассматриваться закладка фундамента; возведение стен, возведение крыши, вставка окон и т. д., а в качестве событий начало строительства, окончание возведения фундамента, начало отделочных работ, окончание строительства и т. п:

Пример 1. Рассмотрим построение сетевого графика дnя планирования проиэводства некоторого изделия. Перечень злементарных работ, их длительность и логические связи представлены в табл. 4.

Дуги сетевого графика мы будем обозначать так же, как и соответствующие работы. Источник графа· будет соответствовать началу выполнения' проекта, а сток - окончанию.

Из таблицы видно, что работы е 1 и е2 являются начальными (у них нет nредше­ ствующих работ), а работы е8 . и е9 - завершающими (они не предшествуют никаким другим). Таким обращ>вм, дуги е 1 и е2 будут начинаться в источнике графа, а дуГи е8

и е9 - заканчиваться стоке.

По окончании работы е1 начинаются работы е3 и е4 - значит. в графе конец дугие7. е 1 будет служить началом дуг е3 и е4 . АналогИЧt!О, конец дуги е3 - начало дуг е5 и Поскольку работе е 8 непосредственно предшествуют работы е 4 и е5 • в графе должна бьiТь вершина, служащая концом дуг е4 и е5 и началом дуги е 8•