Тема №4. Обобщающие характеристики совокупности

Задание.

1. По равноинтервальной группировке (результат выполнения задания темы №3) рассчитайте среднее арифметическое, медиану и моду

2. По этим же данным измерьте вариацию при помощи показателей размаха вариации, дисперсии, среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации.

Решение:

Для расчета требуемых показателей составим следующую таблицу.

Таблица 3

Середина интервала, Хi	Накопленное кол-во	Частота Ni	Xi*Ni	*Ni
1088,5	26	26	28301	30805638,5
3053,5	27	1	3053,5	9323862,25
5018,5	30	3	15055,5	75556026,75
6983,5	31	1	6983,5	48769272,25
8948,5	0	0	0	0
10913,5	32	1	10913,5	119104482,25
Итого:	-	32	64307	283559282

1. Среднее арифметическое значение:

= == 2009,6 тыс. чел.

Следовательно, в среднем в данной выборке стран средний уровень занятости составляет 2009,6 тыс. чел.

Интервал, содержащий медиану: [106;2071].

Точное значение мадианы:

+

где x₀ - начало интервала, содержащего медиану;

–величина интервала, содержащего медиану;

F(x₀) – накопленная частота на начало интервала, содержащего мадиану;

N – объём совокупности;

N_Me – частота того интервала, в котором расположена медиана.

Me[x] = 106+1965 *= 1315,2 тыс. чел.

Следовательно, в 50% стран из данной выборки стран уровень занятости составляет 1315,2 тыс. чел.

Интервал содержащий моду: [106;2071].

Точное значение моды:

Mo[x] = x +

Где x₀ – начало интервала, содержащего моду;

–величина интервала, содержащего моду;

- частота того интервала, в котором расположена мода;

–частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Mo[x] = 106+ 1965* = 1107,7 тыс. чел.

Следовательно, наиболее популярное значение занятости населения составляет 1108,15 тыс. чел.

2. Дисперсия:

= =- 2009,6² = 8861227,6 – 4038492,16 = (тыс. чел.)²

Среднее квадратное отклонение:

= == 2196,07 тыс. чел.

Следовательно, среднее отклонение уровня занятости в данной выборке стран от среднего значения уровня занятости составляет 2196,07 тыс. чел.

Коэффициент вариации:

= = 1,09

Тема №5. Выборочное исследование

Задание.

1. По данным таблицы №1 «Макроэкономические показатели европейских стран», соответствующим вашему варианту с вероятностью 0,95 определите доверительный интервал для генеральной средней, считая эти данные собственно-случайной повторной выборкой.

2. Как изменится доверительный интервал, если вероятность увеличится до 0,99? Сделайте необходимый расчет.

3. Какую по объему выборку надо иметь, чтобы погрешность (ошибку) в доверительном интервале можно было бы уменьшить в 2 раза относительно её первоначального значения (вероятность 0,95).

Решение:

1. 1-y = 0,95

(- t_kp ; + t_kp

Определяем значение t_kp по таблицам функции Лапласа.

В этом случае 2Ф (t_kp ) = 1 – y

Ф (t_kp ) = ( 1 – y) / 2 = 0,95/2 = 0,475

По таблице функции Лапласа найдем, при каком t_kp значение Ф (t_kp ) = 0,475

t_kp (y) = (0,475) = 1,96

= t_kp = 1,96 = 773,07

(2009,6 - 773,07 ; 2009,6 +773,07 ) = ( 1236,53 ; 2782,67)

С вероятностью 0,95 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

2. Определяем значение t_kp по таблицам функции Лапласа.

1-y= 0,99

В этом случае 2Ф (t_kp ) = 1 – y

Ф (t_kp ) = ( 1 – y) / 2 = 0,99/2 = 0,495

По таблице функции Лапласа найдем, при при каком t_kp значение Ф (t_kp ) = 0, 495

t_kp (y) = (0,495) = 2,58

= t_kp = 2,58 = 1017,61

(2009,6 - 1017,61 ; 2009,6 +1017,61 ) = ( 991,99 ; 3027,21)

С вероятностью 0,99 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

Таким образом, величина интервала увеличилась на:

= 2 * (1017,61 - 773,07) = 489,08

3. Известно, что = 0,5а значит, 0,5t = t , что справедливо дляn₁ = n/ 0,25 = 32/ 0,25 = 128, то есть объем выборки следует увеличить до 128 стран. То есть, чтобы погрешность в доверительном интервале можно было бы уменьшить в 2 раза относительно её первоначального значения необходимо увеличить объем выборки до 128 единиц.

2Ф (t_kp ) = 1 – y;

2Ф (t_kp )y = 1;

Ф (t_kp )y = 1 |:2

Ф (t_kp )y = 0,5