Математические метод

Филиал Санкт – Петербургского государственного инженерно – экономического университета в г.

Череповце, Кафедра профессиональных дисциплин

Методические указания к контрольной работе для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Методы и модели в экономике»

Для оценки альтернативы вычисляется математическое ожидание полезности EW (ai ) .

Затем определяется несколько альтернатив с наибольшей ожидаемой полезностью и из них выбирается альтернатива с наименьшим коэффициентом вариации.

Для задачи 1 вычисления процедур максимизации ожидаемой полезности и минимизации коэффициента вариации изображены на рисунке 6. В ячейку С47 введена формула ожидаемой прибыли =СУММПРОИЗВ(C12:C14;$F5:$F7) и протягиванием скопирована в ячейки D48:E48. В ячейку С49 введена формула массива

=КОРЕНЬ(СУММ(C12:C14^2*$F5:$F7)-C48^2)/ABS(C48), вычисляющая коэффициент вариации. (Напомним, что формула массива вводится одновременным нажатием клавиш Ctrl+Shift+Enter). Протягиванием формула копируется в ячейки D49:E49. Процедура максимизации ожидаемой прибыли выбирает альтернативу цены $8.40. Процедура максимизации ожидаемой полезности и минимизации коэффициента вариации: сперва отбираем две альтернативы с наибольшими ожидаемыми полезностями $7.75 и $8.40, а затем из них альтернативу с наименьшим коэффициентом вариации $8.40.

Оценка стоимости информации.

При известных значениях вероятностей событий можно дать оценку стоимости информации о вероятностях событий. В качестве такой оценки выбирают разность между

Для задачи 1 по данным вероятностей (рис. 1) и прибылей (рис.2) находим цену информации E(Wmax ) −(EW )max =$12,095.00 - $10,736.00 = $1,359.00.

Принятие решений с использованием дерева решений

В задачах со сложным комплексом условий привлекают графическое изображение в виде дерева решения для наглядного представ-ления условий задачи. Дерево решений представляет собой связный ориентированный граф с одной исходной вершиной. Вершины делятся на два вида: вершины принятия решений, к которым принадлежит исходная вершина, и вершины возможных событий. Из вершины принятия решений выходят ребра, соответствующие возможным решениям ЛПР, и эти вершины на графе изображаются квадратами. Из вершины возможных событий (исходов) выходят ребра, соответствующие возможным событиям, и эти вершины на графе изображаются кругами. После построения дерева решений на него наносятся данные задачи: вероятности событий и их полезности. Затем производится анализ дерева решений за счет процедуры усреднения (переход к ожидаемым полезностям) и процедуры свертывания (уменьшение количества вершин и ребер).

Рассмотрим пример применения дерева решений.

Задача 2. Инвестор рассматривает варианты инвестирования $100,000.00 сроком на два года. Реально он может выбирать между двумя инвестиционными проектами А и В. Проект В безрисковый с размером прибыли 9.5% годовых. Проект А приносит прибыль 7.4%, 10%, 13% с равной вероятностью в первый год. Прибыли второго года зависят от ситуации в первом году и равны.

Стр. 4 из 19

Филиал Санкт – Петербургского государственного инженерно – экономического университета в г.

Череповце, Кафедра профессиональных дисциплин

Методические указания к контрольной работе для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Методы и модели в экономике»

чувствительность решения к изменению вероятности 7.4% прибыли в первый год, при условии, что вероятности двух других вариантов прибыли равны. Оценить риск принятого решения при помощи коэффициента вариации.

Решение. В задаче мы имеем две вершины принятия решений - в начале первого года и в начале второго года. Ребро, соответствующее проекту А, приводит к вершине, из которой исходят три события, соответствующие различной прибыльности проекта. Ребро, соответствующее проекту В, приводит к вершине, с одним достоверным событием. В качестве полезности мы будем рассматривать чистую текущую стоимость (NPV) финансового потока, связанного с проектом, дисконтированного на внешнюю ставку процента. Исходные данные задачи приведены на рис. 7, дерево решений – на рис. 8. Вершины принятия решений 1, 2, 3, 4; вершины возможных событий C, D, E, F, G, H, I, J. Ребра 1C, 2E, 3G, 4I – принятие решения в пользу проекта А; ребра 1D, 2F, 3H, 4J – принятие решения в пользу проекта В; ребра C2, C3, C4 – равновероятные события доходностей в первый год 7.4%, 10%, 13% соответственно; ребро, выходящее из вершины D, - безрисковая доходность в течение двух лет 9.5%; ребра, выходящие из вершин F, H, J, соответствуют безрисковой доходности 9.5% во второй год; ребра, выходящие из вершин E, G, I, соответствуют трем значениям доходности второго года для проекта А с соответствующими вероятностями.

Финансовые потоки, соответствующие ребрам дерева заполняются слева направо (рис 9). Например, ребро 1С соответствует инвестированию $100,000.00 в проект А в начале первого года; ребро С2 соответствует событию 7.4% доходности в первом году для проекта А и следовательно возврата суммы $100,000.00*(1+0.074) = $107,400.00; ребро 2Е соответствует инвестированию средств первого года в проект А в начале второго года; ребро Е7.4% соответствует событию 7.4% доходности во втором году.

После того как построены дерево решений и определены финансовые потоки воль ребер мы приступаем к анализу с помощью процедур усреднения и свертывания. Теперь вычисления выполняются справа налево. Вычислим ожидаемые значения потоков в вершинах E, G, I с помощью вероятностей для доходностей второго года (рис. 10). Поскольку ожидаемое значение финансового потока для вершины Е (проект А) $117,388.20 меньше потока проекта В $117,603.00, то выбирать нужно проект В. В случаях вершин G и I ситуация противоположная, так что выбирать нужно проект А. Следовательно, при событии первого года 7.4% выбирается проект В, при двух других событиях – проект А. Поэтому можно провести свертывание дерева решений (рис. 11). Соответствующие финансовые потоки пересчитываем на конец первого года. При этом учитываем дисконтирование сумм конца второго года. Например, для ребра С7.4% (рис. 11) приведенный поток будет, согласно таблице рис. 10, равен $107,400.00 - $107,400.00 + $117,603.00/(1+0.08) = $108,891.67. Финансовые потоки, приведенные к концу первого года и соответствующие дереву рисунка 11, приведены на рисунке 12. На этом закончен

Стр. 5 из 19

Филиал Санкт – Петербургского государственного инженерно – экономического университета в г.

Череповце, Кафедра профессиональных дисциплин

Методические указания к контрольной работе для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Методы и модели в экономике»

первый шаг процедуры усреднения и свертывания. Так как новое дерево содержит вершины с событиями (вершина С), то снова проводим усреднение и свертывание. Поскольку события ребер С7.4%, С10%, С13% равновероятны, то ожидаемое значение потока проекта А составит согласно данных рис. 12: $108,891.67*1/3 + $112,688.89*1/3 + $ 115,804.07*1/3 = $112,461.54. Теперь мы выполним последнее свертывание для ребра 1С (проект А): $-100,000.00 + $112,395.25/(1+0.08) = $4,069.67; для ребра 1D (проект В): $- 100,000.00 + $111,020.83/(1+0.08) = $2,797.07. В результате мы получаем, что в первый год надо выбирать проект А и во второй год при всех событиях тоже следует выбирать проект А для инвестирования.

Оценим риск такого выбора при помощи коэффициента вариации. Для этого нам необходимо рассчитать значения NPV для всех девяти возможностей доходностей проекта А, формирующихся за два года (рис. 8) и соответствующие вероятности. Расчет представлен на рисунке 13. Вероятность рассчитывается по формуле произведения вероятностей, а чистая текущая стоимость по обычной формуле NPV для финансового

$825.62 . Теперь NPV проекта А представлена как дискретная случайная величина, принимающая девять значений с заданными вероятностями, и мы можем вычислить коэффициент вариации (рис. 14). Коэффициент вариации K(NPV) = 0.73 (73%) показывает значительный риск отклонения от ожидаемого значения E(NPV) = $4,131.06. Поэтому ЛПР не склонное к риску может предпочесть гарантированное значение NPV = $2,797.07, связанное с проектом В (нулевой коэффициент вариации).

Теперь обсудим влияние изменения вероятности прибыли первого года в 7.4% на принятие решения, при условии равенства вероятностей двух других значений прибыли первого года. Для этого обозначим через p значение вероятности прибыли 7.4% первого года, тогда вероятности прибылей 10% и 13% будут одинаковы и равны (1-p)/2. Поскольку на принятие решений второго года изменение вероятностей первого года не влияет, то рассмотрение достаточно проводить для дерева, полученного после первой свертки (рис.11). При этом для ребра 1D (выбор проекта В) NPV не изменится: NPV(B) = $2,797.07. Для ребра 1С (выбор проекта А) NPV будет линейно зависеть от p: NPV(A) = -100000 + (108891.67*p + 112688.89*(1-p)/2 + 115804.07*(1-p)/2)/(1+0.08) (данные для вычисления взяты из рис. 12). Найдем критическое значение вероятности pk, при котором NPV(A)=NPV(B). Для этого воспользуемся функцией «подбор параметра». Получим pk = 0.6. Из графика (рис. 15) видно, что при p < pk предпочтительнее проект А, а при p > pk – проект В. Поэтому в условиях задачи принятое решение нечувствительно к вероятности неблагоприятной конъюнктуры 7.4% первого года, так как эта вероятность p = 1/3 значительно отличается от критической pk = 0.6.

Построение доверительных интервалов

При статистическом анализе выборочных данных используется следующая терминология. Исследуемая совокупность объектов называется генеральной совокупностью. Количественный признак, по которому исследуются объекты, считается случайной величиной. Выборкой объема n из генеральной совокупности называется n – мерный случайный вектор, компоненты которого независимы и имеют распределение генерального признака. При составлении выборочных данных условие независимости обеспечивают за счет случайного выбора объектов из генеральной совокупности.

Построение доверительного интервала для среднего генеральной совокупности.

Стр. 6 из 19

Филиал Санкт – Петербургского государственного инженерно – экономического университета в г.

Череповце, Кафедра профессиональных дисциплин

Методические указания к контрольной работе для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Методы и модели в экономике»

параметрами µ и σ 2 / n . Этот факт будем обозначать x N (µ,σ 2 / n) . Поэтому случайная

функция распределения стандартного нормального распределения. Учитывая свойство

(надежность доверительного интервала), 1-γ - уровень значимости доверительного интервала, ε - точность доверительного интервала (полудлина).

Полученные формулы позволяют рассмотреть следующие задачи.

вычисляется с помощью функции НОРМСТРАСП MS Excel.

2) Вычисление доверительного интервала с заданной надежностью. По данным γ, σ, n

помощью функции НОРМСТОБР MS Excel.

3) При заданной надежности определить объем выборки необходимый для обеспечения заданной точности. По данным γ, σ, ε вычисляем необходимый объем выборки

В приведенных формулах мы использовали тот факт, что значение генеральной дисперсии известно. Чаще бывает, что значение генеральной дисперсии неизвестно. Тогда в качестве

этом случайная величина z = sx/−µn t(n −1) , где t(m) распределение Стьюдента с m

степенями свободы. При больших значениях n (рекомендуется n > 30 ) распределение Стьюдента хорошо приближается стандартным нормальным распределением и потому можно использовать методы решения задач 1), 2), 3), заменяя в формулах σ на s .

Стр. 7 из 19

Филиал Санкт – Петербургского государственного инженерно – экономического университета в г.

Череповце, Кафедра профессиональных дисциплин

Методические указания к контрольной работе для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Методы и модели в экономике»

Таким образом, если z (N −1 (α / 2), − N −1 (α / 2)) , то происходит маловероятное событие и гипотезу H0 следует отвергнуть. Заметим, что при малых α (α < 0.5 ): N −1 (α / 2) < 0 . Процедура проверки гипотезы в этом случае состоит в следующем (двусторонняя критическая область): 1) вычислить статистику z ; 2) если z [N −1 (α / 2), − N −1 (α / 2)] , то гипотеза не отвергается, в противном случае гипотеза отвергается.

z > − N −1 (α) , то происходит маловероятное событие и гипотезу H0 следует отвергнуть. Процедура проверки гипотезы в этом случае состоит в следующем (правосторонняя критическая область): 1) вычислить статистику z ; 2) если z ≤ − N −1 (α) , то гипотеза не отвергается, в противном случае гипотеза отвергается.

z < N −1 (α) , то происходит маловероятное событие и гипотезу H0 следует отвергнуть. Процедура проверки гипотезы в этом случае состоит в следующем (левосторонняя критическая область): 1) вычислить статистику z ; 2) если z ≥ N −1 (α) , то гипотеза не

отвергается, в противном случае гипотеза отвергается.

Заметим, что при такой процедуре уровень значимости α равен вероятности отвергнуть гипотезу, если она верна, то есть это вероятность ошибки процедуры. Значения N −1 , − N −1 называются соответственно левым и правым критическими значениями статистики.

Если генеральная дисперсия неизвестна, то статистика z берется в форме z = xs /−µn0 , где

s2 - исправленная выборочная дисперсия. При больших объемах выборки (рекомендуется n > 30 ) используется стандартное нормальное распределение и процедура имеет тот же вид. При малых объемах выборки применяется распределение Стьюдента с (n −1)

степенью свободы. И процедуры применяются с заменой N −1 (α) на t −1 (α;n −1) . При этом функция t −1 (α;m) вычисляется с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР MS Excel по формуле t −1 (α;m) = - СТЬЮДРАСПОБР(2*α; m) при α (0, 0.5) , t −1 (α;m) = СТЬЮДРАСПОБР(2*(1-α); m) при α (0.5,1) .

Задача 5. При проведении проверки расфасовки сахарного песка в пакеты отобраны и взвешены 10 пакетов.

Вес случайно отобранных пакетов

Фирма утверждает, что стандарт фасовки составляет 500 г. Проверка должна выявить выполняет ли фирма стандарт или производит упаковку с недовесом. На уровне значимости 1% а) принять решение считая стандартное отклонение веса упаковки σ = 4 г; б) принять решение, оценивая стандартное отклонение по выборке.

Решение. Основной гипотезой в данном случае является гипотеза равенства среднего веса фасовки пятистам граммам. Поскольку речь идет о проверке недовеса, то альтернативной

Стр. 10 из 19