Математические метод
.pdf
Филиал Санкт – Петербургского государственного инженерно – экономического университета в г.
Череповце, Кафедра профессиональных дисциплин
Методические указания к контрольной работе для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Методы и модели в экономике»
гипотезой является гипотеза о том, что средний вес упаковки меньше пятисот граммов. Так что в данном случае будет применяться процедура проверки гипотезы с левосторонней критической областью. Исходные данные и решение представлены на рисунке 19. В ячейку С12 введена формула вычисления статистики с заданным стандартным отклонением =(СРЗНАЧ($B$5:$K$5)- $D$7)/($D$8/КОРЕНЬ(ЧИСЛСТОЛБ($B$5:$K$5))); в ячейку Е12 введена формула вычисления критического левостороннего значения статистики на основе нормального распределения =НОРМСТОБР($D$9); в ячейку G12 введена формула сравнения значения выборочной статистики с критическим значением =ЕСЛИ(C12<E12;"гипотеза отвергается";"гипотеза не отвергается"); в ячейку С13 введена формула массива вычисления статистики со стандартным отклонением, вычисленным по выборке, =(СРЗНАЧ($B$5:$K$5)-$D$7)/(КОРЕНЬ(СУММ((B5:K5-СРЗНАЧ(B5:K5))^2)/ (ЧИСЛСТОЛБ(B5:K5)-1))/КОРЕНЬ(ЧИСЛСТОЛБ($B$5:$K$5))); в ячейку Е13 введена формула вычисления критического левостороннего значения статистики на основе распределения Стьюдента =-СТЬЮДРАСПОБР(2*D9;ЧИСЛСТОЛБ(B5:K5)-1); в ячейку G13 введена формула сравнения значения выборочной статистики с критическим значением =ЕСЛИ(C13<E13;"гипотеза отвергается";"гипотеза не отвергается"). Анализ показывает, что на уровне значимости 1% фирма справедливо утверждает, что средний вес пакета сахара равен пятистам граммам и нет оснований обвинять ее в недовесе.
Проверка гипотезы о генеральной доле.
При проверке гипотезы о генеральной доле основная гипотеза состоит в том, что генеральная доля равна заданному значению H0 : p = p0 . Альтернативная гипотеза H1
может быть трех видов: p ≠ p0 , p > p0 , p < p0 . Мы принимаем в качестве статистики z = σp −/ pn0 , σ 2 = p(1− p) . Если справедлива гипотеза H0 , то при большом объеме выборки
(рекомендуется n > 30 ) z N(0,1) . Если H1 имеет вид p ≠ p0 , то в качестве маловероятных событий нас интересуют большие отклонения вправо и влево от нулевого
значения статистики z . Эта малая вероятность |
α называется уровнем значимости |
процедуры проверки гипотезы. Таким образом, |
если z (N −1 (α / 2), − N −1 (α / 2)) , то |
происходит маловероятное событие и гипотезу H0 |
следует отвергнуть. Заметим, что при |
малых α (α < 0.5 ): N −1 (α / 2) < 0 . |
|
Процедура проверки гипотезы в этом случае состоит в следующем (двусторонняя критическая область): 1) вычислить статистику z ; 2) если z [N −1 (α / 2), − N −1 (α / 2)] , то гипотеза не отвергается, в противном случае гипотеза отвергается.
Если H1 имеет вид p > p0 , то в качестве маловероятных |
событий нас интересуют |
большие отклонения вправо от нулевого значения статистики |
z . Таким образом, если |
z > − N −1 (α) , то происходит маловероятное событие и гипотезу H0 следует отвергнуть. Процедура проверки гипотезы в этом случае состоит в следующем (правосторонняя
критическая область): |
1) вычислить статистику z ; 2) если z ≤ − N −1 (α) , то гипотеза не |
|
отвергается, в противном случае гипотеза отвергается. |
|
|
Если H1 имеет вид |
p < p0 , то в качестве маловероятных |
событий нас интересуют |
большие отклонения влево от нулевого значения статистики |
z . Таким образом, если |
|
z < N −1 (α) , то происходит маловероятное событие и гипотезу H0 следует отвергнуть.
Стр. 11 из 19
Филиал Санкт – Петербургского государственного инженерно – экономического университета в г.
Череповце, Кафедра профессиональных дисциплин
Методические указания к контрольной работе для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Методы и модели в экономике»
Процедура проверки гипотезы в этом случае состоит в следующем (левосторонняя критическая область): 1) вычислить статистику z ; 2) если z ≥ N −1 (α) , то гипотеза не
отвергается, в противном случае гипотеза отвергается.
Заметим, что при такой процедуре уровень значимости α равен вероятности отвергнуть гипотезу, если она верна, то есть это вероятность ошибки процедуры. Значения N −1 , − N −1 называются соответственно левым и правым критическими значениями статистики.
Задача 6. Маркетинговая служба банка дает оценку в 4% числу ссуд с задолженностями. Проведена выборочная проверка 500 договоров, из которых 25 оказались с задолженностями. Требуется решить на уровне значимости 1% осталась ли оценка прежней или возросла?
Решение. Основной гипотезой в данном случае является гипотеза равенства доли ссуд с
задолженностями четырем процентам. Поскольку речь идет о проверке превышения доли ссуд с задолженностями, то альтернативной гипотезой является гипотеза о том, что доля ссуд с задолженностями больше четырех процентов. Так что в данном случае будет применяться процедура проверки гипотезы с правосторонней критической областью. Исходные данные и решение представлены на рисунке 20. В ячейку А9 введена формула вычисления статистики =(F5/F4-F3)/КОРЕНЬ(F5/F4*(1-F5/F4)/F4); в ячейку С9 введена формула вычисления критического правостороннего значения статистики на основе нормального распределения =-НОРМСТОБР($F$6); в ячейку Е12 введена формула сравнения значения выборочной статистики с критическим значением =ЕСЛИ(A9<=C9;"гипотеза не отвергается";"гипотеза отвергается”). Анализ показывает, что на уровне значимости 1%, число ссуд с просроченной задолженностью превышает четырехпроцентный уровень, декларируемый маркетинговой службой банка.
Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей.
Речь идет о сравнении дисперсий признаков для двух генеральных совокупностей. Если генеральные признаки нормально распределены и имеют равные дисперсии, то статистика
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
f = |
s1 |
, где s12 = |
|
1 |
|
∑1 |
( y1i − |
|
1 )2 , s22 = |
|
1 |
|
∑2 |
( y2i − |
|
2 )2 - исправленные выборочные |
||
|
x |
|
x |
|||||||||||||||
2 |
n |
−1 |
n |
|
−1 |
|||||||||||||
|
s |
2 |
|
= |
|
|
|
2 |
= |
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|||
дисперсии выборок из первой и второй генеральной совокупностей соответственно
объемами n1 , n2 , имеет распределение Фишера |
f F(n1 −1, n2 −1) . Распределение Фишера |
F(m1 , m2 ) имеет два параметра, называемых |
степенями свободы. Это обстоятельство |
позволяет строить процедуры проверки гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей. Основная гипотеза состоит в том, что генеральные дисперсии
равны |
H0 :σ12 |
=σ22 . |
Альтернативная гипотеза |
H1 |
может быть |
|
трех видов: |
|||||||
σ 2 |
≠σ 2 |
, σ 2 |
<σ |
2 |
, σ 2 |
>σ 2 |
. Если справедлива гипотеза H |
0 |
, то f F(n −1, n |
2 |
−1) . Если H |
1 |
||
1 |
2 |
1 |
|
2 |
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|||
имеет вид σ12 ≠σ22 , то в качестве маловероятных событий нас интересуют большие отклонения вправо и влево от значения статистики f равного единице. Эта малая вероятность α называется уровнем значимости процедуры проверки гипотезы. Таким образом, если f (F −1 (α / 2), F −1 (1−α / 2)) , то происходит маловероятное событие и гипотезу H0 следует отвергнуть. В обозначении функции обратной к функции
распределения Фишера мы опустили степени свободы. Полное обозначение
F −1 (•) = F −1 (•; n1 −1, n2 −1) .
Стр. 12 из 19
Филиал Санкт – Петербургского государственного инженерно – экономического университета в г.
Череповце, Кафедра профессиональных дисциплин
Методические указания к контрольной работе для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Методы и модели в экономике»
Процедура проверки гипотезы в этом случае состоит в следующем (двусторонняя критическая область): 1) вычислить статистику f ; 2) если f [F −1 (α / 2), F −1 (1−α / 2)], то гипотеза не отвергается, в противном случае гипотеза отвергается.
Если H1 имеет вид σ12 >σ22 , то в качестве маловероятных событий нас интересуют большие отклонения вправо от единичного значения статистики f . Таким образом, если f > F −1 (1−α) , то происходит маловероятное событие и гипотезу H0 следует отвергнуть. Процедура проверки гипотезы в этом случае состоит в следующем (правосторонняя критическая область): 1) вычислить статистику f ; 2) если f ≤ F −1 (1−α) , то гипотеза не отвергается, в противном случае гипотеза отвергается.
Если H1 имеет вид σ12 <σ22 , то в качестве маловероятных событий нас интересуют
отклонения влево от единичного значения статистики f . |
Таким образом, если |
f < F −1 (α) , то происходит маловероятное событие и гипотезу H0 |
следует отвергнуть. |
Процедура проверки гипотезы в этом случае |
состоит в |
следующем |
(левосторонняя |
критическая область): 1) вычислить статистику |
f ; 2) если |
f ≥ F −1 (α) , |
то гипотеза не |
отвергается, в противном случае гипотеза отвергается.
Заметим, что при такой процедуре уровень значимости α равен вероятности отвергнуть гипотезу, если она верна, то есть это вероятность ошибки процедуры.
При этом функция F −1 (α;m1 ,m2 ) вычисляется с помощью функции FРАСПОБР MS Excel по формуле F −1 (α;m1 ,m2 ) = FРАСПОБР(1-α; m1; m2).
Задача 7. Фирма рассматривает два инвестиционных проекта А и Б. Проект А предполагает инвестирование на срок 12 лет, проект Б на срок 10 лет. Стандартное отклонение ежегодной прибыли для первого проекта 3%, для второго – 4%. Требуется сравнить риски инвестиционных проектов на 5% уровне значимости.
Решение. В данной задаче нас интересует можно ли считать равными дисперсии проектов А и Б или нет. Поэтому будет применяться процедура проверки с двусторонней критической областью. Первая выборка – это двенадцать значений прибыли с известной
дисперсией 3%2 ( n1 =12, σ12 =9 ), вторая выборка – десять значений прибыли с известной дисперсией 4%2 ( n2 =12, σ22 =16 ). Поэтому, считая доходность нормально распределенной, мы можем получить оценки исправленных выборочных дисперсий без
выборочных данных о доходностях s2 |
= |
|
ni |
σ 2 |
, i =1,2 . Исходные данные и решение |
|
n |
|
|||||
i |
|
i |
−1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
представлены на рисунке 21. В ячейку А9 введена формула вычисления статистики
=B3/(B3-1)*D3^2/(B4/(B4-1)*D4^2); в ячейку С9 введена формула вычисления критического левостороннего значения =FРАСПОБР(1-$C$6/2;$B$3;$B$4); в ячейку Е9 введена формула вычисления критического правостороннего значения =FРАСПОБР(1-(1- $C$6/2);$B$3;$B$4); в ячейку G9 введена формула сравнения значения выборочной статистики с критическими значениеми =ЕСЛИ(И(A9<=E9;A9>=C9);"гипотеза не отвергается";"гипотеза отвергается"). Анализ показывает, что на уровне значимости 5%, оба проекта имеют одинаковый риск.
Проверка гипотезы о равенстве средних двух нормальных генеральных совокупностей с известными генеральными дисперсиями.
Стр. 13 из 19
Филиал Санкт – Петербургского государственного инженерно – экономического университета в г.
Череповце, Кафедра профессиональных дисциплин
Методические указания к контрольной работе для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Методы и модели в экономике»
Если генеральные признаки для двух совокупностей нормально распределены и
дисперсии σ12 , σ22 |
известны, то при условии равенства генеральных средних H0 : µ1 = µ2 |
||||
статистика z = |
x1 − x2 |
N(0,1) |
. Это обстоятельство позволяет строить процедуры |
||
|
σ 2 |
+ |
σ |
2 |
|
|
1 |
n |
2 |
|
|
|
n |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
проверки гипотезы о равенстве средних двух генеральных совокупностей. Основная гипотеза состоит в том, что генеральные средние равны H0 : µ1 = µ2 . Альтернативная
гипотеза H1 может быть трех видов: µ1 ≠ µ2 , µ1 < µ2 , µ1 > µ2 . Если H1 имеет вид µ1 ≠ µ2 , то в качестве маловероятных событий нас интересуют большие отклонения вправо и влево от нулевого значения статистики z . Эта малая вероятность α называется уровнем
значимости |
процедуры |
проверки |
гипотезы. |
Таким |
образом, |
если |
z (N −1 (α / 2), N −1 (1−α / 2)) , то |
происходит |
маловероятное событие |
и гипотезу |
H0 |
||
следует отвергнуть.
Процедура проверки гипотезы в этом случае состоит в следующем (двусторонняя критическая область): 1) вычислить статистику z ; 2) если z [N −1 (α / 2), N −1 (1−α / 2)], то гипотеза не отвергается, в противном случае гипотеза отвергается.
Если H1 имеет вид µ1 > µ2 , то в качестве маловероятных событий нас интересуют большие отклонения вправо от нулевого значения статистики z . Таким образом, если z > N −1 (1−α) , то происходит маловероятное событие и гипотезу H0 следует отвергнуть. Процедура проверки гипотезы в этом случае состоит в следующем (правосторонняя критическая область): 1) вычислить статистику z ; 2) если z ≤ N −1 (1−α) , то гипотеза не отвергается, в противном случае гипотеза отвергается.
Если H1 имеет вид µ1 < µ2 , то в качестве маловероятных событий нас интересуют отклонения влево от нулевого значения статистики z . Таким образом, если z < N −1 (α) , то происходит маловероятное событие и гипотезу H0 следует отвергнуть.
Процедура проверки гипотезы в этом случае состоит в следующем (левосторонняя критическая область): 1) вычислить статистику z ; 2) если z ≥ N −1 (1−α) , то гипотеза не
отвергается, в противном случае гипотеза отвергается.
Заметим, что при такой процедуре уровень значимости α равен вероятности отвергнуть гипотезу, если она верна, то есть это вероятность ошибки процедуры.
Проверка гипотезы о равенстве средних двух нормальных генеральных совокупностей с неизвестными генеральными дисперсиями.
В этом случае различны подходы для случаев, когда генеральные дисперсии равны и не равны. Равенство дисперсий проверяется при помощи F – процедуры с двусторонней критической областью.
Если генеральные дисперсии равны, то при условии равенства средних статистика
z = |
x1 − x2 |
|
, s2 = |
n |
1 |
−2 |
(n1s12 |
+n2 s22 )распределена по закону Стьюдента с n1 + n2 - 2 |
||
s |
1 |
1 |
|
+n |
2 |
|
|
|||
|
+ n |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
степенями свободы. Поэтому проверка гипотезы проводится по той же схеме, что и при известных дисперсиях, но с использованием функции распределения Стьюдента
t(•, n1 +n2 −2) вместо нормальной функции распределения.
Стр. 14 из 19
Филиал Санкт – Петербургского государственного инженерно – экономического университета в г.
Череповце, Кафедра профессиональных дисциплин
Методические указания к контрольной работе для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Методы и модели в экономике»
Если генеральные дисперсии не равны, то рекомендуется использовать статистику
z = x1 − x2 |
, которая имеет близкое к нормальному распределение при большом объеме |
||
s2 |
+ |
s |
2 |
1 |
|
2 |
|
n |
|
n |
2 |
1 |
|
|
|
выборок. Поэтому проверка гипотезы проводится по той же схеме, что и при известных дисперсиях.
Задача 8. Две производственные линии выпускают проволоку с номиналом диаметра сечения 2 мм. Произведены замеры 11 мотков проволоки первой линии и 14 мотков – второй линии.
Замеры диаметров мотков проволоки (мм)
Номер |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
мотка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проволоки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линия |
1.93 |
1.98 |
2.01 |
2.06 |
2.12 |
2.03 |
2.04 |
2.09 |
1.95 |
2.06 |
1.94 |
|
|
|
Вторая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линия |
2.07 |
1.92 |
2.03 |
2.10 |
1.96 |
2.01 |
1.98 |
2.03 |
1.96 |
1.99 |
2.06 |
2.03 |
1.90 |
1.96 |
Требуется на уровне значимости 5% принять решение о равенстве среднего диаметра проволоки для двух линий а) при известных стандартных отклонениях диаметров σ1 =
0.03 мм для первой линии, σ2 = 0.07 мм – для второй; б) при стандартных отклонениях, оцениваемых по выборкам.
Решение. В данной задаче нас интересует можно ли считать равными диаметры проволок двух производственных линий. Поэтому будет применяться процедура проверки с двусторонней критической областью. Первая выборка – это одиннадцать мотков, измеренных для первой линии, вторая – четырнадцать мотков для второй линии. Поэтому, считая диаметр нормально распределенным, мы можем воспользоваться известными значениями дисперсий диаметров для построения статистики и проверить гипотезу равенства средних диаметров проволоки на линиях с двусторонней критической областью. Если предположить, что дисперсии неизвестны, то сначала надо проверить гипотезу равенства дисперсий, а затем применять процедуру либо для равных дисперсий, либо для неравных дисперсий. Исходные данные и решение представлены на рисунке 22. В ячейку Е15 введена формула вычисления статистики при известных дисперсиях
=(СРЗНАЧ(C5:M5)-СРЗНАЧ(C6:P6))/КОРЕНЬ(H8^2/ЧИСЛСТОЛБ(C5:M5)+H9^2/
ЧИСЛСТОЛБ(C6:P6)); в ячейку G15 введена формула вычисления критического левостороннего значения =НОРМСТОБР($G$11/2); в ячейку J15 введена формула вычисления критического правостороннего значения =НОРМСТОБР(1-$G$11/2); в ячейку М15 введена формула сравнения значения выборочной статистики с критическими значениями =ЕСЛИ(И(E15<=J15;E15>=G15);"гипотеза не отвергается";"гипотеза отвергается"). Далее в строке 16 производится проверка равенства дисперсий. В ячейку Е16 введена формула F – статистики =ДИСП(C5:M5)/ДИСП(C6:P6); в ячейку G16 левостороннее критическое значение =FРАСПОБР(1-$G$11/2;ЧИСЛСТОЛБ($C$5:$M$5); ЧИСЛСТОЛБ($C$6:$P$6)); в ячейку J16 – правостороннее критическое значение
=FРАСПОБР(1-(1-$G$11/2);ЧИСЛСТОЛБ($C$5:$M$5);ЧИСЛСТОЛБ($C$6:$P$6)); в
ячейку М16 – формула проверки гипотезы =ЕСЛИ(И(E16<=J16;E16>=G16);"да";"нет"). В строке 17 введены формулы проверки гипотезы о равенстве средних в зависимости от результата в ячейке М16. В ячейку Е17 введена формула статистики =
ЕСЛИ(M16="да";(СРЗНАЧ(C5:M5)-СРЗНАЧ(C6:P6))/КОРЕНЬ((1/ЧИСЛСТОЛБ(C5:M5)+
Стр. 15 из 19
Филиал Санкт – Петербургского государственного инженерно – экономического университета в г.
Череповце, Кафедра профессиональных дисциплин
Методические указания к контрольной работе для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Методы и модели в экономике»
1/ЧИСЛСТОЛБ(C6:P6))*(ЧИСЛСТОЛБ(C5:M5)*ДИСП(C5:M5)+ЧИСЛСТОЛБ(C6:P6)* ДИСП(C6:P6))/(ЧИСЛСТОЛБ(C5:M5)+ЧИСЛСТОЛБ(C6:P6)));(СРЗНАЧ(C5:M5)-
СРЗНАЧ(C6:P6))/КОРЕНЬ(ДИСП(C5:M5)/ЧИСЛСТОЛБ(C5:M5)+ДИСП(C6:P6)/ЧИСЛСТ ОЛБ(C6:P6))); в ячейку G17 – формула левостороннего критического значения
=ЕСЛИ($M$16="да";-СТЬЮДРАСПОБР(2*$G$11/2;ЧИСЛСТОЛБ($C$5:$M$5)+
ЧИСЛСТОЛБ($C$6:$P$6)-2);НОРМСТОБР($G$11/2)); в ячейку J17 – формула правостороннего критического значения =ЕСЛИ($M$16="да";СТЬЮДРАСПОБР(2*(1-(1- $G$11/2));ЧИСЛСТОЛБ($C$5:$M$5)+ЧИСЛСТОЛБ($C$6:$P$6)-2);НОРМСТОБР(1- $G$11/2)); в ячейку М17 – формула проверки гипотезы =ЕСЛИ(И(E17<=J17;E17>=G17); "гипотеза не отвергается";"гипотеза отвергается"). Анализ показывает, что на уровне значимости 5%, при известных дисперсиях следует считать средние диаметры проволок линий одинаковыми; при неизвестных дисперсиях следует считать дисперсии равными и диаметры проволок одинаковыми.
Проверка гипотезы о равенстве генеральных долей.
Если две выборки из генеральных совокупностей с бинарным признаком имею достаточно большие объемы (рекомендуется объем каждой выборки больше 30), то статистика
z = ( p1 − p2 ) |
p1 (1− p1 ) + p2 (1− p2 ) при условии равенства генеральных долей |
|
|
n1 |
n2 |
H0 : p1 = p2 |
имеет приближенно стандартное нормальное распределение N(0,1) . Это |
|
обстоятельство позволяет строить процедуры проверки гипотезы о равенстве долей двух генеральных совокупностей. Основная гипотеза состоит в том, что генеральные доли
равны H0 : p1 = p2 . Альтернативная |
гипотеза H1 |
может быть |
трех видов: |
p1 ≠ p2 , p1 < p2 , p1 > p2 . Если H1 имеет |
вид p1 ≠ p2 , |
то в качестве |
маловероятных |
событий нас интересуют большие отклонения вправо и влево от нулевого значения
статистики z . Эта |
малая вероятность α |
называется уровнем значимости |
процедуры |
проверки гипотезы. |
Таким образом, если |
z (N −1 (α / 2), N −1 (1−α / 2)) , то |
происходит |
маловероятное событие и гипотезу H0 следует отвергнуть.
Процедура проверки гипотезы в этом случае состоит в следующем (двусторонняя критическая область): 1) вычислить статистику z ; 2) если z [N −1 (α / 2), N −1 (1−α / 2)], то гипотеза не отвергается, в противном случае гипотеза отвергается.
Если H1 имеет вид p1 > p2 , то в качестве маловероятных событий нас интересуют большие отклонения вправо от нулевого значения статистики z . Таким образом, если z > N −1 (1−α) , то происходит маловероятное событие и гипотезу H0 следует отвергнуть. Процедура проверки гипотезы в этом случае состоит в следующем (правосторонняя критическая область): 1) вычислить статистику z ; 2) если z ≤ N −1 (1−α) , то гипотеза не отвергается, в противном случае гипотеза отвергается.
Если H1 имеет вид p1 < p2 , то в качестве маловероятных событий нас интересуют отклонения влево от нулевого значения статистики z . Таким образом, если z < N −1 (α) , то происходит маловероятное событие и гипотезу H0 следует отвергнуть.
Процедура проверки гипотезы в этом случае состоит в следующем (левосторонняя критическая область): 1) вычислить статистику z ; 2) если z ≥ N −1 (1−α) , то гипотеза не отвергается, в противном случае гипотеза отвергается.
Стр. 16 из 19
Филиал Санкт – Петербургского государственного инженерно – экономического университета в г.
Череповце, Кафедра профессиональных дисциплин
Методические указания к контрольной работе для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Методы и модели в экономике»
Заметим, что при такой процедуре уровень значимости α равен вероятности отвергнуть гипотезу, если она верна, то есть это вероятность ошибки процедуры.
Задача 9. Туристическая фирма проводит внутренний аудит договоров на оказание услуг. За прошлый год были выбраны пятьдесят договоров, из которых по пяти договорам имелись рекламации, за текущий год из девяноста выбранных договоров по семи имелись рекламации. Можно ли на основе этих данных сделать вывод об улучшении обслуживания фирмой на уровне значимости 5%.
Решение. В данном случае при проверке гипотезы равенства долей договоров с рекламациями за предыдущий год и текущий год нас интересует улучшение обслуживания клиентов, так что для основной гипотезы H0 : p1 = p2 альтернативной
гипотезой будет H1 : p1 > p2 . Поэтому будем использовать процедуру с правосторонней
критической областью. Исходные данные и решение задачи изображены на рисунке 23. В ячейку А10 введена формула вычисления статистики =(E4/C4-E5/C5)/КОРЕНЬ(E4/C4*(1- E4/C4)/C4+E5/C5*(1-E5/C5)/C5); в ячейку С10 введена формула вычисления критического правостороннего значения =НОРМСТОБР(1-$G$7); в ячейку F10 введена формула сравнения значения выборочной статистики с критическим значением =ЕСЛИ(A10<=C10;"гипотеза не отвергается";"гипотеза отвергается"). Анализ показывает, что на уровне значимости 5% нельзя сделать вывод об уменьшении доли договоров с рекламацией, то есть улучшения обслуживания не произошло.
Проверка гипотезы о зависимости признаков – непараметрический критерий хиквадрат.
Рассмотрим генеральную совокупность относительно двух признаков x1 и x2 . Мы хотим по выборочным данным решить - зависимы эти признаки или нет. По выборке объема n
из генеральной совокупности ( y1k , y2k ), k =1,...,n |
построим |
матрицу |
сопряженности |
|
признаков. Интервал значений первого признака разобьем на |
r частей, |
второго – |
на c |
|
частей. Обозначим через: nij , i =1,...,r, j =1,...,c |
количество |
элементов |
выборки, |
для |
которых значение первого признака попало в i -ый интервал и значение второго признака
попало в |
j -ый |
интервал; |
ni = ∑c |
nij , i =1,...,r, |
- |
количество элементов |
выборки, для |
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
которых |
значение |
первого |
признака попало в |
i |
-ый интервал; n j = ∑r |
nij , j =1,...,c, - |
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
количество элементов выборки, для которых значение второго признака попало в j -ый
интервал. Ясно, что ∑r |
ni = ∑c |
n j = n . Целочисленная матрица {nij } называется матрицей |
i=1 |
j=1 |
|
сопряженности признаков, а ее элементы частотами. Теоретические относительные
частоты попадания признака x1 в |
i |
-ый интервал принимаются равными |
pi = ni / n, i =1,...,r . Если предположить, |
что |
признаки независимы, то можно подсчитать |
теоретические частоты элементов выборки, для которых значение первого признака
попало в |
i -ый интервал и значение второго признака попало в |
j |
-ый интервал, по |
|||
|
r,c |
(n |
− f |
ij |
)2 |
|
формуле |
fij = pi n j , i =1,...,r, j =1,...,c . При этом статистика z = ∑ |
ij |
|
|
будет тем |
|
|
fij |
|
|
|||
|
i=1, j=1 |
|
|
|
|
|
Стр. 17 из 19
Филиал Санкт – Петербургского государственного инженерно – экономического университета в г.
Череповце, Кафедра профессиональных дисциплин
Методические указания к контрольной работе для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Методы и модели в экономике»
меньше, чем меньше наблюдаемые частоты nij отличаются от теоретических fij . Это дает возможность по величине статистики судить о независимости признаков. Рекомендуется
применять критерий χ2 при n >100 и |
fij >5. Последнее условие достигается за счет |
|
укрупнения интервалов разбиения. |
|
|
Известно, |
что статистика z хорошо приближается χ2 ((r −1)(c −1)) распределением, где |
|
χ2 (m) - |
хи-квадрат распределение с |
m степенями свободы. Это дает возможность |
построить правостороннюю критическую область для проверки гипотезы о независимости признаков при альтернативной гипотезе о зависимости признаков. При условии независимости маловероятными будут большие значения статистики z , поэтому
критическая область определяется неравенством z > (χ2 )−1 (1−α) . Процедура проверки гипотезы в этом случае состоит в следующем (правосторонняя критическая область): 1)
вычислить статистику z ; 2) если z ≤ (χ2 )−1 (1−α) , то гипотеза не отвергается, в противном
случае гипотеза отвергается. Заметим, что при такой процедуре уровень значимости α равен вероятности отвергнуть гипотезу, если она верна, то есть это вероятность ошибки процедуры.
При этом функция (χ2 )−1 (α;m) вычисляется с помощью функции ХИ2ОБР MS Excel по формуле (χ2 )−1 (α;m) = ХИ2ОБР(1-α; m).
Задача 10. Компания имеет четыре предприятия. Менеджмент оценивает возможность введения уровня зарплаты в зависимости от производительности труда. Для этого проведены выборочные опросы сотрудников, результаты которых приведены в таблице.
Данные о количестве сотрудников «за» «против» предложения менеджмента в зависимости от предприятия
Предприятие |
I |
II |
III |
IV |
Мнение |
|
|
|
|
За |
70 |
40 |
50 |
40 |
Против |
20 |
35 |
45 |
40 |
Требуется выяснить имеются ли различия в мнениях сотрудников на разных предприятиях уровне значимости 1%.
Решение. В данном случае первый признак – это номер предприятия, а второй – это мнение. Группировки выборочных данных не требуется, так как они уже сгруппированы в таблицу сопряженности, причем r = 4, c = 2 . Представление исходных данных изображено
на рисунке 24, а решение задачи на рисунке 25. В ячейки С13:F14 введены формулы теоретических частот. Для С13 формула имеет вид =$G5/$G$7*C$7 и копируется протягиванием в остальные ячейки блока. В ячейку А18 введена формула массива вычисления выборочной статистики =СУММ((C5:F6-C13:F14)^2/C13:F14); в ячейку F18 введена формула сравнения выборочной статистики с критическим значением =ЕСЛИ(A18<=C18;"гипотеза не отвергается";"гипотеза отвергается"). Анализ показывает, что на уровне значимости 1% мнения работников предприятий различаются. Для выяснения подробностей составлена таблица разностей между наблюдаемыми и теоретическими частотами (А21:F23 на рисунке 25). Из нее видно, что наибольшее различие в мнениях наблюдается у работников первого предприятия. Это различие благоприятно для администрации. Наиболее сложное положение на четвертом
Стр. 18 из 19
Филиал Санкт – Петербургского государственного инженерно – экономического университета в г.
Череповце, Кафедра профессиональных дисциплин
Методические указания к контрольной работе для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Методы и модели в экономике»
предприятии. С его сотрудниками следует в первую очередь проводить разъяснительную работу.
Стр. 19 из 19