7. Задача распределения транспортных потоков

Задачи этого типа составляют класс моделей, используемых для решения вопросов оптимизация перевозок. В них, как правило, разыскивается оптимальный план перевозок между некоторой совокупностью производителей и потребителейоднородного продукта. Предполагается, что каждый поставщикспособен поставить в транспортную сеть не более чемединиц продукта, а каждый потребительдолжен получить не менее, чемединиц. Критерии могут быть различными, но наиболее часто минимизируется сумма транспортных затрат.

Существуют две основные формулировки этой задачи: в матричной и сетевой формах. При постановке в матричной форме задачи распределения транспортных потоков сводятся к транспортной задаче линейного программирования. При сетевой постановке задачи ее условия определяются на ориентированном мультиграфе с множествами узлов и ориентированных дугс тем условием, что не пусты подмножествавсех дуг, входящих в узели- всех дуг, выходящих из узла. Такая система называется транспортной сетью.

Через обозначим величину потока на дугев соответствии с ее ориентацией и через- коэффициент транспортных затрат. Тогда транспортная задача в сетевой форме описывается соотношениями

(7.1.)

, ,. (7.2.)

Для разрешимости задачи необходимо

. (7.3.)

Говорят, что величиной при положительном знаке определяется мощность стока, а при отрицательном – мощность источника. Кроме того, в сети могут быть транзитные узлы, для которых.

В случае, когда неравенство (7.3.) выполнено строго, модель называется открытой, при выполнении же (7.3.) как равенства – закрытой (замкнутой). Присоединяя к открытой задаче сток с мощностью и соединяя его ориентированными дугами со всеми источниками, можно перейти от открытой задачи к закрытой. Для их эквивалентности достаточно потребовать, чтобы на всех дополнительных дугах коэффициенты транспортных затрат были равны нулю. Иногда этот же прием используют и в несовместной задаче, присоединяя ко всем ее стокам источник с мощностью. Затраты на дополнительных дугах в этом случае должны вводится из экономических соображений. Например, вследствие высокой стоимости приобретения продукта со стороны. Задачи распределения транспортных потоков в сетевой постановке с одним источником и одним стоком единичной мощности, расположенными в некоторых вершинах сети , представляют собой задачу о минимальном маршруте.

Иногда – при отождествлении величины с расстояниями на дугах- говорят также о маршрутах минимальной длины.

Если сеть моделирует реальную структуру перевозок, то транспортные сети должны рассчитываться в соответствии с тарифами. Обычно тариф представляет функцию , монотонно не убывающую с ростом дальности перевозоки субаддитивную, т.е. если, то имеет место равенство

. (7.4.)

В силу (7.4.) нельзя определить на дугах сети никакой системы коэффициентов транспортных затрат с тем, чтобы сумма их на любой последовательности дуг соответствовала тарифу. Поэтому задача распределения транспортных потоков обычно ставится в два этапа. На первом в реальной конфигурации сети определяют маршрут минимальной длины между всеми возможными парами поставщик – потребитель и по полученному набору дальностей – тарифные стоимости перевозок. Затем на втором этапе ставится транспортная задача в матричной форме.

В сетевой задаче обычно существует много различных маршрутов, связывающих пару узлов сети. Поэтому она допускает ограничения на пропускные способности дуг

(7.5.)

Отмечая на сети два узла , можно дополнить условия (7.2.), (7.5.) равенствами

,

и заменить критерий (7.1.) требованием .

Эта модель известна как задача о максимальной пропускной способности сети.