2. Транспортная задача

Транспортная задача является одной из частных задач математического программирования, и широко используется при экономико-математическом моделировании распределения ресурсов, заданий на выпуск продукции и размещении производства.

Простейший вариант – однопродуктовая транспортная задача линейного программирования в матричной постановке:

, ,; (2.1.)

, ; (2.2.)

, ; (2.3.)

. (2.4.)

При стандартной интерпретации задачи (2.1. - 2.4.) предполагается, что в пунктах отправления (иначе предприятиях-производителях, складах, источниках и т.п.) имеет однородный продукт, причем в пункте в количествеединиц. Этот продукт следует распределить между пунктами назначения (иначе предприятиями-потребителями, получателями, стоками и т.п.). Причем потребность пунктасоставляетединиц, так чтобы минимизировать транспортные издержки;- затраты на перевозку единицы груза изи(обычно в денежном выражении, номожет также выражать затраты времени);- объем перевозки изв.

Условия (2.1.) требуют неотрицательности значений искомых объемов всех перевозок, (2.2.) – фиксируют, что из каждого пункта отправления можно вывести не больше, чем там имеется, (2.3.) – в каждый пункт назначения следует доставить необходимый объем. Для разрешимости задачи (2.1. – 2..4.) необходимо и достаточно выполнения соотношения

, (2.5.)

т.е. общая потребность в продукте не должна превосходить его наличия.

При неравенствах (2.2., 2.3.) транспортная задача называется открытой, если же вместо них используются аналогичные уравнения – то замкнутой. Переход от открытой задачи к замкнутой достигается стандартным для линейного программирования приемом: введением во все неравенства (2.2., 2.3.) искусственных переменных. Эта операция в случае транспортной задачи имеет ясный смысл: она равносильна включению дополнительного пункта назначения () с потребностью

и нулевыми затратами на доставку из любого пункта отправления: при всех. Условие разрешимости для замкнутой задачи – равенство, аналогичное (2.5.).

Эта интерпретация представляет задачу (2.1. – 2.4.) как задачу о прикреплении поставщиков к потребителям, транспортный процесс в ней не отражен, учитываются лишь его обобщенные нормативные характеристики. А именно, удельные затраты на перевозки . Аналогично обстоит дело и при других интерпретациях. Так что название «транспортная» не отражает экономического содержания задачи в матричной постановке.

При использовании задачи (2.1. – 2.4.) в текущем планировании производства под пунктом отправления обычно понимают производящие однородную продукцию предприятия, среди которых следует распределить заказы на эту продукцию, трактуется как производственная мощность. В (2.1. – 2.4.) предполагается, что на каждом предприятии производственные затраты на единицу продукции не зависят от объема выпуска. В замкнутой транспортной задаче мощности загружены полностью. И тем самым объемы выпуска фиксированы заранее. В открытой транспортной задаче дифференциация может быть учтена при модификации функции цели (2.4.). А именно, согласно планупредприятиевыпускает продукцию в объеме. Еслиудельные затраты предприятияна производство продукции, то предполагая линейность зависимости затрат от объема производства, получаемдля общего объема производственных затрат и (2.4.) можно заменить на

, (2.6.)

что с точки зрения вычисления решения задачи и его математических свойств равносильно исходной постановке.

При использовании транспортной задачи в планировании размещения производства применяется только открытый вариант, рассматриваются пункты возможного размещения предприятий, трактуется как предельно возможная производственная мощность в пункте. Совместный учет капитальных и текущих затрат возможен посредством модификации (2.4.), аналогично уже рассмотренной (2.6.), например, с помощью показателя приведенных затрат. Пусть в дополнение к уже введенным обозначениям,- удельные капитальные вложения (в расчете на единичный прирост мощностей) в пункте,- нормативный коэффициент эффективности капитальных вложений. Тогда вместо (2.4.) вводится

. (2.7.)

Транспортная задача обладает рядом свойств, облегчающих ее численное решение, математическое исследование и экономическое осмысление результатов в сравнении с общей задачей линейного программирования. Так если все и- целые, то существует и оптимальное решениев целых числах. Специальные алгоритмы решения транспортной задачи требуют существенно меньших затрат времени и объема памяти компьютера, чем универсальные алгоритмы линейного программирования, например, симплексный метод, примененные к той же задаче.

Если продукты не обладают однородностью или присутствуют другие особенности, используется многоиндексная транспортная задача, которая является задачей линейного программирования специального вида. К трехиндексной транспортной задаче относится любая из двух приведенных ниже. Первая задача называется планарной трехиндексной транспортной задачей, вторая – аксиальной (функционал и ограничения первой и второй задачи помечены соответственно римскими цифрами I и II). Требуется минимизировать

(I),(II)

при ограничениях

, , (I)

, , (I)

, , (I)

, ,, (II)

, ,, (II)

, ,, (II)

, ,,, (I), (II)

где - заданные вещественные числа,- натуральные числа не меньше двух.

Планарная трехиндексная задача возникает, например, при транспортировке грузов, когда помимо пунктов производства и потребления необходимо учитывать дополнительный фактор (неоднородность продукта, различия в видах транспорта и т.п.). К трехиндексной аксиальной задаче сводятся задачи транспортировки, в которых пункты производства выпускают некоторый полуфабрикат, требующий определенной обработки перед поступлением к потребителям. Обработка производится в промежуточных пунктах.