6.Деревья и сфера их применения

Одним из наиболее часто используемых в разнообразных приложениях теории графов является дерево. Дерево - это конечный неориентированный связный граф без циклов. Основным отличием дерева, является то, что всякая пара вершин в этом графе соединена цепью и притом только одной. Если - число вершин в дереве, то число ребер в нем равно. Если двигаться из произвольной вер­шины дерева, не проходя повторно ни по одному из ребер, то через конечное количество шагов движение закончится в вершине, кото­рой соответствует только одно ребро. Такие вершины называются висячими. Любую вершину в дереве допустимо принять за корень, т.е. объявить начальной. При этом все множество вершин дерева можно разбить на подмножества, соответствующие уровням. Корню присваивается уровень 0, а уровень любой другой вершины равен числу ребер в соединяющей ее с корнем цепи. На рис. 8.6.1. изображено одно и то же дерево, однако в качестве корня выбраны три различных вершины.

Дерево на рис.6.1.слева содержит шесть уровней, начиная с нуля, в центре – три, права – четыре уровня. Деревья с фиксиро­ванным корнем является удобным представлением иерархии. При анализе иерархических связей в организационных структурах управления и в других подобных случаях из графа, представляю­щего структуру в целом, выделяют иерархические подграфы, каж­дый из которых также является деревом.

Рис. 6.1. Граф – дерево, в котором в качестве корня вы­браны три разные вершины.

Если в полном графе каждому ребру поставлена в соответст­вие числовая характеристика, например, длина, время или стои­мость, и требуется найти такой связанный частичный граф, у кото­рого сумма характеристик ребер минимальна, то решение этой за­дачи – является деревом. Данное свойство определяет применение деревьев в обширном классе технических и экономических задач оптимизации, в частности при проектировании связных сетей ком­муникации наименьшей общей протяженности или стоимости. Другие подобные свойства деревьев обуславливают их широкое использование при построении экономных алгоритмов, особенно в комбинаторных методах, информационном поиске.

С помощью деревьев часто представляются при­меняемые в самых разнообразных областях (особенно в задачах классификации) процедуры последовательного разбиения задан­ного множества на подмножества (классы), при этом выделенные подмножества, в свою очередь, разбиваются на части и т.д. Естест­венно, что корень дерева соответствует исходному множеству, а висячие элементы – подмножествам исходного множества, не под­лежащим дальнейшему разбиению. В такую схему укладываются все процедуры строгой классификации. Последовательно вложен­ные одно в другое подмножества (классы) соответствуют цепям де­рева, начинающимся с корня. Эта схема построения дерева, обычно называемая процессом ветвления, вполне адекватно представляет и различные процедуры последовательного установления соответст­вий, когда некоторому исходному объекту (он изображается корнем дерева) соотносят конечное множество каких-либо элементов, не­которым из них (или всем) – множества других элементов и т.д. Дерево целей и дерево свойство естественно рассматривать как ре­зультат процедуры разбиения, а дерево проблем часто удобнее трактовать в качестве итога последовательного установления соот­ветствий.

Построения, в настоящее время формализуемые с помощью понятия «дерево», встречались в различных областях науки задолго до разработки теории графов и строгого введения в ней этого поня­тия. В частности, генеалогические деревья были заботой историков и аристократов с давних пор. В первой половине 17 века француз­ский философ и математик Р. Декарт, один из основателей рацио­нализма Нового времени, определяя принципы научного мышле­ния, подчеркивал продуктивность разделения сложных проблем на более простые составляющие, причем полагал, что этот процесс следует продолжать, пока возможно. Двумя десятилетиями позже английский философ Т. Гоббс пользовался построением, которое теперь назвали бы деревом целей. В первой половине 18 века шведский естествоиспытатель К. Линней создал первую научную классификацию биологических видов, фактически используя идею бинарного дерева, т.е. такого, у которого каждому элементу, кроме висячих, на следующем уровне соответствует два элемента. Рассу­ждения об иерархиях именно как дерева встречаются в трактате французского политического мыслителя, философа и писателя Ж.-Ж. Руссо «Об общественном договоре» (1762 год). В 19 веке оформляется в самостоятельное направление математики теория графов, и дальнейшее изучение деревьев и подобных структур про­исходит в рамках этой теории. Само понятие «дерево» определил и ввел в научную терминологию английский математик А. Кэли (1857 год).

Рассмотрим боле подробно, различные применения деревьев:

• дерево проблем;

• дерево свойств;

• дерево целей.

Дерево проблем это специальный граф, используемый для анализа возможности решения сложной проблемы на основе ее де­композиции. Этот анализ может осуществляться в разных аспектах. Например:

• Для выявления тех локальных проблем, совокупность кото­рых отражает сущность исходной сложной проблемы. В этом случае дерево проблем фактически может рассматри­ваться как разновидность дерева целей.

• Для выявления набора средств, с помощью которых может быть обеспечено решение исходной проблемы. В этом слу­чае дерево проблем может рассматриваться как разновид­ность дерева «цели - средства» или дерева мероприятий;

• Для выбора оптимального набора средств, обеспечивающего решение исходной сложной проблемы. В этом случае дерево проблем может рассматриваться как разновидность дерева решений;

• Для распределения ресурсов (например, финансовых), выде­ляемых для решения отдельных подпроблем сложной про­блемы. В этом случае дерево проблем может рассматри­ваться как разновидность дерева относительной важности;

• Для прогнозирования возможности решения отдельных под­проблем сложной проблемы. В этом случае дерево проблем может рассматриваться как разновидность дерева прогно­зов.

Понятийный аппарат и методология построения дерева про­блем адаптируются применительно к тем видам деревьев, разно­видностью которых может быть дерево проблем.

Особенно широкое применение нашли деревья в квалиметрии. Квалиметрия (от лат. quails – какой, какого качества и древнегреч. - мерить, измерять) изучает методологию и проблематику ко­личественной оценки качества различных объектов (объектов, про­цессов). Зарождение квалиметрии было обусловлено появлением в первой половине ХХ века в экономически развитых странах много­численных эмпирических методик количественной оценки качества (главным образом качества продукции) и необходимостью науч­ного обоснования, а также повышения точности и надежности этих методик. Термин «квалиметрия» был предложен в конце 1960-х го­дов группой отечественных ученых, выявивших методологическую общность различных способов количественной оценки качества и необходимость их теоретического обобщения.

Квалиметрия подразделяется на теоретическую и прикладную. Теоретическая квалиметрия абстрагируется от конкретных объек­тов и изучает общие закономерности и проблемы, связанные с ко­личественной оценкой качества объектов любой природы. При­кладная квалиметрия разрабатывает методы количественной оценки качества, учитывающие специфику конкретных объектов (видов продукции или деятельности, категорий специалистов). Ко­нечная цель квалиметрии – разработка и совершенствование мето­дик, с помощью которых качество конкретного оцениваемого объ­екта может быть выражено числом, характеризующим степень удовлетворения данным объектом, соответствующей общественной или личной потребности. Основные принципы, на которых базиру­ются методы квалиметрии:

1. Качество – совокупность тех имманентных свойств объ­екта, которые проявляются при его использовании (потреб­лении, эксплуатации) в соответствии с его назначением и характеризуют не понесенные затраты, а достигаемые ре­зультаты.

2. Имманентные свойства, указанные в предыдущем пункте, подразделяются по

• степени сложности – на сложные (разложимые на другие, ме­нее сложные свойства) и простые (неразложимые на них);

• отношению к процессу удовлетворения потребностей – на по­требительские свойства, при посредстве которых удовле­творяются отдельные потребности, и свойства надежности, при посредстве которых проявляются свойства объекта (на­пример, к свойствам надежности в отношении объектов, яв­ляющихся продуктами труда, относятся: сохраняемость, безотказность, долговечность, ремонтопригодность).

3. Отдельные свойства (все простые и некоторые сложные) мо­гут быть измерены в специфических для каждого свой­ства единицах измерения. В результате такого измерения определяются значения абсолютных показателей свойств (иногда используют обозначение),,- количество свойств объекта. Эти измерения могут быть произведены методами:

• метрологии (измерение массы, прочности и т.п.);

• экспериментальной психологии (экспертное измерение эсте­тических, некоторых эргономических и экологических свойств);

• аналитическими, когда известна функциональная зависи­мость между абсолютными показателями сложного свойства и составляющими его менее сложных свойств (например, при определении годовой производительности транспорт­ного средства). В последнем случае сложное свойство назы­вается квазипростым.

4. Взаимосвязь между качеством и определяющими его свойст­вами – сложными, квазипростыми и простыми – мо­жет быть представлена в виде иерархической структуры, самому высокому уровню которой соответствует качество, как наиболее общее для баланса свойство объекта. Элемен­там самого низкого уровня соответствуют простые и квази­простые свойства. Свойства надежности в дерево свойств не включаются.

5. Каждое простое или квазипростое свойство характеризу­ется относительным показателем, выражающем уровень проявления свойства относительно некоторого эталонного (базового) значения и браковочногопоказателей:. Величиныиотражают уровень ме­няющихся во времени общественных потребностей. Таким образом, относительный показательхарактеризует сте­пень удовлетворения потребности в данном свойстве объ­екта. Значения показателейдля одного и того же объекта (т.е. при неизменных значениях) могут изменяться (как правило, ухудшаться) со временем по мере роста общест­венных потребностей. Это находит свое выражение в изменении значений показателейи.

6. Каждое простое или сложное свойство объекта количест­венно характеризуется своей весомостью (важностью) среди всех остальных свойств – коэффициентом весомости свойства (иногда используется символ). Для определе­ния значений этих коэффициентов применяются две группы методов – экспертные и неэкспертные (анали­тические).

7. Свойства надежности учитываются с помощью коэффици­ента сохранения эффективности , выражаемого отноше­нием суммарного времени, когда объект полностью приго­ден к использованию, к его общему сроку жизни. Примени­тельно к объектам, являющимися техническими устройст­вами, коэффициентопределяется по определенным нор­мативам или нормам (ГОСТу) или с помощью методов ма­тематической теории надежности.

8. Для количественного выражения качества используется отно­сительный показатель , определяемый функцией

,

где - количество простых и квазипростых свойств объекта (без учета свойств надежности). Функцияможет выра­жаться полиномами, различными средними. При выполне­нии некоторых достаточно нежестких ограничений функ­цияможет быть представлена выражением:

.

9. Если кроме свойств, формулирующих качество, учитывать также имманентные свойства объекта, характеризующие затраты общества, то их совокупность образует так назы­ваемое интегральное качество объекта. Определение значе­ний показателя интегрального качества базируется на тех же принципах, как и для показателя.

В соответствии с основными принципами квалиметрии общий способ оценки качества может быть представлен в виде последова­тельности действий:

• определение ситуации оценки;

• построение дерева свойств;

• определение значений эталонных и браковочных показате­лей ;

• определение значений абсолютных показателей ;

• определение значений относительных показателей ;

• определение значений коэффициентов весомости (весов) ;

• определение значения показателя качества (или интеграль­ного качества).

В силу межотраслевого характера квалиметрии ее методы мо­гут найти применение в тех сферах экономики, где целесообразно учитывать категорию «качество». Таким образом, одним из основ­ных инструментов квалиметрии является дерево свойств.

Дерево свойств – это графическое изображение иерархиче­ских взаимосвязей между свойствами, совокупность которых со­ставляет качество оцениваемого объекта. В научной и методиче­ской литературе по качеству продукции встречаются синонимы термина «дерева свойств»:

• иерархическая структура свойств, формирующих каче­ство;

• классификация свойств, определяющих качество;

• схема декомпозиции свойств, выражающих качество.

С точки зрения теории графов, в которой дерево рассматрива­ется как частный случай графа, дерево свойств – это связный граф, не содержащий циклов и имеющий одну выделенную вершину – корень. Наряду с деревом свойств, используемом в основном в ква­лиметрии, в различных отраслях науки применяются и другие типы деревьев, аналогичные дереву свойств. Например, деревья реше­ний, релевантности, требований, признаков, ошибок, предпосылок, альтернатив, декомпозиции, дерево целей, прогнозное дерево, ге­неалогическое дерево. Основные понятия, имеющие отношение к дереву свойств, приведены в таблице 6.1.

Используются три основные формы графического отображе­ние дерева свойств:

• строгая графовая форма (рис. 6.2. а) – применяется сравнительно редко, так как затрудняет написание на­званий отдельных свойств;

• нестрогая графовая форма (рис. 6.2. б) – применя­ется, когда важное свойство имеет наглядность изо­бражения взаимосвязей между свойствами;

Таблица 6.1.