3. График Ганта

График Ганта это способ представления последовательности «обработки изделий» (выполнения операций и т.п.) в прямоуголь­ной сетке. Обычно по горизонтальной оси откладывается время (в соответствующем масштабе), а по вертикальной – исполнители ра­бот или номера «станков» . Отрезки времени, отведенные на обра­ботку деталина станке., «поднимаются» на вы­соту, соответствующую. Возможно и матричное представление гра­фика Ганта. График Ганта применяется для выяснения допусти­мой последовательности выполнения работ, например, в предполо­жении невозможности обработки более чем одной детали одним исполнителем (на одном станке) одновременно.

Другой класс задач – минимизация времени обработки или суммарного времени простоя станков в некотором интервале вре­мени, или превышение известного времени задержки в выдаче де­талей к некоторому допустимому уровню и т.п. Такие задачи сво­дятся к частично целочисленному программированию.

Такое графическое представление технологии выполнения ра­бот впервые было предложено в начале 20 века американским уче­ным и инженером Г. Л. Гантом. График Ганта стал первым фор­мальным методом решения частной производственно-календарной задачи, существенно повлияв на развитие календарного и сетевого планирования, исследования операций, стратегического планиро­вания.

Отображение технологии выполнения работ с помощью гра­фика Ганта является наглядным и используется и в настоящее время. Достоинством и одновременно недостатком такого пред­ставления технологии является с одной стороны возможность со­гласования сроков выполнения работ и их однозначное представ­ление. С другой стороны в графике Ганта не фиксируется зависи­мость между работами, так как результаты выполнения одной или нескольких работ позволяют начать выполнение следующей (также одной или нескольких) по технологии работы. Этот недостаток от­сутствует в сетевых графиках, для построения которых использу­ется теория графов.

4. Элементы теории графов

Граф математически определяется двояко. С одной стороны, как совокупность двух множеств: множества элементов и мно­жества соответствий, бинарных отношений между этими элемен­тами. С другой стороны, как некая геометрическая схема, в кото­рой элементы множествапредставляются точками (их назы­вают вершинами), а соответствия- отрезками (ребрами), соеди­няющими элементс элементами, которые с ним связаны. В соот­ветствии с этими определениями существуют и два подхода к оп­ределению предмета теории графов: теоретико-множественный и геометрический.

Граф называют конечным, если число его вершин ко­нечно. Практически используются только конечные графы, беско­нечные же пока представляют теоретический интерес. Граф назы­вается ориентированным или направленным, если всякая пара то­чек упорядочена, т.е. соединяющее их ребро имеет начало и конец (тогда оно называется дугой). Две точки, определяющие ребро или дугу, называются смежными. Смежными называются и две дуги, если они имеют общую вершину. Последовательность дуг, при ко­торой конец одной дуги является началом другой, называется пу­тем. В случае ненаправленного графа применяют термин цепь. Если начало и конец пути совпадают, образуется контур или цикл.

Граф называется связанным, если для каждой пары вершин существует соединяющая их цепь или путь (последовательность ребер). В противном случае граф называется несвязанным. Граф может разделяться на подграфы, причем связанный подграф назы­вается компонентой исходного графа.

В экономике особенно широко используются два вида графов: сеть (рис.4.1.) и дерево.

Для описания графов часто используется квадратная матрица, именуемая матрицей смежности. У нее как строки, так и столбы отвечают вершинам графа , а элемент матрицыфикси­рует наличие или отсутствие ребра, связывающего вершины графаи. Например, при наличии ребра между вершинами графаи, а при отсутствии. Такое описание взаимо­связей вершин позволяет говорить о матричном представлении графа (см. табл. 4.1.).

Рис. 4.1.Представление графа в виде сети

Если применять теоретико-множественный подход, то опре­деления графа примут следующий вид. Ориентированным графом называется тройка , в которой- непустое множество вер­шин,- множество дуг и- отображение, которое каждой дугеставит в соответствие упорядоченную пару вершин, где.

Таблица 4.1.

Матрица смежности

	а	б	В	г	д
А	0	1	1	0	0
Б	1	0	0	0	0
В	1	1	0	1	1
Г	0	1	1	0	0
Д	0	0	0	0	1

Неориентированным графом называется тройка , в кото­рой- непустое множество вершин,- множество ребер и- ото­бражение, которое каждому ребруставит в соответствие неупорядоченную пару вершин, где.

Граф называется конечным, если множестваико­нечны.

Геометрически граф может быть представлен в виде множе­ства точек, изображающих вершины, и соединяющих их линий (со стрелками), соответствующих ребрам (дугам) (рис. 4.2., 4.3.)

Рис. 4.2.. Ориентированный граф

Рис. 4.3.Неориентированный граф

Очевидно, что с каждым ориентированным графом можно од­нозначно связать неориентированный, заменив дуги на ребра. Если любые две вершины графа соединяются не более чем одной дугой (ребром), то граф называется простым и может быть задан с помо­щью пары . В этом случае каждая дуга (ребро)полностью оп­ределяются парой соединяемых вершин, что условно записы­вается в виде:. Упорядоченная пара вершин, кото­рая ставится в соответствие некоторой дуге, задает ее ориента­цию:называется началом дуги, а- ее концом, а сама дуга считается инцидентной данным вершинам.

Путем длины в ориентированном графеназывается упо­рядоченная последовательность различных дуг, для которых, начало каждой последующей совпадает с концом преды­дущей. Конечный путь, у которого начальная вершина совпадает с конечной, называется контуром.

Для неориентированного графа аналогом понятия путь явля­ется цепь, а контура – цикл.

Если две любые вершины неориентированного графа могут быть соединены цепью, то он называется связным. Ориентирован­ный граф называется связным, если ему отвечает связный неориен­тированный граф.

Если , а отображение является сужением отображенияна множество, то граф называют частичным графом (реберным подграфом) графа.

Рассмотрим задачу: имеется конечный граф , каждой вершинекоторого сопоставлено некоторое число, называемое интенсивностью вершины. Граф, вершинам которого сопос­тавлены значения интенсивностей, будем называть сетью. Если, то вершина называется источником, если, то – стоком, а если, то нейтральной вершиной. Множество источников, сто­ков и нейтральных вершин обозначим соответственно.

Для определенной выше сети потоком называется такая сово­купность величин, заданных на множестве дуг, , что

, (4.1.)

, (4.2.)

где - множество дуг, исходящих из вершины,

- множество дуг, входящих в вершину .

Величина - называется значением потока по дуге, и содер­жательно интерпретируется как количество продукта, пропус­каемого по данной дуге. Соотношение (4.1.) означает, что для любой вершины сети разность выходящего и входящего потоков равна ее интенсивности.

На базе введенной терминологии может быть сформулировано много различных задач. Рассмотрим наиболее известные из них. Для каждой дуги определим значения, называемые стои­мостью перемещения единицы продукта по дуге, тогда суммарная стоимость потокапримет вид

. (4.3.)

Задача минимизации функции (4.3.) при ограничениях (4.1.) – (4.2.) обычно называют линейной сетевой задачей. Оче­видно, что она является задачей линейного программирования. Если дополнительно для каждой дуги сети определить вели­чины, называемые пропускными способностями, то, добавив ограничения

, , (4.4.)

получаем задачу о потоке в сети с ограниченными пропускными способностями.

Абстрактность формулировки приведенных задач позволяет подчеркнуть их универсальность. К очевидной сфере их приложе­ния относится организация грузоперевозок в транспортной сети. В таких моделях вершины трактуются как пункты, соединенные се­тью дорог, и которые характеризуются потребностями в некотором продуктеили его запасами. Задачи определения плана, минимизирующего затраты на перевозки, которые с математиче­ской точки зрения полностью идентичны (4.1.)- (4.3.), (4.4.) также называются транспортными задачами в сетевой постановке.