2. Сфера применения графических средств для описания экономико-математических моделей

Графические средства применяются в интерактивных процес­сах для изображения моделируемой системы с целью повышения наглядности. При широком понимании к графическим средствам относят весьма разнообразные объекты:

• Блок-схемы, в которых графические элементы (прямоуголь­ники, ромбы, овалы и другие плоские фигуры и соединяю­щие их стрелки) используются для отражения причинно-следственных связей между элементами моделируемой сис­темы;

• Модели теории графов, поскольку плоские графы всегда можно изобразить с помощью стандартных графических средств (более того, этот способ имеет определенные пре­имущества перед аналитическим, в частности доступность, наглядность, хотя и неудобен в случае большой размерности и при применении некоторых алгоритмов);

• Всевозможные геометрические плоскостные конструкции, как правило, являющиеся неполным или упрощенным пред­ставлением более сложных аналитических моделей.

В последнем случае о графических моделях говорят тогда, ко­гда геометрические средства оказываются достаточными для вы­ражения основной идеи модели, хотя, как правило, не позволяют получить многих выводов относительно ее свойств.

Например, рассмотрим законы Госсена.

Эти законы принадлежат к основным предположениям, ис­пользуемым в экономической теории в качестве стандартов, всякие отклонения от которого требуют специального исследования и объ­яснения. Эти законы выдвинуты немецким экономистом Г. Госсе­ном (1854 год) первоначально как характеристики рационального образа действий индивидуального потребителя.

Первый закон Госсена утверждает, что каждая следующая единица потребительского блага доставляет потребителю меньшее удовлетворение, чем предыдущая, обладает меньшей полезностью, так что после достижения насыщения новая единица уже не дос­тавляет ему никакого удовлетворения, обладает нулевой полезно­стью. Если - количество потребительского блага, а- полез­ность этого количества, то согласно первому закону Госсена (рис. 2.1., 2.2.),- неотрицательная монотонно неубывающая функ­ция, такая, что при, где- уровень насыще­ния,- точка насыщения, с неотрицательной первой производной:

и неположительной второй производной

Содержание первого закона Госсена (рис.2.1. 2.2.) вполне отражается графиками функции полезности и ее производной. Та­ким образом, здесь правомерно говорить, что эти графики пред­ставляют графическую модель данного явления.

Рис. 2.1. Графическое представление первого закона Госсена (функция полезности)

Рис. 2.2. Графическое представление первой производной, характеризующей первый закон Госсена

Второй закон Госсена относится к ситуациям, когда для при­обретения различных благ потребитель имеет ограниченные сред­ства, недостаточные для полного насыщения по каждому благу. Утверждается, что в этом случае бюджет будет распределен таким образом, что последние единицы каждого блага, приобретение ко­торых обеспечено выделенной для этого частью средств, дают оди­наковые приращения полезности. А именно, пусть потребитель­ский бюджет используется для приобретения благ, при этом- доля бюджета, направляемая на приобретение блага,,,- полезность, доставляемая набором благ, который приобрета­ется при распределении бюджета. Тогда максимум по­лезностидостигается при таких значениях, которые обеспечи­вают

,

или, в терминах приращений, обозначая - приращение средств на приобретение блага(для простоты предположим, что за счет увеличения бюджета, а не его перераспределения),--мерный орт,

,

. (*)

В дискретном случае, когда считаются целочисленными пе­ременными, а, равенство (*) может не достигаться, так как по­лезностьизменяется скачками. Иллюстрация второго закон Госсена для случая двух благ приведена на рис. 2.3.

Общая полезность принята сепарабельной, т.е. равной сумме частных полезностей двух благ:

.

Бюджет потребителя представлен отрезком единичной длины .Полезностьпервого блага изображена в обычной системе координат, начало которой – точка, полезностьвторого блага – в зеркальной системе, ось абсцисс направлена справа на­лево, начало координат – точка. Каждая точкауказывает кон­кретное распределение бюджета между двумя благами, так что, на­пример. Максимум общей полезности достигается в точке, а частные полезностииимеют в этой точке рав­ные производные, что геометрически выражается в равенстве угловиили отношений

и .

Рис. 2.3.Иллюстрация второго закона Госсена

Можно сделать вывод, что второй закон Госсена с помощью геометрических средств может быть только проиллюстрирован.

Что касается первого закона Госсена, то график убывающей выпуклой вниз функции нередко называют графической моделью спроса, имея ввиду его зависимость от цены на данный продукт.

В качестве следующего примера рассмотрим эффект Гиф­фина. Это парадоксальная ситуация в экономике, когда в опреде­ленных обстоятельствах спрос на некоторые (обычно малоценные) товары растет при повышении на них цены (а не снижается, как следовало бы ожидать). В традиционной форме функция спроса выражает зависимость между вектором спроса и экономическими факторами спроса – доходоми уровнем цен:

,

где - индекс товара.

Для большинства товаров

Однако существуют товары - они называются аномальными или товарами Гиффина – для которых

.

Это явление, графически представленное на рис. 2.4., возни­кает в том случае, если потребители с низким уровнем дохода из-за повышения цен на относительно дешевый товар теряют возмож­ность покупать более дорогие товары, и вынуждены покупать де­шевого товара больше, чтобы компенсировать потери от недоступ­ности более дорогих товаров.

Рис. 2.4. Эффект Гиффина

Рассмотрим еще одну графическую модель, так называемые кривые Лаффера. Это графическое изображение зависимости суммы государственных налоговых изъятий из прибыли (или дохо­дов, облагаемых предельной ставкой налога) от предельной ставки налога. Попытку доказать наличие этой зависимости предпринял американский экономист А. Лаффер. Общий вид кривой Лаффера (рис. 2.5.) – выпуклая вверх кривая с точкой максимума внутри интервала (0,100) – ставка налога в процентах. Рассматриваемая кривая отражает предположение, что государственные доходы дос­тигают максимума при предельной ставке налога, значительно меньшей 100%. Основанием для этого предположения являются два очевидных факта:

• государственные доходы равны нулю при ставке налога, равной нулю;

• государственные доходы от прибыли или доходов, облагаемых ставкой налога 100%, равны нулю, так как в этом случае не найдется экономических агентов, желающих зарабатывать доход, облагаемый такой ставкой налога.

Рис. 2.5. Кривые Лаффера

Построение кривой Лаффера – задача эмпирических исследо­ваний. На форму этой кривой в значительной степени влияет струк­тура и ставки налогов. Форма рассматриваемой кривой имеет большое значение при проведении налоговой политики. Так, изме­нение предельной ставки налога от R₁доR₂повлечет увеличение государственных доходов, если истинной кривой является криваяI, или уменьшение государственных доходов, если истинной является криваяII.

Можно привести еще множество подобных примеров. Все они касаются ситуаций, когда простое, наглядно изображаемое геомет­рическое свойство (монотонность, убывание или возрастание, вы­пуклость, разрыв, стремление к асимптоте и т.п.) является основ­ным в моделируемом явлении с точки зрения цели моделирования. В более сложных случаях графические модели позволяют обнару­жить и исследовать существенно нетривиальные свойства – устой­чивость или неустойчивость равновесия (например, паутинообраз­ная модель) или служат основой для разработки расчетных методов в частности, так называемый графический метод решения матрич­ных игр размерности .