2. Динамические системы и динамические модели
Под динамической системой понимается всякая система, изменяющаяся во времени. Математически это принято выражать через переменные, которые часто называются координатами. Процесс изменения переменных характеризуется траекторией:
,
где координаты
являются функциями времени
.
Среди таких систем наиболее простыми являются линейные динамические системы, в которых связи между входными величинами, параметрами состояния и выходными величинами носят характер линейных зависимостей.
В экономико-математических моделях динамические системы могут отражаться двояко:
С помощью описания состояния системы в определенные моменты времени. Получаются как бы моментальные снимки (или кадры фильма о ее развитии), называемые статическими моделями;
С помощью динамических моделей экономики, описывающих сам процесс развития системы.
Еще раз повторим, что модель является динамической, если, как минимум, одна ее переменная относится к периоду времени, отличному от времени, к которому отнесены другие переменные. Существуют два принципиальных подхода к построению таких моделей:
первый подход – оптимизационный, состоящий в выборе такой траектории экономического развития из числа возможных, при которой обеспечивается максимальный рост одного или нескольких показателей;
второй подход заключается в исследовании равновесия в экономической системе. В этом случае, переходя к экономической динамике, используют понятие «равновесная траектория», т.е. уравновешенный сбалансированный рост. Такой результат получается за счет взаимодействия множества факторов и объектов экономической системы.
В общем виде динамическая модель должна содержать:
начальное состояние экономического объекта;
технологические способы производства (каждый способ содержит рецепт получения из заданного набора ресурсов определенного количества продуктов);
критерий оптимальности (для первого подхода).
Используются в динамической системе такие закономерности, выявленные с помощью статистики, как тренд, сезонные (периодические) переменные и случайная переменная («остаток»). Во многих динамических моделях рыночной экономики выделяется еще одна переменная, циклическая. Циклическая переменная отражает связь между элементами системы, в которой выход одного элемента является входом другого, выход которого, в свою очередь, оказывается входом первого (т.е. это усложненная, опосредованная разновидность обратной связи). Циклические связи весьма распространены в экономических системах, причем в разных формах и сочетаниях. Например, повышение уровня жизни населения способствует стремлению людей к труду (повышение физических сил, культурно-технического уровня). В свою очередь рост способностей к труду отражается в повышении производительности труда и ведет к повышению уровня жизни населения.
В качестве экзогенных факторов могут выступать, выявленные с помощью статистики макроэкономические зависимости, данные прогноза о демографических процессах. В качестве эндогенных факторов – темпы роста, показатели экономической эффективности. Математическое описание динамических моделей производится:
системами дифференциальных уравнений (где время выступает в качестве непрерывной переменной);
разностных уравнений (где время дискретная величина);
систем обыкновенных алгебраических уравнений.
С помощью динамических моделей, в частности, решаются задачи планирования и прогнозирования экономических процессов:
определения траектории развития экономической системы и ее состояний в заданные моменты времени;
анализа экономической системы на устойчивость;
анализа структурных сдвигов.
С точки зрения теоретического анализа большое значение приобрели динамическая модель фон Неймана и теоремы о магистралях. Кроме того, в практической деятельности используются многоотраслевые (многосекторные) динамические модели развития экономики (динамические модели межотраслевого баланса), производственные функции, теория экономического роста.