2012nmi_book

Олимпиада СВФУ по аналитической геометрии, 1-2 курсы

1.Найдите геометрическое место центров окружностей, касающихся данную прямую и содержащих данную точку.

2.Докажите с помощью векторов утверждение о том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

3.Опишите кривую четвертого порядка, заданную на плоскости уравнением x4 ¡ y4 ¡ 2x2 + 1 = 0:

4.Найдите площадь сечения куба с вершинами (§1; §1; §1) плоскостью x + 2y + 3z + 1 = 0:

5.Докажите, что любой выпуклый многоугольник площади 1 можно заключить в прямоугольник площади не более 2.

19 марта 2012, участвовало 24 студента ИМИ, задачи 3-4 авторские, остальные подготовлены по мотивам известных задач, составитель Э.И. Шамаев

Команда "Кетчуп" (Скрябин Д.В., Никитин А.Н., Пермяков И.В.) диплом I ст. Команда "МО-11-2" (Ноговицын Дь.А., Тимофеев Д.В., Маякунов А.А.) диплом II ст. Команда "404" (Ефремов Г.Е., Бурцев В.И., Никифоров Дь.Я.) диплом III ст.

Олимпиада СВФУ по алгебре, 1-2 курсы

1.Найдите все корни многочлена x3 + 507x2 + 2016x + 2012:

2.В заводской столовой суп, два вторых и два салата стоили 1 р 25 коп., два супа, одно второе, два сырка и салат можно было купить за 1 р 48 коп., все по одному и еще два салата стоило 1 р 22 коп. Сколько стоило купить два супа, два вторых и сырок?

3.Докажите, что cos 72± + i sin 72± является корнем многочлена

à p !à p ! z5 ¡ 1 = z2 + 1 + 5z + 1 z2 + 1 ¡ 5z + 1 : z ¡ 1 2 2

Найдите cos 72± в радикалах.

4.Докажите что существует бесконечно много матриц X таких, что

5.Отображения f; g : M ! M; обладающие свойством f(g(x)) = g(f(x)) для всех x 2 M; назовём коммутирующими. Ясно, что любую композицию таких отображений можно привести к виду f(: : : f(g(: : : g(x) : : :

)) : : :): Используя данный факт решите следующую задачу. На острове Серобуромалин живут 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. При встрече двух разноцветных хамелеонов они оба меняют окраску на третий цвет. Могут ли все хамелеоны стать одноцветными?

20 марта 2012, участвовало 30 студентов ИМИ, задачи 1-4 авторские, составитель Э.И. Шамаев

Команда "404" (Бурцев В.И., Ефремов Г.Е., Никифоров Дь.Я.) диплом I ст. Команда "Кетчуп" (Никитин А.Н., Пермяков И.В., Скрябин Д.В.) диплом II ст. Команда "Искусственный интеллект" (Григорьев М.И., Охлопков А.А., Иванов Н.Н.) диплом III ст.

Олимпиада СВФУ по математическому анализу, 1 курс

1.Один из корней уравнения x2 + ax + b = 0 равен 1 + p3: Найдите a и b; если известно, что они рациональны.

2.Преподаватель дал задание найти неопределенный интеграл R sin x cos x dx: Студенты Вася, Коля и Витя решили задачу тремя разными спосо-

5.Пусть M – множество всех четырехугольников данной плоскости. Рассмотрим следующие предикаты, определенные на множестве M:

(a)A(x): четырехугольник x имеет хотя бы три пары равных сторон;

(b)B(x): четырехугольник x имеет хотя бы четыре пары равных сторон;

(c)E(x): четырехугольник x – параллелограмм;

(d)F (x): четырехугольник x – трапеция;

(e)G(x): четырехугольник x – ромб.

Какие из следующих предложений верны, а какие нет на множестве

M:

(a)8x (A(x) ! E(x));

(b)9x (A(x) ! F (x));

(c)8x (B(x) ! G(x))?

6.Ваня, Коля и Нюргун учатся на разных курсах ИМИ СВФУ.Один из них любит кофе, другой чай, а третий пепси. Они занимаются разными видами спорта: один борьбой, второй – боксом, третий – бегом. Известно, что:

(a)Ваня не любит пепси, а Коля не любит чай;

(b)студент любящий пепси – не первокурсник;

(c)третьекурсник любит чай и занимается борьбой;

(d)Нюргун учится на первом курсе;

(e)второкурсник не любит бег.

Кто на каком курсе учится, какой напиток любит и каким спортом занимается?

29 марта 2012, участвовало 14 студентов ИМИ, все задачи авторские, составитель: доцент, к.п.н. Александр Николаевич Афанасьев.

Олимпиада СВФУ по теории вероятностей, 1-5 курсы

1.У кассы в театр очередь из 2n человек. Из них n человек имеет по купюре достоинством только в 1000 руб., остальные только достоинством в 500 руб. Билет на сеанс стоит 500 рублей. Каждый из покупателей приобретает ровно один билет. Какова вероятность того, что ни один покупатель не будет ждать сдачи, если на начало работы кассы в ней не было денег?

2.Сколькими способами можно разместить на шахматной доске (8 £ 8) 3 коня так, чтобы каждый из них мог побить хотя бы одного?

3.При баллотировке кандидат A получает a голосов, а кандидат B b голосов, причем все избирательные протоколы равновероятны. Найти вероятность того что, при последовательном подсчете числа голосов, голосов поданных за кандидата A все время не более чем в ® раз превосходит числа голосов поданных за кандидата B (где ® неотрицательное, целое число)?

4.Лифт с семью пассажирами останавливается на каждом из 10-ти этажах. Какова вероятность того, что никакие два пассажира не выйдут на одном и том же этаже?

5.Какова вероятность получить треугольник при двух разломах отрезка длины L?

(задачи 2, 4, 5 по 10 баллов; 1, 3 по 20 баллов)

26 марта 2012г. Участвовало 64 студента с 1 по 3 курс (ИМИ 48, ФТИ 13, Якутский институт экономики 3 студента)

Составитель: ст. преподаватель кафедры высшей математики Григорий Григорьевич Фролов, задачи 2, 4 и 5 авторские.

Решения и ответы олимпиады по геометрии

1.Данную прямую обозначим через p, данную точку через A: Выберем систему координат: пусть p будет осью абсцисс; ось ординат выберем так, чтобы она проходила через A.

Если точка A имеет координаты (0; 0); то все касательные окружности к прямой p в точке A имеют центр на оси абсцисс. Тогда искомое ГМТ ось ординат без точки A:

Иначе точка A имеет координаты (0; h); h > 0: В этом случае расстояние от произвольной точки (x; y) до A равно px2 + (y ¡ h)2; рассто-

яние от точки (x; y) до p равно y > 0: Следовательно, ГМТ центров искомых окружностей задается уравнением y = px2 + (y ¡ h)2: Это

Ответ: Если данная точка не лежит на данной прямой, то искомая ГМТ является параболой, заданной уравнением y = 21h x2 + h2 : Если данная точка лежит на данной прямой, то ответом является прямая, проведенная перпендикулярно к p через A, из которого выбросили A:

Критерии оценивания:

Решен случай A 2= p 5 баллов. Решен случай A 2 p 2 балла. Выбор удобной системы координат 1 балл.

2. Пусть дан треугольник ABC: Диагонали параллелограмма делят друг

= OB: Это означает, что медианы имеют одну

¡! ¡¡! ¡¡! !¡

Доказательство факта о том, что AOA + BOB + COC = O 1 балл. Доказательство с помощью предела медиан с многочисленными недочетами в доказательстве 3 балла.

3.Сделаем пару эквивалентных преобразований выражения x4 ¡ y4 ¡

2x2 + 1:

(x2 ¡ 1)2 ¡ (y2)2 = (x2 ¡ 1 ¡ y2)(x2 ¡ 1 + y2) = 0:

Полученное уравнение эквивалентно системе

·x2 ¡ y2 = 1; x2 + y2 = 1:

Первое уравнение задает гиперболу, второе уравнение окружность радиуса 1.

Ответ: объединение гиперболы x2 ¡ y2 = 1 и окружности x2 + y2 = 1:

Критерии оценивания:

Полное решение с потерей части решения 5 баллов.

Использовано ошибочная импликация t2 = y2 =6> t = y и выведен ответ гипербола или окружность 2 балла.

4.Вершины сечения A1(0; 1; ¡1); A2 = (1; 12 ; ¡1); A3 = (1; ¡1; 0); A4 =

Критерии оценивания:

Правильно построено сечение и найдены все вершины 4 балла. За правильно найденную одну вершины сечения 0,5 баллов. Полное решение с арифметической ошибкой 6 баллов.

5.Пусть - произвольный многоугольник площади 1, A и C наиболее удаленные друг от друга точки многоугольника -; и r равно расстоянию между A и C. Тогда все остальные точки выпуклого многоугльника лежат внутри дисков радиуса r с центрами в точках A и C

и, следовательно, на пересечении этих дисков. Тогда полоса ¦1, образуемая прямыми, проходящими через A и C перпендикулярно отрезку AC; содержит все остальные точки выпуклого многоугольника.

Теперь выберем перпендикулярную к ¦1 полосу ¦2 минимальной ширины, содержащую -: Пусть B и D произвольные общие точки - и границ ¦2 лежащие на разных полуплоскостях, образованных полосой ¦2:

По определению выпуклой фигуры, стороны четырехугольника ABCD лежат внутри -; тогда SABCD 6 S-:

Сторона AC треугольников ACB и ACD равна ширине прямоугольника ¦1 \ ¦2: Сумма высот ACB и ACD равна высоте ¦1 \ ¦2: Поэтому 2SABCD = S¦1\¦2 :

Таким образом, построенный прямоугольник ¦1 \¦2 имеет площадь, не превышающую 2S- = 2:

Критери оценивания:

Полное решение без выбора наиболее удаленных точек 3 балла. Рассуждения для треугольника или четырехугольника 1 балл. Утверждение "треугольник является наиболее трудным случаем" 0 б.