2013vseross_book_final

СЕВЕРО-ВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.К. АММОСОВА

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

2013 год

г. Якутск 2013

I Всероссийская студенческая олимпиада. I (вузовский) этап

Физико-математические направления, старшие курсы

1.Найдите площадь образа при отображении квадрата 0 6 Re z 6 1; 0 6 Im z 6 1 комплексной плоскости C функцией z2:

∫ 1

2. Найдите наименьшее R такое, что (f(x)2 + g(x)2) dx >

∫ 1 0

f(x)g(x) dx для всех непрерывных на [0; 1] функций.

0

3.Найдите пример квадратичного трехчлена с вещественными коэффициентами P (x) = x2 + bx + c такой, что многочлен Q(x) = x2013 + 1 кратен многочлену P (x):

4.Доказать, что для любого решения y = y(x) дифференциального уравнения y′ + (2 + cos y)y = 0 существует конечный предел

20 марта 2013, участвовало 20 студентов ИМИ и ФТИ, автор задач, со-

ставитель — Э.И. Шамаев

Итоги олимпиады среди студентов физико-математических направлений старших курсов

3

I Всероссийская студенческая олимпиада. I (вузовский) этап

Физико-математические направления, 1 курс

1.Даны три точки A(1; 2); B(3; 1) и C(4; 6) на плоскости. Найдите уравнение прямой, содержащей высоту AH треугольника ABC:

2.Каких матриц с натуральными элементами больше:1 с определителем

4.Докажите, что положительный корень многочлена Q(x) = x2013 − x2012 − 2x2011 − : : : − 2011x2 − 2012x − 2013 единственен.

5.Опровергните или докажите следующую теорему.

20 марта 2013, участвовало 9 студентов ИМИ, автор третьей задачи — В.А. Егоров, автор остальных задач, составитель — Э.И. Шамаев

Итоги олимпиады среди студентов физико-математических направлений 1 курсов

Технические направления

1.Даны отрезки длины 20 и 13. Постройте прямоугольник 20 × 13 с помощью циркуля и линейки. (Линейкой можно строить только прямую через две данные точки; циркулем можно строить только окружность с радиусом, равным данному отрезку; пересечение окружностей и/или прямых является точкой).

2.Угол естественного откоса (угол, образованный свободной поверхностью сыпучего материала с горизонтальной плоскостью) сырого песка равна 30◦: Найдите размер квадратной площадки, на которой можно разместить конусообразный сырой песок объемом 616 500 м3. Ответ найти с точностью до десятых метра.

1квадратных матриц некоторого фиксированного порядка n > 1

4

I Всероссийская студенческая олимпиада. I (вузовский) этап

3.Типовой проект металлической арки может выдержать статическую нагрузку весом 102t4 + 103t тонн, где t — толщина полок равнополочного уголка в метрах. Каким выбрать толщину полок t; если арка весит 10 t3 + 10 тонн и должна выдержать статическую нагрузку в 10 тонн?

4.Найдите объем пересечения сферы x2 + (y − 1)2 + (z − 2710 )2 = 3625 и куба, образованного плоскостями |x| = 2; |y| = 2 и |z| = 2: Решение должно содержать объяснение правомерности применения тех или иных формул.

5.Населенные пункты А и B стоят на расстоянии 2 км от прямой p. Расстояние между А и B равна 4 км. Необходимо выбрать точку строительства порта C на p так, чтобы суммарный расход топлива автомобилями на дороге АС и ВС (дороги идут по прямой) был наименьшим, если известно, что планируемая интенсивность движения на АС в 3 раза меньше чем на ВС.

∫1 sinxx dx с точностью до второго знака после запятой и0

докажите, что погрешность не превышает 0,1.

20 марта 2013, участвовало 13 студентов ГРФ, ИМИ и ИТИ, автор задач, составитель — Э.И. Шамаев

Итоги олимпиады среди студентов технических направлений всех курсов

5

I Всероссийская студенческая олимпиада. I (вузовский) этап

Гуманитарные направления

1.На третьем курсе факультета Г. учится 50 студентов. Известно, что 13 студентов активно интересуются своей будущей профессией и 12 студентов твердо решили поступать в магистратуру. Укажите наименьшее возможное количество студентов третьего курса факультета Г. не интересующихся своей будущей профессией и даже не принявших решение о поступлении в магистратуру.

2.Найдите закономерность в последовательности 2; 3; 5; 8; 13; 21; : : :

В ответе напишите 7-й член последовательности.

3.В министерстве N. работают только Рыцари и Лжецы, и их 2014 кабинетов стоят по кругу. Рыцари всегда говорят правду. Лжецы всегда лгут. Каждый начальник посетителю сказал: “Это не в моей компетенции”, затем добавил: “этим занимается следующий по кругу начальник”. Сколько в министерстве Рыцарей?

4.На полке стояли 2013 старые и новые книги. К сожалению, эти старые и новые книги чередовались. За какое наименьшее число перестановок соседних книг (можно переставлять только соседние) эти книги можно упорядочить?

5.Банк выдает в кредит 10000 рублей и увеличивает долг на 2% за пользование деньгами в течении месяца. Сколько должен заплатить клиент банку, чтобы вернуть весь кредит двумя равными выплатами в конце первого и второго месяцев?

20 марта 2013, участвовало 9 студентов ФЭИ и МИ, автор задач, составитель — Э.И. Шамаев

Итоги олимпиады среди студентов гуманитарных направлений всех курсов

6

I Всероссийская студенческая олимпиада. I (вузовский) этап

Решения и ответы

Полное решение каждой задачи — 7 баллов.

Физико-математические направления, старшие курсы

1.Запишем ребра квадрата в виде кривых t; it; i + t; 1 + it; t [0; 1]: Рассмотрим квадраты этих выражений: t2; −t2; −1+t2 +2it; 1−t2 +2it;

t [0; 1]; — отрезок [0;1], отрезок [−1,0], часть параболы x = y2 − 1;

4

часть параболы x = 1 − y2 ; соответственно.

4

Приведем эти кривые в координатах, где y — абсцисса, а x — ордината. Ясно, что искомая площадь равна удвоенной площади закрашен-

Критерии оценивания. Найдена фигура, но не найдена площадь — 4 балла. Найдена “формула” фигуры, но неправильно решен или не решен интеграл — 3 балла.

2.Подстановкой f(x) = g(x) убеждаемся, что (−∞; 0] не подходят. Справедливы преобразования:

При > 1=2 все слагаемые в подынтегральном выражении неотрицательны, поэтому неравенство верно. Если < 1=2; то при g = 2 f ≠ 0 первое слагаемое равно нулю, а второе слагаемое — отрицательно.

Второе решение. Пусть f = g ≠ 0: Тогда неравенство, после со-

∫ 1

7

I Всероссийская студенческая олимпиада. I (вузовский) этап

Таким образом, первоначальное неравенство не выполнено при всех

Критерии оценивания. Показано, что при 6 12 неравенство верно — 4 балла. Верный ответ без доказательства — 1 балл. Доказано нера-

венство при = 12 — 2 балла.

3. По обратной формуле Муавра выпишем множество всех корней Q(x)

вещественные коэффициенты и являются делителями Q(x).

Решение В.В. Пермякова. Из разложения 2013 = 3 ·11 ·61 и формулы y2n+1 + 1 = (y + 1)(y2n − y2n−1 + : : : + 1) следует, что

Критерии оценивания. Достаточно привести пример одного делителя и показать, что он действительно является делителем Q. Только ответ

— 1 балл.

4.Все решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными можно найти из следующего уравнения

8

I Всероссийская студенческая олимпиада. I (вузовский) этап

Следовательно, множество решений уравнения состоит из обратных

∫

dy

к функциям − (2 + cos y)y +C: При y > 1 верны следующие оценки сверху и снизу

e−x+C < 1; что невозможно. Таким образом, 0 < y(x) < e−x−C : Тогда limx→+∞ xy = 0 для любого C:

Критерии оценивания. Некоторые случаи подсчитаны очевидными — 5 б.

В треугольнике на рисунке мы видим, что P (xn) > 0 равен вертикальному катету, а P ′(xn) > 0 — тангенсу угла между осью абсцисс и касательной. Следовательно, P (xn)=P ′(xn) равен длине горизонтального катета рассматриваемого треугольника. Мы поняли геометрический смысл данного рекуррентного соотношения.

9

I Всероссийская студенческая олимпиада. I (вузовский) этап

Поскольку x3 + x + 1 не имеет точек экстремума и ветви разнонаправлены, то P имеет единственный вещественный корень x0 < 0: Функция x3 + x+ 1 выпукла вверх на (−∞; x0): Поэтому из геометрических соображений касательная прямая в точках с абсциссей xn < x0 пересекает ось абсцисс в точке из (−∞; x0): Следовательно, члены последовательности {xn} с начальной точкой x1 = a < x0 строго монотонно возрастают, не превышают x0 и стремятся к некоторому x (x1; x0]: Тогда, в силу непрерывности многочленов, P (xn) → P (x ) при n → ∞: С другой стороны, (1) означает, что

P (xn)

P ′(xn) = xn+1 − xn → 0 при n → ∞:

Следовательно, P (x ) = 0 = P (x0): Из единственности вещественного корня P (x) следует, что x = x0:

Кстати, из доказанного следует достаточное условие сходимости метода Ньютона для достаточно гладкой f(x) с f′(x) и f′′(x) постоян-

ного знака на отрезке [a; b] такой, что f(a)f(b) < 0; и x1 = a или b в зависимости от знака f(x1) и f′′(x1):)

Рассмотрим последовательности с начальным значением a (x0; +∞) и определяемому рекуррентным соотношением (1) и zn+1 = zn − Q(zn)=Q′(zn); Q(z) = z3 + z Аналогично доказанному выше последовательность zn сходится к точке 0: При этом очевидно, что xi < zi для xi и zi [0; +∞); i = 1; : : : ; m: Поэтому существует n такое, что xn 6 0: Если xn 6 x0; то задача сводится к рассмотренному случаю x1 (−∞; x0]. Если xn (x0; 0]; то из выпуклости функции P (x) вверх следует, что xn+1 (−∞; x0]:

Ответ: для всех a последовательность сходится.

Физико-математические направления, 1 курс

искомая прямая имеет направляющий вектор {5; −1}: Теперь построим уравнение прямой, проходящей через точку A(1; 2) с направляю-

Критерии оценивания. Найдена длина AH — 2 балла.

2.Заметим, что матриц порядка n > 1 с определителем 2013 бесконечно много — все верхнетреугольные матрицы с 1, 1, . . . , 1, 2013 на диагонали.

10