Шпоры (ТОЭ)
.pdf
7
Особенности расчета переходный процессов (динамических режимов)в простейших нелинейных цепях.
1. Применение аналитической аппроксимации характеристик нелинейных элементов.
uC 0 u0
uд t ?
Определим рабочий участок нелинейной характеристики для схемы после коммутации.
uд t uC t
t 0 : uC 0 uд 0 u0
t : uC uд 0
Выбираем аналитическую аппроксимацию на этом участке: д uд2
Составим дифференциальное уравнение: |
i C |
dUC |
, i |
i |
, |
i C |
dUC |
, |
u |
|
u |
, |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
dt |
|
C |
д |
д |
|
dt |
C |
д |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u2 |
C |
dUд |
|
- нелинейное |
дифференциальное |
уравнение |
|
(решим |
методом |
разделения |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
д |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
переменных): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
C |
|
|
duд |
|
|
C |
|
|
1 |
|
|
где A const . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dt |
|
|
t |
|
|
|
A , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
uд2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
uд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
НУ:
t 0 , uд 0 u0 uС 0
0 |
C |
|
A |
A |
C |
. |
u |
|
|
||||
|
0 |
|
|
u |
||
|
|
|
|
0 |
|
|
t |
C |
|
1 |
|
C |
|
|
uд |
|
C |
|
uд t |
|
u0 |
|
|
||
|
u |
u |
|
C |
|
t |
|
u0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
t |
|
|||||||
|
|
|
д |
|
|
0 |
|
|
|
u |
|
|
C |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Достоинство метода.
Решение получается в аналитическом виде, то есть возможен анализ влияния параметров цепи.
Недостаток.
Метод применим только для простейших цепей.
Замечание:
Закон изменения тока может быть произвольным, в зависимости от выбранной аппроксимации.
Аппроксимацию удобно выбирать такую, чтобы от нее брался интеграл.
8
2. Применение условной линеаризации для нелинейного элемента.
Дано:
E, C, r, iд uд
Найти:
uд t ?
Решение.
Определим рабочий участок. Считаем, что до коммутации в схеме установившийся режим.
t 0
схема для нахождения uд0
rвх 2r из графика находим uд0
Iк.з E
2r
u |
0 |
|
u |
r |
E u |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
д |
|
|
- 2-й закон Кирхгофа для поиска uC 0 |
|||||||||||||
|
0 ur iд 0 rд |
|
|
||||||||||||||||
uC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2uC |
0 E uд 0 |
|
uC 0 |
E uд 0 |
- ННУ. |
||||||||||||||
|
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В соответствии с законом коммутации: u |
0 |
|
u |
0 |
|
|
E uд0 |
. |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
C |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
После коммутации:
|
|
t 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uд 0 E uC 0 E |
E uд 0 |
|
E uд 0 |
||
2 |
|
2 |
|||
|
|
|
|||
t :
uд uд. уст
Заменяем: |
|
Схема после коммутации:
|
t u |
|
|
Ae |
t |
u |
u |
u |
|
||
д |
д. уст |
д.св |
д. уст |
|
|
uд. уст определяем из графика.
Найдем :
r |
C |
rд |
r |
С |
, где r |
- эквивалентное сопротивление относительно конденсатора. |
|
|
|||||
Э |
|
rд |
r |
Э |
||
|
|
|
|
|||
r |
u |
|
u 0 uуст |
|
E |
(определяем из графика). |
|
|
|
||||
|
i 0 iуст |
|
||||
д |
i |
|
|
2r |
|
|
|
|
|
|
Найдем A :
t 0 :
uд 0 |
E uд 0 |
uд. уст A |
|
|
|
A |
E uд |
0 |
uд. уст . |
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
t |
|
|
|
|
E u |
0 |
|
2u |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
u |
u |
|
|
|
д |
|
д. уст |
e |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
д |
|
д. уст |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применение кусочно-линейной аппроксимации характеристик нелинейных элементов.
Дано:
E, r, iL
Найти:
iL t ?
Решение:
Найдем рабочий участок:
НУ: iL 0 0 , 0 0 .
t 0 , iL 0 0, 0 0
Установившийся режим: t , i |
|
E |
||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
L. уст |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разобьем рабочий участок на 2 части: |
|
|
||||||
1. 0 iL iL |
t1 iL |
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2. i |
i |
i |
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
L |
L |
L. уст |
|
r |
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Теперь для каждого участка индуктивностьлинейный элемент:
1). 0 iL iL t1 iL1
|
|
L1 |
|
|
|
t1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
i |
|
i t1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
t |
E |
|
|
|
t |
|
|
|
|
L1 |
|
|
|
||
|
|
i |
A e |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
L |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
t |
|
|
i 0 0 A i |
|
|
i t |
1 e |
1 |
|
||||||||||||
r |
|
|
|
|||||||||||||||
L |
L. уст |
|
|
|
|
L |
|
|
|
r |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем момент времени перехода t1 , при котором меняются параметры индуктивности.
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
t1 |
|
E |
iL1 |
|
iL |
r |
|
t |
i |
|
E |
|
E |
|
|
|
|
r |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
i |
|
|
|
|
e 1 , |
e 1 |
|
|
1 |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
L |
1 |
L |
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
E |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t |
|
|
|
|
|
iL |
r |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
ln 1 |
1 |
|
|
|
|
t |
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
iL r |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2). i |
|
i |
i |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
L |
|
L |
L. уст |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
t1 |
|
, |
2 |
|
L |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
iL. уст iL |
|
|
|
|
r |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
Поскольку меняется отсчет для второго момента: t t t1
|
t |
|
E |
|
|
|
|
|
t t1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
iL |
|
|
A e |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i |
t |
i |
|
|
E |
A |
A i |
E |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
L |
1 |
|
|
|
L |
|
r |
|
|
|
|
|
|
L |
r |
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
iL t |
|
|
E |
|
|
t1 |
|
E |
t |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
iL |
|
|
e |
2 |
|
|||||||
|
r |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|||||
2 |
1 (чем круче график, тем меньше L ). |
9.
Переходные процессы в резистивных нелинейных электрических цепях.
Пусть нелинейная электрическая цепь содержит только резистивные нелинейные элементы. Все остальные элементы линейные, а источники независимые.
1 а)
Меняем L и C на линейные дискретные модели.
1 б)
1 в)
На каждом k -том шаге интегрирования линейные C и L можно представить в виде резистивных дискретных схемных моделей. В них параметры источников известны из предыдущего k 1 -го шага (схема 1 б)).
Рассмотрим применение схемной интерпретации метода Ньютона для замены нелинейной электрической цепи (1 в)).
|
|
|
diн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
gнm 1 |
|
|
|
|
|||
|
du |
|
|
|
|
|
||
* |
|
|
|
|
|
m 1 |
||
|
|
|
н |
|
uн |
|
||
|
|
|
uнm 1 iн uнm 1 |
|||||
|
|
нm 1 gнm 1 |
||||||
|
J |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Схема 1 в) – линейная резистивная электрическая цепь, рассчитывается многократно, начиная с нулевого приближения до достижения требуемой точности, причем после каждой итерации
пересчитываются параметры * . После окончания итерационного процесса определяются все выходные переменные и параметры источников схемных моделей накопителей ECK и iLK . После
этого происходит переход на k 1 шаг |
интегрирования. Такой алгоритм расчета 1 в) |
|
справедлив при любом k , кроме k 0 , |
который выделяется особо: 0 t h . |
|
Исходная схема рассчитывается при |
t 0 |
и используется независимые начальные условия, |
определяется iвых 0 и uвых 0 (любым известным методом). Можно формально предположить,
что rC 0 , gL 0 и, используя uC 0 и iL 0 в качестве источников, получить расчетную схему.
2. Электрические схемы с нелинейными накопителями.
Приходится использовать дифференциальные параметры:
C |
|
|
dq |
|
|
- дифференциальная емкость. |
||
|
|
|||||||
д k |
|
|
du |
|
|
|
||
|
|
|
|
u |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
L |
|
|
d |
|
|
- дифференциальная индуктивность. |
||
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||
д k |
|
|
di |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
Возможны два подхода. |
||||||||
а). |
При малом |
шаге интегрирования h для упрощения расчетов можно приблизительно |
||||||
определять Cд и |
Lд не в конце рассматриваемого k го шага, а в его начале (то есть в конце |
|||||||
предшествующего k 1 -го шага).
Cд k Cд k 1 |
|
dq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
du |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
u u k 1 |
- неизвестные величины для k го шага. |
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
d |
|
|
|
|
|
||
Lд k Lд k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
di |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
i i k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
rC k 1 C h
д k 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gL k 1 |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lд k 1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б). К расчету uC k и |
iL k |
можно применять неявный метод Эйлера (или любой другой неявный |
||||||||||||||
метод интегрирования). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
uC k uC k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
h uC k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
iC k |
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
Cд k f1 uC k |
|
|
|
|
|
|
, |
uC k |
uC k |
1 |
|
iC k , |
|
|
||||||
uC k |
Cд k |
Cд k |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
i |
|
Cд k |
|
u |
u |
|
f |
|
u |
|
- нелинейная резистивная зависимость. |
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
C k |
|
|
h |
|
C k |
C k 1 |
|
C k |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Cд k по размерности проводимость h
u |
|
|
Lд k |
i |
|
i |
f |
|
i |
|
L k |
|
|
3 |
|||||||
|
|
h |
L k |
L k 1 |
L k |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lд k |
по размерности резистор. |
|
||||||||
|
h |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lд k |
f1 iL k , |
|
UL k |
f2 iL k |
|
|||||