3. Трехфазные цепи

1. Трехфазные электрические сети в зависимости от числа проводов, соединяющих источник и приемник, бывают четырехпроводными и трехпроводными.

2. Все величины, относящиеся к источникам, записываются с индексами, обозначенными прописными буквами (A, B, C, N), а величины, относящиеся к приемникам, ­– с индексами, обозначенными строчными буквами (a, b, c, n для схемы “звезда” и ab, bc, ca для схемы “треугольник”).

3. В четырехпроводных сетях к приемникам подводятся два напряжения: линейное (напряжение между линейными проводами) и фазное(напряжение между линейными и нейтральным проводом), которые связанны между собой соотношением.

В комплексной форме фазные напряжения выражаются формулами

, ,.

(здесь начальная фаза напряжения принята равной нулю).

Комплексные линейные напряжения

, ,.

Топографическая диаграмма линейных и фазных напряжений изображена на

рис. 117, а. Для токов в четырехпроводной системе справедливо уравнение первого закона Кирхгофа: .

4. В трехпроводных сетях к приемникам подводятся только линейные напряжения :,,. Их топографическая диаграмма изображена на рис. 117,б.

Рис. 117

Токи в трехпроводной системе связаны уравнением первого закона Кирхгофа: .

5. Положительные напряжения токов в линейных проводах приняты от источников к приемнику, а в нейтральном проводе­– от приемника к источнику.

В схеме “звезда” фазные токи совпадают по направлению с линейными, а в схеме “треугольник” токиприняты направленными по часовой стрелке.

Рис. 118

6. Приемники электрической энергии могут быть соединены по схемам “звезда” с нейтральным проводом, “звезда” без нейтрального провода и “треугольник”. В каждой схеме соединений различают симметричный и несимметричный режимы.

При симметричном режиме комплексные соединения всех фаз одинаковы, при несимметричном – разные.

7. При решении задач необходимо прежде всего установить схему соединений приемников и выяснить, симметрична или несимметрична нагрузка.

8. Расчет трехфазной цепи в симметричном режиме сводится к расчету одной фазы и выполняется аналогично расчету цепи однофазного синусоидального тока. Так, ток в фазе при соединении приемника звездой или звездой с нейтральным проводом, например, в фазе а,, а при соединении приемника треугольником, например, в фазеab, . В остальных фазах значения токов (их модули) те же, а начальные фазы сдвинуты на.

Пример. К трехфазной линии с линейным напряжением подключены три одинаковых приемника, соединенные по схеме “звезда” с нейтральным проводом (рис. 118). Активное и реактивное сопротивление каждого приемника соответственно равны,. Определить токи в фазах и нейтральном проводе, построить совмещенную топографическую диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов.

В трехфазном режиме нагрузка всех фаз одинакова, поэтому расчет проводят для одной фазы.

Напряжение фазы или в комплексной форме, принимая начальную фазу,,.

Комплексное сопротивление фазы .

Ток фазы .

Ток в нейтральном проводе , так как нагрузка симметричная .

Для построения совмещенной топографической диаграммы напряжений и векторной диаграммы токов (рис. 119) выбираем масштаб напряжений и токов.

Рис. 119

Строим топографическую диаграмму напряжений и откладываем векторы тока под углом к векторам фазных напряжений.

9. В схеме “звезда” c нейтральным проводом при несимметричной нагрузке режим работы каждой фазы независим от работы других фаз и потенциал нейтральной точки приемника при любой нагрузке равен нулю , поэтому токи в фазах,,.

Ток в нейтральном проводе . Он также может быть найден из векторной диаграммы.

Пример. К трехфазной линии с линейным напряжением подключен несимметричный приемник, соединенный по схеме “звезда” с нейтральным проводом (см. рис. 118). Активные и реактивные сопротивления фаз приемника соответственно равны:,,,,,. Сопротивлением нейтрального провода можно пренебречь. Определить токи в фазах приемника, в линейных проводах и нейтральном проводе.

Токи в линейных проводах и фазах приемника одинаковы и рассчитываются по закону Ома: ,,.

Фазное напряжение .

Комплексные фазные напряжения

, ,.

Комплексные сопротивления фаз и токи в фазах и линиях:

, ,,

, ,.

Ток в нейтральном проводе

.

Для построения топографической диаграммы напряжений выбираем масштабы напряжения и тока. В выбранном масштабе строим топографическую диаграмму напряжений, аналогичную рис. 117. При построении векторной диаграммы токов учитываем, что векторы токов в фазах сдвинуты относительно векторов фазных напряжений: в фазеа на угол ­– нагрузка чисто активная

(Х = 0), в фазе b на угол ­– нагрузка активно – индуктивная и в фазес на угол - нагрузка активно – емкостная (Х = -18 Ом).

Ток в нейтральном проводе по модулю равен 20,91 А, а его начальная фаза . На диаграмме рис. 120 откладываем рассчитанные значения токов с учетом угла сдвига фаз относительно фазного напряжения. Вектор тока в нейтральном проводе можно построить двумя способами: суммируя векторы илиоткладывая векторв соответствии с расчетными данными.

10. В схеме “звезда” без нейтрального провода (рис. 121) при несимметричной нагрузке потенциал нейтральной точки не равен нулю (­– нейтраль смещается). Если пренебречь сопротивлением нейтрального провода, то

,

где ,,­– комплексные фазные напряжения источника питания; ,, ­– комплексные проводимости фаз (ветвей).

Так как , то напряжение фаз приемника не одинаковы и определяются по формулам,,. Токи в фазах,,.

Пример. К трехпроводной сети с линейным напряжением подключена нагрузка, соединенная звездой (см. рис. 121):,,,. Определить токи в ветвях, построить совмещенную топографическую диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов.

Рис. 120 Рис.121

Фазное напряжение источника, т. е. потенциалы входных выводов нагрузки, , или в комплексной форме

, ,.

Сопротивление нагрузки

, ,.

Проводимости нагрузки

, ,.

Потенциал нейтральной точки приемника

.

Комплексные фазные напряжения приемника:

,

,

.

Токи в фазах нагрузки и линии:

,

,

.

Для построения векторных диаграмм выбираем масштабы напряжения и

тока . Строим топографическую диаграмму напряжений источника и откладываем на ней потенциал нейтральной точки приемника(рис. 122). Векторы, соединяющие точкиn и A, B, C, соответственно будут векторами фазных напряжений приемников ,,.

Относительно этих векторов с учетом фазных углов сдвига фаз в нагрузке ,,откладываем векторы токов,,.

Топографическая диаграмма напряжений показывает, что вследствие смещения потенциала нейтральной точки приемника из нуля симметрия фазных напряжений приемника нарушается: напряжение фазыа с127 В возрастает до 206 В, напряжение фазыс – до 145,6 В, а напряжение фазыb падает до 75,5 В.

11. В схеме “треугольник” (рис. 123) режим работы каждой фазы независим от режима работы двух других фаз, поэтому токи в фазах равны: ,,.

Токи в линейных проводах определяются по первому закону Кирхгофа для узловых точек a, b, c:

, ,.

Рис. 122 Рис. 123 Рис. 124

Линейные токи ,,могут быть найдены графически при построении векторной диаграммы.

Пример. К трехпроводной трехфазной линии с линейным напряжением подключен трехфазный приемник, соединенный треугольником:,,(рис. 124). Рассчитать токи в фазах и в линии, построить совместную топографическую диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов.

Сопротивление фаз по модулю одинаковы, но по фазному углу – разные, следовательно, нагрузка не симметричная и ток каждой фазы необходимо рассчитывать отдельно.

Комплексные сопротивления фаз

, ,.

Комплексные линейные напряжения

, ,.

Рис. 125

Фазные токи

, ,.

Линейные токи

,

,

.

Для построения векторных диаграмм выбираем масштабы напряжения и

тока . Далее строим топографическую диаграмму напряжений, аналогичную рис. 137,б. Векторы фазных токов ,,с учетом масштаба откладываем соответственно относительно векторов линейных напряжений,,под углами,,(рис. 125). Затем по уравнениям строим векторы,,, значения и направления которых должны соответствовать расчетным данным.

12. При построении векторных диаграмм рекомендуется строить совмещенные векторные диаграммы: топографическую диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов. Их построения проводят в следующем порядке: выбирают масштабы напряжений и токов; строят векторы линейных напряжений; для схем “звезда” определяют положение нейтральной точки и откладывают векторы фазных напряжений; векторы фазных токов откладывают с учетом сдвига фаз относительно векторов соответствующих фазных напряжений в каждом приемнике; векторы линейных токов для схемы “треугольник” строят по уравнениям первого закона Кирхгофа.

12. Мощности трехфазной системы рассчитывают по следующим формулам:

а) при симметричной нагрузке и любой схеме соединения приемника:

активная мощность: ;

реактивная мощность: ;

полная мощность: и.

б) при несимметричной нагрузке:

активная мощность: ­– для схемы “звезда” и­– для схемы “треугольник”;

реактивная мощность: ­– для схемы “звезда” и­– для схемы “треугольник”;

полная мощность: , но, или;

комплексная мощность: , или.