Линейные электрические цепи переменного тока

2. Однофазные цепи

1.В однофазных электрических цепях в большинстве случаев действуют ЭДС, изменяющиеся по синусоидальному закону, поэтому в линейных однофазных цепях токи и напряжения также синусоидальны.

2. Мгновенное значение синусоидально изменяющиеся величины а можно выразить аналитически: , где- амплитудное значение;- угловая частота;- начальная фаза. Аналогично записываются выражения для мгновенных значений ЭДС, напряжения, тока.

Известно, что синусоидально изменяющаяся величина может быть условно (символически) представлена в виде комплексного числа , которое записывается в трех формах:

показательной: ;

тригонометрической:

алгебраической: ,

здесь - действующее значение синусоидальной величины;- начальная фаза;- действительная и мнимая составляющие комплексного числа. Такие же выражения можно записать для амплитудных величин.

Переход от показательной к алгебраической форме записи выполняется по формулам а обратный переход – по формулампри> 0 ипри< 0.

Комплексные числа можно также представить как векторы на комплексной плоскости. Алгебраические действия над синусоидальными величинами можно заменить действиями над комплексными величинами или над векторами. Поэтому алгебра комплексных чисел является основным математическим аппаратом при расчете цепей однофазного синусоидального тока, а векторная алгебра наглядным средством изображения синусоидально изменяющихся величин.

3. При расчете цепей синусоидального тока, в отличие от расчета цепей постоянного тока, необходимо учитывать не один, а три пассивных элемента: резистивный и емкостный, которые характеризуется соответственно активным сопротивлением R, индуктивностью L (индуктивным сопротивлением ) и емкостью (емкостным сопротивлением), где- угловая частота.

Индуктивное и емкостноесопротивления определяют не только значение токов в цепи, но также сдвиг фаз между напряжениями и токами.

При включении в цепь индуктивности L часто говорят об индуктивном сопротивлении, индуктивном падении напряжения или индуктивной составляющей напряжения. Однако в действительности в этих понятиях есть условность. При включении в цепь катушки, обладающей активным сопротивлением R и индуктивностью L, на переменное синусоидальное напряжение уравнения по второму закону Кирхгофа записывается в виде . Это объясняется следующим образом: часть напряженияu падает в сопротивлении R (т. е. ), а остальная часть расходуется на компенсацию возникающей ЭДС самоиндукции. Численно же величина действующей ЭДС. Так каквыражается в омах, тоназывают реактивным индуктивным сопротивлением, а произведение− индуктивным падением напряжения (по аналогии с произведением RI). Аналогично называют емкостным сопротивлением, а− емкостным падение напряжения.

4. При расчете цепей синусоидального тока все законы и методы расчета цепей постоянного тока действительны в комплексной форме. Так, первый закон Кирхгофа в комплексной форме имеет вид ; второй закон Кирхгофа; эквивалентное комплексное сопротивлениепри последовательном соединении элементовR, L и C , гдеn – число последовательно соединенных элементов; эквивалентная комплексная проводимость , гдеn – число параллельно соединенных ветвей.

При смешанном соединении используют расчетные формулы последовательного и параллельного соединения активных и реактивных сопротивлений.

Пример. Найти токи в цепи рис. 86, к которой приложено синусоидальное напряжение U. Комплексное сопротивление всей цепи:

Рис. 86

.

Зная , легко определить комплексный ток в неразветвленной части цепи:.

Напряжение между точками a и b .

После определения находят токи в параллельных ветвях.

При выполнении расчетов комплексным методом следует иметь в виду, что действительная и мнимая части комплексного сопротивления, комплексной проводимости и комплексной мощности всегда представляют собой соответственно активную и реактивную составляющие этих величин; действительная и мнимая части комплексного напряжения и комплексного тока определяются начальными фазами величин, т. е. зависят от расположения соответствующих векторов относительно осей комплексной плоскости, тогда как и активная и реактивная составляющие определяются углом сдвига фаз между этими двумя векторами.

5.Расчет цепи синусоидального тока может быть выполнен и без применения комплексных чисел (алгебраический метод). Основные расчетные формулы при этом следующие:

при последовательном соединении элементов R, L и C:

­­− полное сопротивление,

−закон Ома,

−угол сдвига фаз;

при параллельном соединении двух ветвей с элементами L в одной ветви и - в другой:

−полная проводимость разветвления,

где ,− активные проводимости ветвей; ,− реактивные проводимости ветвей.

Следует обратить внимание на то, что понятия активной и реактивной проводимости имеют условно-расчетный характер. Например, для параллельно включенной катушки сопротивлением R и индуктивностью L активная проводимость, определяемая по формуле , включает в себя не только активное сопротивлениеR, но и индуктивное сопротивление . Аналогично в формулу индуктивной проводимостивходит не только индуктивное сопротивление, но и активное сопротивлениеR.

Пример. Найти алгебраическим методом токи в цепи рис. 86, к которой приложено синусоидальное напряжение с действующим значением U.

Сначала находим проводимости ветвей разветвления:

,

.

Проводимости разветвления:

.

По найденным значениям проводимостей разветвления определяем сопротивления эквивалентной ему последовательной цепи:

; ;.

После того как вся цепь представляется в виде последовательно соединенных элементов, можно определить ее эквивалентные сопротивления:

; ;.

Лишь после вычисления параметров участков цепи можно переходить к определению токов. Ток в неразветвленной части цепи и коэффициент мощности находим по формулам:

; :

Напряжение на зажимах разветвления

.

Ток в ветви с индуктивностью

.

Ток в ветви с емкостью

.

6. Изучая явление резонанса, необходимо усвоить следующее: При резонансе напряжение и ток на зажимах цепи всегда совпадают по фазе. Настройка же цепи на резонанс зависит от схемы соединений катушки индуктивности и конденсатора. Для последовательной цепи условием резонанса является равенство индуктивного и емкостного сопротивлений: . Для цепи, содержащий параллельный контур, в одной из ветвей которого включена индуктивность, а в другой – емкость, условием резонанса является равенство реактивных проводимостей ветвей:.

При резонансе напряжений (последовательное соединение элементов L и C) резонансная частота , цепь носит активный характер, полное сопротивлениеравно активному сопротивлению и минимально, ток в цепимаксимальный, напряжение на реактивных элементах цепи прибольше, чем напряжение, подведенное к зажимам цепи, потребляемая цепью активная мощностьмаксимальна.

При резонансе токов (параллельное соединение элементов и) резонансная частотаи зависит как отL, C, так и от активных сопротивлений . Цепь носит активный характер, полная проводимостьравно сумме активных проводимостей ветвей и минимальна; ток в общей части цепиминимален и равен активной составляющей тока; реактивные составляющие тока в ветвях равны, приони больше, чем ток в общей части цепи; реактивные мощности элементовL и C равны .

7. Нужно понять и усвоить, что резонанс напряжений можно получить либо изменением частоты питания , либо подбором значения величины, либо подбором значения величины. При измененныхL и С индуктивное и емкостноесопротивления зависят от частоты, т. е., а. Первая зависимость линейная, вторая нелинейная. Графики этих зависимостей показаны на рис. 87.

Резонансная частота при иопределяется точкой пересечения графиков. Этой точке соответствует частота. Область резонанса можно значительно расширить, если кроме частоты изменять величинуL . На рис. 88 показаны графики при измененииL от до . Из этих графиков видно, что на частоте резонанс наступает при , на частоте - при и т. д. При такой настройке цепи резонанс можно получить не в одной точке, а в интервале

от до . Аналогичную картину можно получить при изменении значения величины С. Еще более широкий интервал получается при изменении параметров L и С.

Рис. 87 Рис. 88

8. Часть схемы, имеющая два вывода и не содержащая источников ЭДС, называется пассивным двухполюсником. Структура такого двухполюсника может содержать различные комбинации соединений резисторов, катушек и конденсаторов. Задача определения параметров пассивного двухполюсника сводится к нахождению активной и реактивной составляющих комплексного сопротивления.

Рис. 89

Пусть пассивный двухполюсник ПД (рис. 89, а) представляется подключением напряжения к сопротивлению (рис.89, б). Тогда .

Если X > 0, то имеет индуктивный характер, если X < 0 – емкостный. Параметры Z, R, X, определяют опытным путем (рис. 89, в). По показаниям приборов определяем , , , .

Так как - четная функция, то для определения характера реактивной составляющей, т. е. знака , параллельно Z нужно включить конденсатор небольшой емкости. Если показание амперметра увеличится, то будет отрицательный знак, а сопротивление - емкостный характер, если показание амперметра увеличится, то будет иметь положительный знак, а сопротивление – индуктивный характер. Это положение иллюстрируется векторными диаграммами, показанными на рис. 90, 91.

Рис. 90 Рис. 91

9. Как было отмечено ранее, в цепях постоянного тока для освоения методов расчета и анализа цепей целесообразно применять логические расчетные схемы. Это справедливо и для цепей переменного тока. Приведем ряд примеров.

Пример 1. Пусть задана расчетная схема цепи с последовательным соединением элементов R, L, и C с параметрами и напряжением на входе U (рис. 92). Определить ток I, угол сдвига фаз и мощность на входе цепи.

Рис. 92

Рис. 93

Схема рис. 93 иллюстрирует последовательность расчета:

а) по заданным значениям сопротивлений элементов находят эквивалентные сопротивления R и X, а затем по формуле − полное эквивалентное сопротивление всей цепи;

б) по известным значениям U и Z на основании закона Ома находят токI и определяют ;

в) по заданному значению U и найденным значения I, находят мощность .

Если по условию требуется дополнительно найти, например, напряжение, угол сдвига фаз и мощность на участке ab цепи, то аналогично находят эти значения: .

Пример 2. Пусть задана расчетная схема цепи с параллельным соединением элементов R, L, и C с параметрами и напряжением источника U (рис. 94). Определить ток I в общей части цепи, угол сдвига фаз и мощность на входе цепи;

Рис. 94

Логическая расчетная схема для решения задачи комплексным методом изображена на рис. 95.

Рис. 95

Последовательность расчета:

а) по заданным значениям сопротивлений элементов находят комплексные эквивалентные сопротивления ветвей;

б) по известным сопротивлениям ветвей по закону Ома находят комплексные токиветвей;

в) по первому закону Кирхгофа определяют общий ток ;

г) по заданным значениям напряжения , токапо формуле мощностинаходят активнуюР, реактивную Q, полную S мощности и угол сдвига фаз .

Пример 3. Расчетная схема для смешанного соединения элементов R , L и C приведена на рис. 96. В неразветвленной части цепи заданы значения параметров элементов ; в параллельных ветвях , напряжение на входе цепи U. Следует учесть, что и . определить ток I в общей части цепи, угол сдвига фаз и мощность на входе цепи.

Рис. 96

Схема рис. 97 иллюстрирует последовательность расчета:

а) по заданным значениям сопротивлений элементов находят эквивалентное сопротивление последовательно соединенных элементов и сопротивление отдельных ветвей ;

б) по известным сопротивлениям ветвей находят их проводимости и суммарную проводимость всех параллельно соединенных ветвей, а затем их общее сопротивление ;

в) находят эквивалентное сопротивление всей цепи и по закону Ома – общий ток в цепи ;

г) по заданным значениям напряжения , и тока по формуле мощности находят активную P, реактивную Q, полную S мощности и угол сдвига фаз .

Рис. 97

10. Для разветвленных цепей синусоидального тока с несколькими источниками ЭДС рекомендуется применять комплексный метод расчета. При этом можно использовать любые методы для цепей постоянного тока, но записывать их в комплексной форме, т. е. вместо тока I, напряжения U, ЭДС E, сопротивления R следует записывать их комплексные значения , , , .

Рис. 98

Уравнения по методу контурных токов в комплексной форме имеют вид:

,

,

,

где - контурная ЭДС, равно сумме комплексных ЭДС в контуре; − комплексные собственные сопротивления контуров, равные сумме комплексных сопротивлений контуров; − комплексные общие сопротивления, входящие в i – й и k – й контуры.

Решая совместно уравнения, находят комплексные значения контурных токов .

Узловое комплексное напряжение между узлами а и b находят по формуле

,

где − комплексная ЭДС k – й ветви; − комплексная проводимость k – й ветви (правила знаков те же, что и для цепи постоянного тока).

Рассмотрим применение различных методов на примерах.

Задана схема с двумя источника синусоидальной ЭДС (рис. 98): , , , , .

Определить токи в ветвях. Решение выполнить разными методами: методом непосредственного применения законов Кирхгофа, методом контурных токов, методом узлового напряжения и методом наложения.

Преобразуем заданные комплексные величины из алгебраической формы в показательную:

, , ,

, .