3.2. Предикаты и кванторы

С логической точки зрения двоичные объекты, что мы рассматривали в алгебре логики (булевой), – это высказывания, которые могут быть истинными или ложными. Формулы – это составные высказывания, истинность которых определяется истинностью входящих в них элементарных высказываний (А, В или С) и логическими операциями над этими элементарными высказываниями (инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и т.д.).

Предикат – это функциональное высказывание. Логика предикатов – это расширение логики высказываний за счет использования предикатов в роли логических функций. Эти функции несколько отличаются от булевых функций. Булева функция однородна, т.е. для нее область значений функции и область изменения аргументов по типу одна и та же – логическая (либо истина, либо ложь). Для предикатов же область значений функции – логическая, а область изменения аргументов – предметная, отсюда следует вывод, что эта функция неоднородна.

Таким образом, принимающую одно из значений (0 или 1) функцию Р, аргументы которой могут принимать любое число значений из произвольного множества М, будем называть предикатом Р в предметной области М. Число аргументов предиката Р ( х₁, х₂, …, х_n) называется его порядком.

Приведем примеры предикатных функций. Пусть имеется ряд простых высказываний:

P₁ = x₁ > A, P₂= x₂ > A, …, P_n = x_n > A.

Вместо высказываний P₁, P₂,…, P_nможно ввести одноместный предикат Р(х), для которого переменнаяхпринимала бы значения из предметной области –х={x₁, x₂,…, x_n}, а сама предикатная функция записалась бы так:

Р(х) = «х > A».

Теперь изменим исходный ряд высказываний на другой:

P₁ = x₁ > у₁, P₂= x₂ > у₂ , …, P_n = x_n > у_n.

Здесь можно ввести уже двухместный предикат Р(х,у) = «x > у» с дополнительной предметной областью у = { у₁,, у₂,…, у_n }.

Введем трехместный предикат Р(х,у,z), который, допустим, означает, что «х есть сумма у и z ». Если какой-нибудь переменной задать конкретное значение, скажем х = 5, то трехместный предикат превратится в двухместный Р(5,у,z) = Р¢(у,z) = «5 есть сумма у и z».

При х = 5 и у = 3 получим одноместный предикат:

Р(5,3,z) = Р¢(3, z) = Р¢¢(z) = «5 есть сумма 3 и z».

Наконец, если добавить условие z = 2, то исходный предикат становитсянульместным предикатом (константой или высказыванием), который в данном случае принимаетистинноезначение:

Р₁ =Р(5,3,2) = «5 есть сумма 3 и 2» = 1.

Но могло случиться, что z = 1, тогда имело бы место ложное высказывание: Р₀ =Р(5,3,1) = «5 есть сумма 3 и 1» = 0.

Таким образом, при замещении переменной х_i предметной постоянной а_i происходит превращение n-местного предиката Р( х₁, …, х_i, …, х_n) в (n –1)-местный предикат Р( х₁, …, а_i, …, х_n). Приписав конкретные значения всем аргументам предикатной функции, мы тем самым получаем предикатную константу.

Функциональная природа предиката влечет за собой введение еще одного понятия – квантора. Пусть P(x) – предикат, определенный на некотором множестве «М». Высказывание: «для всех x  M значение P(x) истинно» обозначается символом х и называется квантором общности (“All”). Другое высказывание: «существует хотя бы одно значение x  M, при котором P(x) истинно» называется квантором существования и обозначается символом х (“Exist”). Выставляя кванторы перед предикатами, мы как бы усиливаем или ослабляем их действие.

С другой стороны, выражение х P(x) = 1 означает, что конъюнкция всех значений предикатной функции равна 1:

х P(x) = P(x₁)  P(x₂)  P(x₃)  ··· = 1.

Аналогично, квантор существования перед предикатом х P(x) = 1 означает, что дизъюнкция всех значений предикатной функции равна 1:

х P(x) = P(x₁)  P(x₂)  P(x₃)  ··· = 1.

Оба квантора можно выражать один через другой на основании закона де Моргана:

P(x) ==(x₁)  (x₂)  (x₃)  =х (x),

х P(x) = = (x₁)  (x₂)  (x₃) ·=х (x).

Отсюда

(x) = х P(x) и (x) = х P(x).

Переход от P(x) к хP(x) или к хP(x) называется связыванием переменной x, а также навешиванием квантора на переменную x. Переменная, на которую навешивается квантор, называется связанной переменной; несвязанная переменная называется свободной. Свободная переменная – это обычная переменная, которая может принимать любые значения из множества М.

Если выражение P(x) – переменное высказывание, зависящее от значения x, то выражения хP(x) или хP(x) не зависят от переменной x и при фиксированных значениях P и M превращают одноместный предикат в высказывание.

Навешивать кванторы можно и на многоместные предикаты, и вообще на любые логические выражения. Выражение, на которое навешивается квантор, называется областью действия квантора. Навешивание квантора на n-местный предикат уменьшает в нем число свободных переменных, превращая его в (n – 1)-местный предикат. Если на n-местный предикат навесить k кванторов, то он превращается в (n – k)-местный предикат.

Например, пусть P(x) = «x – четное число». Тогда высказывание хP(x) истинно на любом множестве M четных чисел и ложно, если M содержит хотя бы одно нечетное число. Высказывание хP(x) истинно на любом множестве, содержащем хотя бы одно четное число, и ложно на любом множестве нечетных чисел.

Рассмотрим двухместный предикат P(x, y) = «x ≥ y» на множествах M. Навешивая квантор х(x ≥ y), получаем одноместный предикат от y – «Для всех x из множества M высказывание «x ≥ y» – истинно. Если M – множество положительных чисел, то этот предикат истинен в единственной точке при y = 0. Если навесим предикат на вторую переменную х_y(x ≥ y), то тогда истинность получим лишь на множестве, состоящем из одного элемента.

Основной задачей логики предикатов является установление истинности предикатных тождеств и логических следствий. Докажем, например, дистрибутивность квантора х относительно конъюнкции и квантора х относительно дизъюнкции, т.е.

х (Р₁(x) Р₂(x)) = х Р₁(x)  х Р₂(x).

Пусть левая часть выражения истинна для некоторых Р₁ и Р₂, тогда для любого а  M истинно Р₁(а) Р₂(а), поэтому Р₁(а) и Р₂(а) одновременно истинны для любых а. Следовательно, правая часть выражения тоже истинна.

Если же левая часть ложна, то для некоторого а  M ложно либо Р₁(а), либо Р₂(а), а следовательно, ложно либо хР₁(x) , либо хР₂(x), то есть и правая часть ложна.

Аналогично доказывается тождество

х (Р₁(x) Р₂(x)) = х Р₁(x)  х Р₂(x).

_{Однако, если квантор общности использовать совместно с дизъюнкцией, а квантор существования – с конъюнкцией, то будет иметь место логическое следствие}

х (Р₁(x) Р₂(x)) Þ х Р₁(x)  х Р₂(x).

И аналогично

х (Р₁(x) Р₂(x)) Þ х Р₁(x)  х Р₂(x).

Контрольные задания

1. Существует теорема геометрии о трех перпендикулярах: «Прямая, проведенная на плоскости перпендикулярно к проекции наклонной, перпендикулярна к самой наклонной». Эквивалентны ли этой теореме следующие утверждения (У1): «Прямая, проведенная на плоскости не перпендикулярно к наклонной, не перпендикулярна к ее проекции» и (У2): «Прямая, проведенная на плоскости перпендикулярно к наклонной, перпендикулярна к ее проекции».

Указание: Выделить в каждом высказывании более простые высказывания, а именно: пусть высказывание (А) будет: «Прямая на плоскости перпендикулярна наклонной», высказывание (В) будет: «Прямая перпендикулярна проекции наклонной». Тогда структуру сложных высказываний – теоремы и утверждений У1 и У2, – можно представить логическими формулами: АВ,  и ВА. Для решения задачи теперь достаточно проверить эквивалентность соответствующих формул.

2. Предположим, что справедлива теорема: «Сеть Петри согласована и инвариантна только если она жива и ограничена». Как доказывать эту теорему? Определить, какие из следующих утверждений являются следствиями этой теоремы:

а) сеть Петри ограничена только в случае, если она инвариантна;

б) несогласованность сети Петри является достаточным условием отсутствия у нее живости и ограниченности;

в) если сеть Петри не согласована, то она не может быть неживой, но при этом ограниченной.

3. (Дело о рецидивистах). Трое рецидивистов, А, В и С, подозреваются в преступлении. Неопровержимо установлены следующие факты:

а) если А виновен, а В невиновен, то в деле участвовал С;

б) С никогда не действует в одиночку;

в) А никогда не ходит на дело вместе с С;

г) никто, кроме А, В и С, в преступлении не замешан, но по крайней мере один из этой тройки виновен.

Можно ли на основании этих фактов выдвинуть обвинение против В? Против В или С? Против А?

4. Записать в форме предиката утверждения:

а) «Если два объекта из М обладают свойством Р, то они совпадают»;

б) «По крайней мере один студент решил все задачи»;

в) «Каждую задачу решил по крайней мере один студент».

5. Выразить с помощью предикатов следующие утверждения и их отрицания: а) «Один и только один объект обладает свойством Р»;

б) «По меньшей мере два объекта обладают свойством Р».

6. Выразить с помощью предикатов следующие утверждения:

1. все элементы массива b[j:k] нулевые.

2. ни один элемент массива b[j:k] не нулевой.

3. некоторые элементы массива b[j:k] нулевые.

4. все нулевые элементы массива b [0:n–1] находятся в b[j:k].

5. значения массива b [0:n–1] расположены в возрастающем порядке.

7. На множестве натуральных чисел определены предикаты: Р(х) = «число х делится на 8» и Q(x) = «х – четное число». Прочитайте следующие высказывания и выясните их истинность:

а) хР(х); д) ;

б) хР(х); е) х(Р(х) Q(x));

в) х Q(x); ж) х (Q(x) Р(х));

г) ; з)х(Q(x) Р(х)).