Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»

В.В. Аристов

Основы теории автоматов

Конспект лекций

Омск 2006

ВВЕДЕНИЕ

Теория автоматов – это раздел теории управляющих систем, изучающий математические модели преобразователей дискретной информации, называемые автоматами. С определенной точки зрения такими преобразователями являются как реальные устройства (вычислительные машины, автоматы, живые организмы и т.д.), так и абстрактные системы (например, формальная система, аксиоматические теории и т.д.). Наиболее тесно теория автоматов связана с теорией алгоритмов.

Данный конспект лекций включает в себя аппарат основных моделей в области информатики: понятия теории множеств, булеву алгебру, формальную логику высказываний и предикатов, графы, т.е. те разделы информатики, без которых невозможно выстроить теорию автоматов. Кроме того, представлены основные понятия теории алгоритмов и машины Тьюринга, а также краткие сведения об использовании сетей Петри для моделирования параллельных процессов автоматных систем.

Автомат «вообще» (от греческого  – самодействующий) – управляющая система, являющаяся конечным автоматом или некоторой его модификацией, полученной путем изменения его компонент или функционирования. Основное понятие «конечный автомат» возникло в середине 20 века в связи с попытками описать на математическом языке функционирование нервных систем, универсальных вычислительных машин и других реальных автоматов. Характерной особенностью такого описания является дискретность соответствующих математических моделей и конечность областей значений их параметров, что приводит к понятию конечного автомата.

Большинство задач теории автоматов – общие для основных видов управляющих систем. К ним относятся задачи анализа и синтеза автоматов, задачи полноты, минимизации, эквивалентных преобразований автоматов и другие. Задача анализа состоит в том, чтобы по заданному автомату описать его поведение или по неполным данным об автомате и его функционированию установить те или иные его свойства. Задача синтеза автоматов состоит в построении автомата с предварительно заданным поведением или функционированием. Задача эквивалентных преобразований в общем виде состоит в том, чтобы найти систему правил преобразований (так называемую полную систему правил) автоматов, которые удовлетворяют определенным условиям и позволяют преобразовать произвольный автомат в любой эквивалентный ему. Поведение автомата – математическое понятие, описывающее взаимодействие автомата с внешней средой.

Понятие автомата может служить модельным объектом в самых разнообразных задачах, благодаря чему возможно применение теории автоматов в различных научных и прикладных исследованиях. Большой интерес к этой теории объясняется широкими возможностями ее применения. Без преувеличения можно сказать, что теория автоматов является одним из фундаментальных блоков современной теоретической и практической информатики.

1. Множества

1.1. Основные понятия теории множеств

Одними из основных, исходных, понятий математики являются понятия множества и его элементов. Под множеством мы понимаем совокупность определенных, отличных друг от друга, но однотипных объектов, называемых элементами множеств, подчиняющихся счету. Таким образом, множество состоит из элементов. Принято обозначать множества прописными буквами латинского алфавита (A,B,C,…,Z), а элементы множеств – строчными буквами (a,b,c,...,z), цифрами, а также идентификационными выражениями. Примерами множеств могут служить: множество натуральных чисел, множество студентов в группе, множество групп на факультете и т.д.

Принадлежность элемента а множеству М обозначается знаком  (а М); непринадлежность элемента а множеству М обозначается знаком  (а М).

Множество А называется подмножеством множества В (A  B), если всякий элемент А является элементом В. При этом говорят, что В содержит или покрывает множество А. Множества А и В равны (A = B), если их элементы совпадают, иначе: A  B и В  А. Выражение (A ≠ B) является отрицанием предыдущего. Если A  B и В  А, то А часто называют собственным, строгим или истинным подмножеством В (A  B), знак  называется знаком строгого включения.

Множества могут быть конечными, т.е. множества с конечным числом элементов, и бесконечными. Учитывая прикладное значение курса и его использование для изучения основ синтеза конечных автоматов, мы будем рассматривать конечные множества. Число элементов в конечном множестве М называется мощностью и обозначается |М|. Если множество не содержит элементов, то оно называется пустым и обозначается . Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Множество может быть задано перечислением (списком элементов), порождающей процедурой или описанием характеристических свойств, которыми должны обладать его элементы. Списком можно задавать лишь конечные множества. Список заключается в фигурные скобки. Например, А = {a, b, d, h} означает, что множество А состоит из четырех элементов a, b, d и h.

Порождающая процедура описывает способ получения элементов множества из уже полученных объектов. Примером может служить М – множество всех чисел вида π/2 ± kπ, где k  N (N – множество натуральных чисел).

Задание множества описанием его свойств, пожалуй, наиболее обычно. Например, множество всех четных чисел от 0 до 100. Когда свойство элементов может быть описано коротко выражением Р(х), что означает – элемент х обладает свойством Р , то множество задается выражением М = {х | Р(х)}, которое читается так: М – это множество х, обладающих свойством Р. Например, М = {х | х =π/2 ±kπ, где k  N }. К описанию свойств следует предъявлять требование точности и недвусмысленности.