- •Основы теории автоматов
- •1. Множества
- •1.1. Основные понятия теории множеств
- •1.2. Операции над множествами
- •2. Логика буля
- •2.1. Булевы функции
- •2.2. Постулаты и основные законы булевой алгебры
- •2.3. Формы представления булевых функций
- •2.4. Минимизация булевых функций
- •3. Формальная логика
- •3.1. Исчисление высказываний
- •3.2. Предикаты и кванторы
- •4. Графы
- •4.1. Происхождение графов
- •4.2. Основные определения
- •4.3. Методы представления графов в аналитической форме
- •4.4. Пути и контуры в графах
- •4.5. Деревья
- •5 . Конечные автоматы
- •5.1. Понятие автомата
- •5.2. Представление конечных автоматов
- •5.3. Типы конечных автоматов
- •5.4. Эквивалентность конечных автоматов: теорема Мура
- •5.5. Минимизация конечных автоматов
- •5.6. Минимизация неполных конечных автоматов
- •5.7. Примеры конечных автоматов
- •5.8. Моделирование автоматных систем сетями Петри
- •6. Алгоритмы и машины тьюринга
- •6.1. Понятие алгоритма
- •6.2. Основные требования к алгоритмам
- •6.3. Блок-схемы алгоритмов
- •6.4. Формализация понятия алгоритма
- •6.5. Машина Тьюринга
- •6.6. Примеры машин Тьюринга
- •Библиографический список
- •Оглавление
1.2. Операции над множествами
Множества можно определять при помощи операций над некоторыми другими множествами и подмножествами. Пусть дана некоторая совокупность предметов, которую можно обозначить как множество
V ={ a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k }.
Предположим, что часть предметов, а именно: a, b, d и f имеют круглую форму, а часть – b, c, d, h, и i – окрашена в белый цвет. В этом случае говорят, что множество V имеет два подмножества А = { a, b, d, f } и В = { b, c, d, h, i } круглых и белых предметов. Можно говорить иначе: исходное множество называется фундаментальным или универсумом, а подмножества А и В – просто множествами.
В результате получим четыре класса элементов:
С0 ={ e, g, j, k } – элементы, которые не обладают ни одним из названных свойств,
С1 ={ a, f } – элементы, обладающие только свойством А (круглые),
С2 ={ c, h, i } – элементы, обладающие только свойством В (белые),
С3 ={ b, d } – элементы, обладающие одновременно двумя свойствами.
Операции над множествами удобно изображать с помощью графической диаграммы Эйлера-Венна (рис. 1).
Рис. 1 . Диаграмма Эйлера-Венна для двух множеств А и В
Объединением множеств А = { a, b, d, f } и В = { b, c, d, h, i } назовем множество А В = { a, b, c, d, f, h, i }. Таким образом, объединением охватываются три класса элементов – С1, С2, С3, которые на диаграмме заштрихованы (рис. 2). При этом оба множества могут и не пересекаться, т.е. не иметь общих элементов. Логическую операцию объединения двух множеств можно охарактеризовать словами: элемент принадлежит множеству А или множеству В. То, что элемент х принадлежит А или В, можно выразить формулой
х А В = (х А) (х В),
где – символ логической связки или, которая называется дизъюнкцией.
Пересечением множеств А и В называется множество K = А В, содержащее те элементы из А и В, которые входят одновременно в оба множества. Для нашего примера будем иметь (рис. 3):
K =А В = {a, b, d, f} {b, c, d, h, i} = {b, d} = С3.
То, что элемент х принадлежит одновременно двум множествам А и В, можно выразить формулой
х А В = (х А) (х В),
где – символ логической связки и, которая называется конъюнкцией.
Рис. 2. А В Рис. 3. А В
Рассмотрим области С1 и С3, образующие множество А (рис. 4). Тогда области С2 и С0 образуют множество элементов, не входящих в А (рис. 5). Это обозначается как . Объединение или дизъюнкция множеств А и даст весь универсум V (А =V), а пересечение или конъюнкция даст нам нулевое множество ; ( А = ). Таким образом множество дополняет множество А до универсума V, отсюда название – дополнительное множество или дополнение как операция. Операцию дополнения иначе еще называют инверсией.
Рис. 4. А Рис. 5.
После рассмотрения операции инверсии (дополнения) все четыре области Сj на диаграмме можно выразить следующим образом:
С0 = , С1 = А , С2 = В, С3 = А В.
Используя инверсию, можно представить любую множественную операцию, например объединение:
А В = (А ) ( В) (А В).
Операции дополнения или инверсии объединения и пересечения множеств называются соответственно стрелкой Пирса (D =) и штрихом Шеффера (K =), которые обозначаются соответственно А↓В и А/В. Диаграммы для этих операций представлены на рис. 6 и 7.
Рис. 6. А↓В Рис. 7. А/В
Рис. 8. ( В ← А ) Рис. 9. (В → А)
Разностью между множествами В и А называется совокупность тех элементов множества В, которые не вошли в множество А (рис. 8). Такая операция называется еще запретом А и обозначается ( В ← А ). Для нашего случая это будет область С2.
При этом ( В ← А ) = В.
Рис. 10. (А В) Рис. 11. (А В)
Дополнением к запрету служит импликация А. На диаграмме Эйлера-Венна это частичное включение множества В в множество А (рис. 9). Обозначается такая операция (В → А). При этом (В → А) = А .
а b c
Рис. 12. (А В) (А С)
a (А B) b ((А B)→(C D))
c ((А B)/(C D)) d ((А B)→(C D))
((А B)/(C D))
Рис.13. Диаграммы Венна для операций над четырьмя множествами
Аналогично определяются запрет В (А ← В) = А и импликация В (А → В) = В.
Остается привести еще две взаимно дополняющие операции – симметрическую разность или неравнозначность и эквивалентность или равнозначность.
Равнозначность определяется теми элементами множеств А и В, которые для них являются общими, а также элементами, не входящими ни в А, ни в В. В нашем случае это будут области С0 и С3 (рис. 10). Обозначается равнозначность А В или А ~ В.
А ~ В = ( ) (А В).
Неравнозначность есть объединение двух разностей или двух запретов. Эта операция обозначается (А В). Таким образом,
(А В) = (А ← В) ( В ← А ), или (А В) = ( В) (А ).
На диаграмме Эйлера-Венна это области С1 и С2 (рис. 11). Неравнозначность имеет еще название строгая дизъюнкция. Эту операцию можно передать словами: «либо А, либо В».
Диаграммы Эйлера-Венна достаточно наглядно иллюстрируют операции над тремя и четырьмя множествами. Рассмотрим операцию (А В) (А С) и построим диаграммы Эйлера-Венна для трех множеств. Диаграмма на рис. 12а изображает операцию (А В), а на рис. 12b – (А С). Конъюнкцию этих соотношений иллюстрирует результирующая диаграмма на рис. 12с.
Для четырех множеств четыре круга Эйлера не дают полную диаграмму Венна, поскольку их пересечение дает только 14 областей, а необходимо 16. Поэтому круги необходимо деформировать в эллипсы. Покажем на примере построение диаграммы для выражения ((А B)→(C D)) ((А B)/(C D)).
На рис. 13 изображены четыре диаграммы, соответствующие указанной последовательности операций. Последняя диаграмма (рис. 13d) является результирующей.