Согласно общим принципам механики, приращение кинетической энергии тела равно суммарной работе всех сил, действующих на тело.
В дифференциальной форме данное утверждение можно
записать:
dEK dA F dr
Подставим сюда выражение для силы из второго закона |
|
|||||
|
||||||
|
|
dp |
d mv |
dv |
dm |
|
Ньютона: |
F |
dt |
dt |
m dt |
v dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получим
|
|
|
|
|
|
|
dm |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
dEK |
|
dv |
|
|
|
|||||||||
|
m |
|
dr |
v |
dt |
|
dr |
|
|
||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
dr |
|
|
2 |
dm |
|||||||
|
m dv |
dt |
vdm |
dt |
|
m vdv v |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
mv dv v2dm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найдем dm. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|||
Найдем dm, учитывая, что |
|
m |
|
m0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1- |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Продифференцируем вышенаписанную формулу. |
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
2v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
m0 |
|
c |
dv |
|
m v dv |
|
|
m v dv |
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
dm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
v2 |
3 |
|
|
1- v |
2 |
|
|
c2 v2 |
|||
|
|
2 |
|
|
2 |
c2 |
|
|
||||||
|
|
1- |
|
2 |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отсюда величина |
|
|
m v dv c2 |
v2 dm |
||||||||||
Подставим полученное выражение вместо первого слагаемого в формулу для dEK.
dEK c2 v2 dm v2dm c2dm
Проинтегрируем полученное равенство
Ek m
dEK c2dm
и получим |
0 |
m0 |
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
EK mc2 |
m0c2 |
|
|
Величина |
Е получила название полной энергии: |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
E mc2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Величина |
ЕО – энергии покоя: |
E0 m0c2 |
|
||
Формула |
E mc2 |
выражает закон |
взаимосвязи массы и энергии: полная энергия материального объекта равна произведению его релятивистской массы на квадрат скорости света в вакууме.
Заметим, что в полную энергию и энергию покоя не входит потенциальная энергия, которой обладает тело во внешнем потенциальном поле.
Связь энергии с импульсом
В классической механике кинетическая энергия через
импульс выражается формулой 2
EK 2pm
Формула, выражающую связь между полной энергией частицы с её релятивистским импульсом, имеет вид
Е2 = Е20 + (рс)2,
причём выражение Е2 –(рс)2 является величиной инвариантной.
Полученное соотношение показывает, что частица может иметь энергию и импульс, но не иметь массы покоя (mО= 0).
Такие частицы называются безмассовыми.
К безмассовым частицам относятся фотоны – кванты электромагнитного излучения и, возможно, нейтрино.
Безмассовые частицы не могут существовать в состоянии покоя, во всех инерциальных системах
отсчёта они движутся с предельной скоростью c.
Кинетическая энергия
Вклассической механике кинетическая энергия определяется формулой:
|
|
EK |
mOV2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В релятивистской механике кинетическая энергия равна |
|||||
разности между полной энергией тела и его энергией |
|||||
покоя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EK E EO
Зависимость кинетической энергии от скорости для релятивистской (a) и классической (b) частиц. При
V << c оба закона совпадают.
Докажем, что классическая формула кинетической |
|
|||||||||||||||||||||||
энергии является частным случаем формулы теории |
||||||||||||||||||||||||
относительности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
EK E EO mc |
2 |
mOc |
2 |
|
|
mOc2 |
mOc |
2 |
2 |
( |
1 |
1) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
V2 |
|
mOc |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
V2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Разложим функцию |
|
|
(1 |
|
|
V2 |
) 1 / 2 |
|
в приближении |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
V/C |
<<1 в ряд и ограничимся первым слагаемым |
|
||||||||||||||||||||||
этого ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В итоге получим: |
||||||||
(1 |
V2 |
|
|
1 |
V2 |
|
|
3 |
V4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
c |
2 ) 1 / 2 |
|
2 |
|
c |
2 |
8 |
|
c |
4 |
|
EK |
m |
O |
V2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|