Пусть материальная точка перемещается в потенциальном поле в произвольном направлении dr.

Консервативная сила совершит при этом элементарную работу:

dA Fк dr Fr,к dr

где Fr – проекция силы на направление dr .

Работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии: dA dEП

Приравнивая правые части, получим

Fr,к dEП

dr

Проекция консервативной силы на произвольное направление r равна по абсолютной величине и противоположна по знаку производной от потенциальной энергии по этому направлению.

Вектор, стоящий в правой части этого выражения, называется градиентом функции потенциальной энергии и обозначается qrad Eп.

Понятие градиента вводится для любых векторных величин, значение модуля которых зависит от направления в пространстве.

Градиент любой функции – это вектор,

направленный в сторону возрастания функции и численно равный изменению функции на единичном расстоянии.

df df df gradf dx i dу j dk k

dЕ dЕ dЕ gradEП dxП i dуП j dkП k

Градиент потенциальной энергии:

-вектор, направленный в сторону возрастания потенциальной энергии;

-численно равен изменению потенциальной энергии, приходящемуся на единицу длины этого направления.

Консервативная сила, действующая на материальную точку, равна по модулю и противоположна по

направлению градиенту потенциальной энергии этой точки.

Fr,к dEП

dr

Консервативная сила направлена в сторону уменьшения потенциальной энергии.

Обратное соотношение: убыль потенциальной

энергии равно работе консерватитвной силы.

Eп FK dr

r1

Рисунок отражает указанные выше соотношения для силы тяжести и потенциальной энергии тела, находящегося в гравитационном силовом поле.

Консервативная сила (сила тяжести) направлена в сторону уменьшения потенциальной энергии.